U型探究思維下雙曲線單元教學設計

摘要：雙曲線這節在單元教學的理念下，以比較橢圓和雙曲線在定義、標準方程、圖形特征和a，b，c的關系上的異同為知識層面的明線，以類比法、坐標法、軌跡法和數形結合法等研究方法和猜想、驗證、證明等研究思路為能力與素養層面的暗線，以經驗的生長與改造、方法的類比與驗證、問題的遷移與反思為內在邏輯線設計一系列自然而然的學習活動.這種思維探究模式恰似一個“U型”，培養學生渴求知識的感覺，使學生獲得“如何思考”的智慧.

關鍵詞：U型探究；雙曲線；單元教學

項目信息：廣東省教育科學規劃2022年度中小學教師教育科研能力提升計劃項目“新課標背景下的高中數學探究活動實踐研究”，項目編號為2022YQJK047；2025年廣州市規劃課題（省教育成果培育項目）“U+4模型：高中數學建模與探究活動的教學改進”，立項編號為2024111279.

加強對數學整體性的認識，強調以具有整體性的知識單元為載體、從知識的聯系性出發進行教學設計并展開課堂教學，是這一輪課改的顯著特點，也是本次課改中切實發揮數學育人功能、轉變數學育人方式、落實數學學核心素養的關鍵抓手［1］.根據人教A版教材的安排，雙曲線的學習是在橢圓的基礎上完成的.從知識的前后聯系看，本單元是繼橢圓后坐標法的進一步運用，所要解決的問題仍然圍繞著確定曲線定義—建立曲線方程—研究曲線的幾何性質的基本路徑開展.故此，雙曲線單元探究教學可以類比橢圓的研究背景、研究方法和研究問題來實施.基于以上三個方面的思考，本節以比較橢圓和雙曲線在定義、標準方程、圖形特征和a，b，c的關系上的異同為知識層面的明線，以類比法、坐標法、軌跡法和數形結合法等研究方法和猜想、驗證、證明等研究思路為能力與素養層面的暗線，以經驗的生長與改造、方法的類比與驗證、問題的遷移與反思為探究的內在邏輯線設計一系列自然而然的學習活動.這個過程正是教育家杜威所提出的，學生在整體性的世界中的學習需要經歷一個“U型”的過程：還原與下沉、經驗與探究、反思與上浮.這種思維探究模式既強調學生與情境的相互作用，又注重學生的主觀選擇與價值判斷，過程中學生從“知識習得”升華到“知識遷移運用”［2］.

1 由“和”變“差”，經驗的生長與改造探究

研究完橢圓后，經驗發展的一個自然問題就是：平面內與兩個定點F1，F2的距離的差等于常數的點的軌跡是什么？由“和”改為“差”，從而引發出概念的經驗生長與改造.

1.1 概念的經驗生長與改造

問題1" 我們把平面內與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓.根據以上定義，同學們還能提出什么問題呢？

學生：到兩個定點的距離之差（積、商）等于常數的點的軌跡是什么？

問題2" 我們利用信息技術先來驗證一下：平面內與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數的點的軌跡為何是橢圓？

基于教材，引導學生借助信息技術來探究：在直線l上取兩個定點A，B，P是直線l上的動點.在平面內，取定點F1，F2，以點F1為圓心、線段PA為半徑作圓，再以F2為圓心、線段PB為半徑作圓，如圖1.

問題3" 請同學們在AB間移動點P，隨著點P的運動，觀察兩圓的交點M滿足什么幾何條件？其軌跡是什么形狀？

學生：|MF1|+|MF2|=|AB|，軌跡為橢圓.

問題4" 兩圓一定相交嗎？當滿足什么條件時，兩圓相交？同學們不妨改變一下AB的長度進行觀察.

學生：如果|F1F2|＜|AB|，那么兩圓相交，其交點M的軌跡是橢圓；如果|F1F2|＞|AB|，兩圓不相交，不存在交點軌跡.

1.2 作圖的經驗生長與改造

通過上面的半徑之和為定值的兩圓交點軌跡作圖經驗示范，繼續引發是否可以通過半徑之差為定值的兩圓交點軌跡進行曲線形狀的探究.那么，如何改造作圖的條件成為學生必須思考的關鍵.

問題5" 如果我們要探究與兩個定點F1，F2的距離的“差”等于常數的點的軌跡是什么，那么該如何改變條件呢？

學生：讓點P在線段AB外運動（如圖2），此時|PA|-|PB|=±|AB|，則|MF1|-|MF2|就是一個常數.

問題6" 隨著點P的運動，觀察兩圓的交點M滿足什么幾何條件？其軌跡是什么形狀？

一部分學生認為兩圓交點運動的軌跡是雙曲線；一部分學生卻認為兩圓不存在交點，沒有交點軌跡.

問題7" 為何有些同學認為兩圓有交點，有些同學卻認為沒有交點呢？

通過探究觀察，學生發現在|AB|lt;|F1F2|的條件下兩圓才有交點.

問題8" 類比橢圓的定義，請同學們用數學語言表述以上觀察到的規律.注意兩個定義之間的差異體現在哪里？

問題9" 雙曲線定義中的“絕對值”能否去掉？

問題10" 如果去掉“絕對值”如何分析軌跡點所在的位置？

問題的引領，能夠使探究關聯到學生已有的經驗背景上.讓學生自行歸納雙曲線概念，并通過信息技術的運用發現橢圓與雙曲線在概念內涵屬性上的異同：相同的是它們都是平面內與兩個定點的距離具有某種確定關系的點的軌跡，而且這種確定關系是通過代數運算得到的；不同的是所用的運算方法.這個過程能喚起學生的求知欲、興趣和探究需要，激發學習主動性，使其“自我卷入”并下沉到學習之中.

2 由“形”到“數”，方法的類比與驗證探究

在橢圓幾何性質的基礎上，已經給出了研究圓錐曲線幾何性質的一般路徑.故此，雙曲線幾何性質的探究可以通過類比的方法進行共性與特性的猜想、驗證和證明.

2.1 研究路徑出共性——范圍、對稱性、頂點

問題1" 類比橢圓幾何性質的研究路徑，我們可以研究雙曲線的哪些性質？怎么研究？

學生：橢圓是從“形”和“數”兩方面研究x，y的范圍、對稱性、頂點和離心率，如圖3.所以我們也可以先從“形”上面觀察雙曲線在范圍、對稱性和頂點這幾方面的幾何特征，再從“數”上對“形”進行檢驗.

通過類比橢圓的研究路徑，學生從“形”與“數”兩方面自行發現雙曲線與橢圓的共性.突出解析幾何用“數”解析“形”的作用，同時提升學生數形結合能力，培養學生學會總結歸納、類比遷移、自我探究的能力.

2.2 形狀差異出特性——漸近線、張口大小、離心率關系的探究

問題2" 對比橢圓與雙曲線的形狀，你還能發現雙曲線有哪些不同的特性呢？

學生：橢圓是封閉的曲線，而雙曲線是非封閉的開口曲線.故此，猜想雙曲線還有漸近線.

問題3" 從猜想、檢驗到證明的思路，能否猜想出漸近線的方程并驗證呢？（以中心在坐標原點，焦點在x軸上的雙曲線為例.）

學生小組討論后，給出以下研究思路及分析（圖4）：

問題4" 改變漸近線斜率，觀察雙曲線的變化，分析漸近線對雙曲線的什么性質有影響？

學生：張口大小.

問題5" 橢圓的離心率刻畫了橢圓的扁平程度，那么雙曲線的離心率刻畫雙曲線的什么幾何特征？

利用信息技術，學生通過固定a，改變c，或固定c，改變a兩方面探究驗證e對雙曲線張口大小的影響，從而得到e的含義可以理解為焦點離開中心的程度，是可以表示雙曲線“張口”大小的一個量.

問題6" 用漸近線與離心率刻畫雙曲線“張口”大小有什么聯系和區別？

學生：從“形”上面觀察，當e增大時漸近線與實軸的夾角增大，雙曲線開口增大；從“數”上分析，因為e=ca=a2+b2a=1+b2a2，所以用漸近線和離心率都能刻畫雙曲線的“張口”大小.區別只在于一個反映的是a，b的關系，另一個反映的是a，c的關系，但是二者可以互相轉化.

問題7" 兩條漸近線什么時候互相垂直呢？當互相垂直時，雙曲線的形狀有何特征？

遵循從一般到特殊的思路，引導學生思考特例并通過信息技術自行歸納出等軸雙曲線的概念及幾何性質.

通過類比橢圓的研究路徑和使用數形結合的思想，學生探究走得更深入更持久，最后形成思維的總結（圖5）.在“形”與“數”的對應關系上找出雙曲線與橢圓在范圍、對稱性與頂點的共性，也找出了漸近線及“張口”大小影響因素的特性.最后不難發現離心率是溝通橢圓與雙曲線共性與特性的橋梁.

3 多“變”歸“一”，問題的遷移與反思探究

杜威認為，反省的思維與方法更能培養學生的智慧.其實教材中分別在橢圓和雙曲線部分都設置了變式例題，題目背景一樣，只是數值改變了.因此可以通過引導學生運用例題的前后比較，發現規律，歸納規律.

問題1" 點A，B的坐標分別是（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們斜率之積是-49，試求點M的軌跡方程，并由點M的軌跡方程判斷軌跡的形狀.（橢圓）

變式" 把以上的“積”是-49改為“積是49”，點M的軌跡方程又有何變化？針對以上變化，你能發現何規律？（雙曲線）

學生小組討論，得出兩條直線的斜率之積若是一個常數m，當mlt;0時，則兩直線交點M的軌跡是橢圓，其中m=-b2a2；當mgt;0時，則兩直線交點M的軌跡是雙曲線，其中m=b2a2.從而得到橢圓與雙曲線的統一定義.

問題2" 動點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和M到定直線l：x=254的距離的比是常數45，求動點M的軌跡.（橢圓）

變式1" 如果把直線方程改為x=94，常數改為43，求動點M的軌跡.你又有什么發現？針對以上變化，你能發現何規律？（雙曲線）

學生小組討論，得出平面內動點M（x，y）與定點F（c，0）的距離和它到定值線l：x=a2c的距離的比是常數ca.若0lt;calt;1，即agt;cgt;0，則點M的軌跡為橢圓，方程為x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）；若cagt;1，即cgt;agt;0，則點M的軌跡為雙曲線，方程為x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）.

變式2" 若常數ca=1，則點M的軌跡是什么呢？（拋物線）

探究出新知，針對變式內容提出新問題，既需要對前面橢圓和雙曲線的深度理解，又使學習有了新的起點，帶著問題進入后續學習，為拋物線的學習和圓錐曲線的統一定義作鋪墊，起到承上啟下、上下貫通的作用.同時讓學生感知：值在變但方法不變，結果在變但規律沒變的圓錐曲線單元體系.

總的來說，U型探究思維可以從單元統整的視角出發將前后知識進行重構與規劃，形成有聯系的結構化的探究內容體系.通過問題與情境，將已有經驗與新信息建立起關聯；通過方法與驗證，將研究的思路與思維與要學習的問題建立關聯；通過遷移與反思，將看似不同的知識最終化歸為一致的知識體系.借助問題的引領，促使學生通過自主活動獲取理解概念所需的“事實”，從而形成對概念本質的深刻體悟；有意識地延長知識的獲得過程，給學生提供感悟知識精髓的時間和空間；培養學生渴求知識的感覺，使學生獲得“如何思考”的智慧［3］.

參考文獻：

［1］章建躍.基于數學整體性的單元教學設計（之一）［J］.中小學數學（高中版），2020（Z1）：130.

［2］朱寧波，王志勇.論深度教學的理論邏輯——基于杜威經驗主義知識論視角［J］.當代教育科學，2021（11）：23-30.

［3］章建躍.基于數學整體性的單元教學設計之教學過程設計［J］.中小學數學（高中版），2020（9）：66，64.