突出概念性質，指向核心素養

摘要：數學學科核心素養的指向必須扎根于數學課堂教學與學習，基于數學知識的學習來實現核心素養的培養與提升，這已經成為數學教學與學習的一個常態.本文中通過以“函數的概念與性質”單元教學設計為例，立足單元教學根本，突出函數的基本概念與基本性質，指向核心素養的培養與提升，指導數學教學與學習.

關鍵詞：概念；性質；核心素養；函數；單元教學設計

課題信息：甘肅省教育科學“十四五”規劃2023年度專項課題“高中數學‘函數的概念與性質、冪函數、指數函數和對數函數’單元教學設計與實施研究”，課題編號為GS［2023］GHBZX0093.

1 問題提出

《普通高中數學課程標準（2017年版）》的“課程基本理念”部分，在延續傳統、繼承創新的基礎上，首次創新性地提出“數學學科核心素養”這一基本理念，并加以全面概括.借助高中數學課堂的教學設計與研究，培養與提升數學學科核心素養，在這個過程中合理構建一個“教—學—評”的完整體系，成為數學活動中的一種基本常態［1］.

在“函數的概念與性質”的單元教學設計中，如何重視這部分知識，突出基本概念與基本性質，合理指向數學學科核心素養，全面促進教學與學習，以及學生的全方位發展呢？

本文中以“函數的概念與性質”單元教學設計為例，依托新教材、新課程、新高考的“三新”背景，就該單元中函數的基本概念、基本性質，通過初中函數概念的抽象與完善，巧妙融合高中集合知識，并交匯高中階段其他相關知識加以綜合，契合并實現“在知識交匯點處命題”的命題指導思想，結合實例就數學學科核心素養的提升與培養加以合理全面闡述，以期拋磚引玉.

2 問題解決

2.1 立足教材知識，構建網絡體系

在進行單元教學設計時，一定要立足高中數學教材，從教材實際出發，全面構建與之對應的單元知識體系網絡，聯系單元知識的方方面面，形成框架體系，構建完善、系統的知識網絡，真正指向核心素養.

2.2 借助課標解讀，指導單元學習

其一，理解并掌握函數的基本概念，以及函數中的常見本性質，合理、靈活加以應用，解決有關問題.函數的定義域、解析式、值域（最值）是高考的重點內容，或者直接考查，或者以它們為背景結合其他知識點進行考查，例如定義域與函數值的結合、解析式與求函數值的結合、值域與求最值的結合；函數的單調性是每年高考中的一個基本考點，考題既有填空題，又有解答題，難度既有容易題、中等題，也有難題；函數的奇偶性是高考中的必考內容，主要考查函數奇偶性的判定以及與周期性、單調性相結合的題目，在命題形式上主要是填空題和解答題.

其二，函數思想要求我們站在函數的高度上俯視、統攬諸如方程、不等式、取值范圍、大小比較等問題，使原本復雜的問題變得脈絡清晰、思路簡明、易于解決.函數內容涉及的方法有數形結合、函數與方程、分類討論和等價轉化等.在具體解題過程中，經常用到配方法、換元法、消元法、代入法及待定系數法等一些基本數學方法.

2.3 梳理重點知識，指向單元復習

函數的概念與基本性質這部分的重點知識包括：（1）函數解析式的求法；（2）函數定義域的求法；（3）函數的單調性、奇偶性和周期性；（4）函數的值域（最值）的求法；（5）函數的圖象；（6）函數的實際應用等.

2.4 歸納方法技巧，引導單元教學

（1）函數的定義域問題一般包括三類：一般函數中的定義域問題、實際應用中的定義域問題以及復合函數中的定義域問題.在解題中先確定函數的定義域不僅是解題程序的需要，可以避免許多錯誤，而且有時可以避開討論，簡化解題過程.同時解題時要注意深層次的思考，不能僅從表象上做出膚淺的判斷.

（2）求解函數值域的常用方法有：觀察法、配方法、反函數法、判別式法、換元法、幾何法（或數形結合法、圖象法）、不等式法、求導法等.在實際求解中，各種方法往往可以相互滲透，有時可以多種方法并用.

（3）求解函數解析式常用的方法有：直接法、待定系數法、特殊值法、換元法、解方程組法等.

例1" （1）函數f（x）=3x21－x+（3x－1）0的定義域是（" ）.

A.－∞，13

B.13，1

C.－13，13

D.－∞，13∪13，1

（2）已知函數y=f（x+1）的定義域是［－2，3］，則y=f（2x－1）的定義域是（" ）.

A.［0，52］

B.［－1，4］

C.［－5，5］

D.［－3，7］

點評：在求解一般函數的定義域問題時，只要確定相應的解析式有意義即可.對于實際問題，要在考慮解析式有意義的同時考慮實際意義與應用.對于復合函數的定義域問題，要注意復合的類型以及求解的技巧與方法.

2.5 總結常用結論，提升思維能力

（1）注意兩個具有單調性的函數的和與差之間的單調性變化規律，以及復合函數的單調性變化規律.

（2）兩個奇函數的和仍為奇函數；兩個偶函數的和仍為偶函數；兩個奇函數的積為偶函數；兩個偶函數的積為偶函數；—個奇函數與一個偶函數的積為奇函數；定義域包括0的奇函數f（x），f（0）=0恒成立.

（3）偶函數在關于原點對稱的區間上單調性相反；奇函數在關于原點對稱的區間上單調性相同.

例2" 已知f（x）=xx－a（x≠a）.

（1）若a=－2，試證明f（x）在（－∞，－2）內單調遞增；

（2）若agt;0且f（x）在（1，+∞）內單調遞減，求a的取值范圍.

點評：函數單調性與奇偶性應用的常見題型有4類.（1）用定義判斷或證明函數的單調性和奇偶性；（2）利用函數的單調性和奇偶性求單調區間；（3）利用函數的單調性和奇偶性比較大小，解不等式；（4）利用函數的單調性和奇偶性求參數的取值范圍.

2.6 挖掘命題趨勢，指向復習備考

每年高考數學試卷中，涉及函數知識的試題所對應的分值比例始終在20%左右，所考查的函數知識點眾多，覆蓋面廣，常考常新，也使函數成為歷年高考中最受關注的板塊之一.

函數命題基本走向：創造新情境，運用新形式，考查基本概念及其性質；具有抽象化趨勢，即通過函數考查抽象能力；函數、數列、不等式的交匯與融合；利用導數研究函數性質等.函數試題的設計始終圍繞著幾個基本初等函數展開，并通過幾個函數之間的串聯組合成為復合函數，達到對函數知識、方法和思想的深刻考查.對復合函數類問題，要掌握換元、分解、整體代入等方法，找到其母函數，進而化歸為基本初等函數問題加以解決.

例3" 某企業生產一種機器的固定成本為0.5萬元，同時每生產1百臺機器時，又需要對應的可變成本（即另增加投入）0.25萬元.市場對該機器的年需求量約為5百臺，銷售的收入（單位：萬元）函數為F（x）=5x－12x2（0≤x≤5），其中x是產品生產的數量（單位：百臺）.

（1）試將企業的利潤表示為產品產量的函數；

（2）該企業年產量是多少時，企業所得的利潤最大？

點評：解應用題的基本步驟分為4步.（1）審題，立足閱讀理解，挖掘條件與結論，厘清并構建數量關系；（2）建模，即合理構造應用，將文字中的條件巧妙轉化為相應的數學語言，應用數學知識建立相應的函數模型；（3）解模，即求解函數模型，得到數學結論；（4）還原，即將數學方面的結論還原到實際問題中，解釋實際意義.

3 感悟反思

依托“函數的概念與性質”的單元教學設計，從函數的基本概念與基本性質入手，是函數部分的基本內容，也是復習的重點內容之一.特別是，以函數的概念與性質為基礎，深入函數的方方面面，把初、高中數學中的各個基本分支與知識模塊緊緊聯系在一起，構建完整的知識體系.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2017.