“閱讀與思考”：依托數(shù)學(xué)文化，學(xué)習(xí)畫法幾何

摘要：數(shù)學(xué)文化的滲透與融入經(jīng)常以“閱讀與思考”等欄目的形式出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)教材中，教學(xué)中要合理引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課外閱讀與拓展提升.結(jié)合畫法幾何的起源與應(yīng)用所對(duì)應(yīng)的“閱讀與思考”欄目，深入研究相應(yīng)的數(shù)學(xué)文化，通過畫法幾何與空間直觀圖等的應(yīng)用，滲透畫法幾何的思維，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的融合與應(yīng)用，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：畫法幾何；直觀圖；空間幾何體；數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)文化的創(chuàng)新設(shè)置與巧妙融合，是新高考數(shù)學(xué)試卷的一個(gè)重要命題方向與命題趨勢(shì).此類問題往往以數(shù)學(xué)文化為問題場(chǎng)景，融合相應(yīng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，借助高中數(shù)學(xué)教材中的“閱讀與思考”“文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作”等欄目來設(shè)置.

合理挖掘數(shù)學(xué)問題中基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)學(xué)文化的交匯點(diǎn)，全面剖析問題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，合理滲透數(shù)學(xué)知識(shí)，并借此進(jìn)行自主加工與創(chuàng)新應(yīng)用，有效提升數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，進(jìn)行合理的數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用，給數(shù)學(xué)問題與數(shù)學(xué)應(yīng)用創(chuàng)設(shè)更多的應(yīng)用情境.

1 依托“閱讀”欄目

江蘇鳳凰教育出版社2019年國(guó)家教材委員會(huì)專家委員會(huì)審核通過的《數(shù)學(xué)》（必修第二冊(cè)）第13章“立體幾何初步”第197頁(yè)“閱讀”欄目的內(nèi)容是“幾何學(xué)的發(fā)展”.

本欄目基于閱讀材料，介紹了畫法幾何的應(yīng)用、畫法幾何的起源、數(shù)學(xué)家蒙日的一些研究與經(jīng)歷等，拓展畫法幾何的應(yīng)用，合理融入數(shù)學(xué)文化來創(chuàng)設(shè)應(yīng)用場(chǎng)景.

2 數(shù)學(xué)文化史話——畫法幾何與中國(guó)數(shù)學(xué)

有關(guān)立體幾何中的畫法幾何，是基于幾何學(xué)的發(fā)展中的一個(gè)重要分支，也是一門獨(dú)立的幾何分支學(xué)科.它在現(xiàn)實(shí)生活中的繪畫技術(shù)、建筑工藝、軍事工程及機(jī)械制圖等方面，都有著非常重要的用途.

2.1 透視原理與繪畫

畫法幾何起源于歐洲文藝復(fù)興時(shí)期的繪畫和建筑技術(shù).意大利數(shù)學(xué)家、藝術(shù)家阿爾貝蒂于1435年發(fā)表《論繪畫》，闡述了最早的數(shù)學(xué)透視法原理，引入了投影線和截景等概念.他的透視法逐漸得到畫家們的認(rèn)可并得以采用、改進(jìn).意大利藝術(shù)家達(dá)·芬奇在繪畫實(shí)踐中，嫻熟地運(yùn)用了數(shù)學(xué)透視法原理，主要是中心投影.他還寫了一本談透視法的書《繪畫專論》.越來越多的歐洲畫家們把學(xué)習(xí)和應(yīng)用透視法作為繪畫的自覺行為.

2.2 蒙日與畫法幾何

法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙日在1799年出版的專著《畫法幾何法》中，第一次詳細(xì)闡述了與畫法幾何相關(guān)的知識(shí)，通過將空間（三維空間）物體投影到兩個(gè)互相垂直的平面中，結(jié)合投影原理來分析并推斷對(duì)應(yīng)空間幾何體的基本性質(zhì)等，后來進(jìn)一步發(fā)展成為射影幾何學(xué).該書不論是在概念上還是在方法上，都有著深遠(yuǎn)的影響.蒙日成為了畫法幾何的創(chuàng)始人.

2.3 年希堯與《視學(xué)》

中國(guó)古籍中也有立體圖和平面圖的畫法，始于東漢，現(xiàn)在能看到的如北宋時(shí)期的《武經(jīng)總要》中的兵器圖、《新代象法要》中的天文儀器圖、《營(yíng)造法式》中的建筑圖等，而且畫得越來越好，但是總體來說還是比較粗糙，缺乏透視原理的說明，不是那么科學(xué).

年希堯?qū)茖W(xué)技術(shù)很感興趣，特別是對(duì)數(shù)學(xué)和醫(yī)學(xué)研究頗多.他于1729年出版了《視學(xué)》一書（1735年加以了修訂），系統(tǒng)論述了透視原理及畫法幾何.《視學(xué)》一書最精彩的部分是圖形.圖形分為兩大類：直觀圖（立體圖）和平面圖.直觀圖從畫法原理上又分為軸測(cè)圖和透視圖，平面圖分為二視圖和三視圖，其原理和現(xiàn)代工程制圖完全一致.書中對(duì)透視原理的論述很清楚，對(duì)于投影關(guān)系也處理得很好，他想象一個(gè)物體懸在空中，各點(diǎn)投影用虛線連接，一看就知道平面上的某個(gè)點(diǎn)是物體上哪個(gè)點(diǎn)的投影.《視學(xué)》是中國(guó)最早的一部系統(tǒng)地闡明透視原理的著作，更是18世紀(jì)畫法幾何的一部代表作.在世界上也堪稱早期畫法幾何的代表作，比蒙日的《畫法幾何法》早70年.

3 畫法幾何及其相關(guān)數(shù)學(xué)文化應(yīng)用

涉及畫法幾何及其相關(guān)數(shù)學(xué)文化的應(yīng)用，包括空間幾何體的畫法幾何及應(yīng)用，結(jié)合空間幾何體的直觀圖與應(yīng)用，以及與畫法幾何相關(guān)的數(shù)學(xué)文化等，融入相應(yīng)的數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法，基于此全面開拓?cái)?shù)學(xué)思維，優(yōu)化解題過程，養(yǎng)成解題習(xí)慣，提升解題效益.

3.1 蒙日?qǐng)A

例1" 畫法幾何學(xué)的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的蒙日?qǐng)A是x2+y2=a2+b2.若圓（x－3）2+（y－4）2=9與橢圓x2m+y2=1的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的值為（" ）.

A.2或8

B.3或63

C.3或63

D.4或64

解析：由已知條件可知mgt;0且m≠1.

依題，橢圓x2m+y2=1的

蒙日?qǐng)A方程為x2+y2=m+1，蒙日?qǐng)A的圓心為原點(diǎn)O，半徑為m+1；圓（x－3）2+（y－4）2=9的圓心為A（3，4），半徑為3.

因?yàn)閮蓤A只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以兩圓外切或內(nèi)切，則|OA|=3+m+1或|OA|=|3－m+1|.

又|OA|=32+42=5，所以3+m+1=5或|3－m+1|=5，解得m=3或63.

點(diǎn)評(píng)：依托畫法幾何學(xué)的創(chuàng)始以及蒙日?qǐng)A的場(chǎng)景，融入數(shù)學(xué)文化知識(shí)，并結(jié)合不同知識(shí)之間的關(guān)系進(jìn)行創(chuàng)設(shè)，是數(shù)學(xué)文化綜合與應(yīng)用的一種常用設(shè)置方式.

3.2 截交線

例2" 截交線，是畫法幾何中研究的重要內(nèi)容之一，是指平面與空間幾何體表面的交線.當(dāng)空間形體表面是曲面（或由若干個(gè)平面組成）時(shí)，截交線是一條平面曲線（或一個(gè)多邊形）.已知正三棱錐O-ABC，滿足OA⊥OB，OB⊥OC，OA⊥OC，|OA|=3，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部（含邊界）運(yùn)動(dòng)，且|OP|=6，則點(diǎn)P的軌跡與這個(gè)正三棱錐的截交線長(zhǎng)度為（" ）.

A.3π2

B.2π2

C.π2

D.π

解析：

圖1

依題意可得OA⊥平面OBC，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為32.設(shè)正△ABC的中心為E，如圖1所示.

由V三棱錐O-ABC=V三棱錐A-OBC，可得13×12×（32）2×sinπ3×|OE|=13×12×3×3×3，解得|OE|=3.

于是|EP|=|OP|2－|EO|2=3.又點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部（含邊界）運(yùn)動(dòng)，且|OP|=6，所以點(diǎn)P的軌跡是以E為圓心，|EP|=3為半徑的圓在△ABC內(nèi)部（含邊界）的弧.

以下過程略.

點(diǎn)評(píng)：以畫法幾何所研究的重要內(nèi)容之一——截交線為數(shù)學(xué)文化場(chǎng)景來設(shè)置問題，考查空間動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題及其對(duì)應(yīng)的綜合應(yīng)用.

3.3 三視圖

例3" 圖形是信息傳播、互通的重要視覺語(yǔ)言，《畫法幾何》是法國(guó)著名數(shù)學(xué)家蒙日的數(shù)學(xué)巨著，該書在投影的基礎(chǔ)上，用“三視圖“來表示三維空間中立體圖形.即作一個(gè)幾何體的“三視圖”，需要分別從幾何體正面、左面、上面三個(gè)不同角度觀察，從正投影的角度作圖.圖中粗實(shí)線畫出的是某三棱錐的三視圖，且網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該三棱錐的外接球的表面積為（" ）.

A.26π

B.27π

C.30π

D.33π

解析：由圖可知，

該幾何體為三棱錐，以下過程略.

點(diǎn)評(píng)：借助畫法幾何的數(shù)學(xué)文化場(chǎng)景，設(shè)置三視圖還原實(shí)物圖來合理考查三棱錐的外接球問題，以及球的表面積等.數(shù)學(xué)文化只是起到一個(gè)問題場(chǎng)景與閱讀應(yīng)用的目的，關(guān)鍵在于理解空間幾何體的三視圖特征規(guī)律以及空間幾何體之間的位置關(guān)系等，合理加以轉(zhuǎn)換，巧妙空間想象.

基于高中數(shù)學(xué)教材中相關(guān)閱讀欄目的設(shè)置與展示，如“閱讀與思考”“文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作”等，巧妙滲透數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而借助數(shù)學(xué)文化的綜合與應(yīng)用來深入探究與拓展，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化的來源的同時(shí)，進(jìn)一步探究數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，全面提升學(xué)生的學(xué)習(xí)深度與廣度.這對(duì)提升學(xué)生的“四基”“四能”，以及數(shù)學(xué)思維、創(chuàng)新意識(shí)等方面都是有幫助的.