基于大單元復習課的項目化學習的教學實踐

摘要：“齊次”從字面上解釋是“次數相同”的意思，“齊次化”則是對方程的一種處理方法，使得方程中各項參數的次數相同.“齊次化方法”其本質是應用了更加廣泛的曲線方程，該解法能夠極大地簡化相關計算過程，是一種很好的解題方法.熟練掌握“齊次化方法”，學生在考場上能夠應對自如，手到擒來.

關鍵詞：齊次化方法；大單元復習課；斜率；定值

大單元復習課注重課程目標與教學內容之間的整合聯系，體現整體化的教學思維［1］.以項目化學習的方式整合單元知識要點，完成一個任務，串聯大單元教學，能夠實現知識間橫向與縱向的聯系與運用.在備課階段筆者再次認真鉆研教材，在理解核心素養導向下的“大單元教學”設計要求的前提下，安排教學活動，對“大單元復習課的項目化學習”的新課程體系又有了新的理解.

圓錐曲線是高考的必考知識點，也是很多學生突破高分的攔路虎，計算量大、綜合性強是圓錐曲線試題的特點，因此很多學生視其為“眼中釘，肉中刺”.不過圓錐曲線題目是有規律可尋的，特別是經常遇到的“圓錐曲線過定點的兩直線斜率之和與之積的證明或求值問題”.定值問題體現了圓錐曲線的統一性及其優美的幾何特征，考查學生猜想、論證、類比、轉化與化歸等數學思想.熟練掌握“齊次化方法”，能夠極大地簡化解題過程，提升學生的數學運算、數學建模、邏輯推理等核心素養.只要真正做好練習和鞏固，這類問題便可手到擒來.

孔子曰：“疑是思之始，學之端.”質疑是學生思想活躍的表現，培養學生的質疑精神有助于提升學生的數學核心素養.所以，教師應善于把握時機，引導學生積極主動地參與到對疑難問題的探究中，這是培養其創新品質的重要途徑.

例1" 已知橢圓E：x24+y23=1上一點A1，32，過點B（0，2）的直線l（不過點A）與橢圓E交于不同的兩點M，N.設直線AM和直線AN的斜率分別為kAM和kAN，求1kAM+1kAN的值.

解：當直線l的斜率存在時，設l的方程為y=kx+2.設M（x1，y1），N（x2，y2）.

將y=kx+2代入3x2+4y2=12，消去y，得（4k2+3）x2+16kx+4=0；

消去x，得（4k2+3）y2－12y+12－12k2=0.

于是x1+x2=－16k4k2+3，x1x2=44k2+3；

y1+y2=124k2+3，y1y2=12－12k24k2+3.

易得1kAM+1kAN=x1－1y1－32+x2－1y2－32=x1y2+x2y1－32（x1+x2）－（y1+y2）+3y1－32y2－32.

所以1kAM+1kAN=2kx1x2+12－k（x1+x2）－1y1y2－32（y1+y2）+94

=8k+12－k（－16k）－（4k2+3）12－12k2－32×12+94（4k2+3）=12k2－334－3k2=－4.

當直線l的斜率不存在時，M（0，3），N（0，－3），此時1kAM+1kAN=－4.

綜上，1kAM+1kAN=－4.

上面是標準解答過程，筆者原來的教學目標是利用其進行“模式化”訓練.但是突然有學生提出：“老師，這個方法我們都會，但計算量太大，我們不想算，也算不對，而且考場上時間也不允許.有簡便方法嗎？”

接下來“向斜率看齊”，探討新的解法.

第一步：設直線MN的方程為

m（x－1）+ny－32=1.

由直線MN過點B（0，2），得n=2（1+m）.

第二步：“配湊”橢圓方程，得

3（x－1+1）2+4y－32+322=12.

整理得4y－322+3（x－1）2+6（x－1）+12y－32=0.

第三步：也是關鍵的一步，如何使得方程的各項參數的次數相同.

將整理后的橢圓方程“齊次化”為

4y－322+3（x－1）2+6（x－1）+12y－32＼5m（x－1）+ny－32=0.

整理得（4+12n）y－322+（6n+12m）（x－1）＼5y－32+（3+6m）（x－1）2=0.

第四步：等式兩邊同除以（x－1）2，得

（4+12n）y－322（x－1）2+（6n+12m）y－32x－1+（3+6m）=0，

即（4+12n）k2+（6n+12m）k+（3+6m）=0.

由韋達定理，得

kAM+kAN=－6n+12m4+12n，kAMkAN=3+6m4+12n.

第五步：代入求值，有1kAM+1kAN=kAM+kANkAMkAN=－6n+12m3+6m=－12（1+m）+12m3（1+2m）=－4.

以上解題方法我們稱它為“齊次化方法”.利用齊次化方法求解圓錐曲線中與斜率有關的定值問題，能夠避免復雜的計算化簡過程，又快又準地完成解題.

例2" （2017年新課標全國I卷理科＼520）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），四點P1（1，1），P2（0，1），P3－1，32，P41，32中恰有三點在橢圓C上.

（1）求C的方程；

（2）設直線l不經過點P2且與C相交于A，B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率之和－1，證明：l過定點.

（1）解：易求得橢圓C的方程為x24+y2=1.

（2）證明：橢圓方程“配湊”為x2+4（y－1+1）2=4.

整理，得x2+4（y－1）2+8（y－1）=0.

設直線l的方程為mx+n（y－1）=1，利用“齊次化方法”整理得

x2+4（y－1）2+8（y－1）·［mx+n（y－1）］=0，

即（4+8n）（y－1）2+8m（y－1）·x+x2=0.

等式兩邊同除以x2，得

（4+8n）（y－1）2x2+8my－1x+1=0.

由韋達定理，得kP2A+kP2B=－8m4+8n=－1.

解得m=1+2n2.

把m=1+2n2代入直線l的方程，得到1+2n2x+n（y－1）=1，可以解得直線過定點（2，－1）.

例3" 已知A，B為橢圓x24+y2=1的左、右頂點，直線y=kx+m交橢圓于C，D兩點，直線AC的斜率是直線BD的斜率3倍.

（1）若P為橢圓上異于A，B的一點，證明：直線PA和PB斜率的之積為常數;

（2）證明：直線CD過定點.

證明：（1）由題意知A（－2，0），B（2，0）.設P（x，y），則kPA·kPB=yx+2·yx－2=y2x2－4=－14.

（2）由（1）知kDA·kBD=－14.又kAC=3kBD，所以kDA·kAC=－34.

橢圓方程可變形為（x+2－2）2+4y2=4，即

（x+2）2－4（x+2）+4y2=0.

①

設直線CD的方程為m（x+2）+ny=1，將其代入①式得

（x+2）2－4（x+2）·［m（x+2）+ny］+4y2=0.

整理，得（1－4m）（x+2）2－4n（x+2）y+4y2=0.

兩邊同除以（x+2）2，得

（1－4m）－4n＼5yx+2+4＼5y2（x+2）2=0.

所以kDA·kAC=1－4m4=－34，解得m=1.

把m=1代入直線方程m（x+2）+ny=1，可知直線CD過定點（－1，0）.

例4" （2023年新高考II卷＼521）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為（－25，0），離心率為5.

（1）求C的方程；

（2）記C的左、右頂點分別為A1，A2，過點（－4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點，點M在第二象限，直線MA1與NA2交于點P，求證：點P在定直線上.

（1）解：易求得雙曲線C的方程為x24－y216=1.

（2）證明：利用“齊次化方法”可得到過同一點的兩條直線斜率之間的關系kMA2·kNA2=－43.

又kMA2·kMA1=4，所以kMA1=－3kNA2.

直線MA：y=kMA1（x+2）=－3kNA2·（x+2），直線NA2：y=kNA2（x－2）.

聯立方程組，解得x=－1.

因此點P在定直線x=－1上.

例5" （2005年山東卷理科＼522）已知動圓過定點p2，0，且與定直線x=－p2相切，其中pgt;0.

（1）求動圓圓心C的軌跡方程；

（2）設A，B是軌跡上異于原點的兩個不同點，直線OA，OB的傾斜角分別為α，β，當α，β變化且α+β為定值θ（0lt;θlt;π）時，證明直線AB恒過定點，并求出定點的坐標.

解：（1）易求得動圓圓心C的軌跡方程為y2=2px.

（2）設直線AB的方程為y=kx+b，即y－kxb=1，代入方程y2=2px中得y2=2px·y－kxb.

整理，得by2－2pxy+2pkx2=0.

因為x≠0，

所以byx2－2p＼5yx+2pk=0，則

tan α+tan β=2pb，tan αtan β=2pkb.

于是可得tan θ=tan （α+β）=tan α+tan β1－tan αtan β=2pb1－2pkb=2pb－2pk，則

b=2pk+2ptan θ.

所以，直線AB的方程為y=kx+2pk+2ptan θ，即y=k（x+2p）+2ptan θ.

故直線AB恒過定點－2p，2ptan θ.

當θ=π2時，由α+β=π2，得tan αtan β=1，即2pkb=1，則b=2pk，此時

直線AB：y=k（x+2p），因此直線AB過定點（－2p，0）.

對于圓錐曲線，筆者整理總結出以下一般性的結論：

（1）已知P0（x0，y0）為橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）上一定點，過點P作斜率為k1，k2的兩條直線分別與橢圓交于M，N兩點.

①若k1+k2=λ（λ≠0），則直線MN過定點x0－2y0λ，－y0－2b2x0λa2；

②若k1·k2=λλ≠b2a2，則直線MN過定點λa2+b2λa2－b2x0，－λa2+b2λa2－b2y0.

（2）已知P0（x0，y0）為雙曲線x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）上一定點，過點P作斜率為k1，k2的兩條直線分別與雙曲線交于M，N兩點.

①若k1+k2=λ（λ≠0），則直線MN過定點x0－2y0λ，－y0+2b2x0λa2；

②若k1·k2=λλ≠-b2a2，則直線MN過定點λa2－b2λa2+b2x0，－λa2－b2λa2+b2y0.

（3）已知P0（x0，y0）為拋物線y2=2px（pgt;0）上一定點，過點P作斜率為k1，k2的兩條直線分別與拋物線交于M，N兩點.

①若k1+k2=λ（λ≠0），則直線MN過定點x0－2y0λ，－y0+2pλ；

②若k1·k2=λλ≠0，則直線MN過定點x0－2pλ，－y0.

數學家波利亞曾說：“掌握數學就是意味著善于解題.”筆者通過歷年高考真題以及練習題，用“大單元復習課的項目化學習”的一種新的教學方式，讓學生不僅完成了用“齊次化方法”求解圓錐曲線有關的斜率定值問題的任務，更重要的是串聯起圓錐曲線這個大單元知識點的學習，實現知識間橫向與縱向的聯系與運用，能夠舉一反三，形成一個知識體系.

參考文獻：

［1］王秀彩，劉嘉，孔志文，等.高中數學大單元主題教學結構化的實踐研究［J］.中學數學教學參考，2023（22）：72-76.