轉(zhuǎn)化與化歸思想在高中數(shù)學試題中的應(yīng)用特征分析及教學啟示

摘要：轉(zhuǎn)化與化歸思想是高中數(shù)學試題考查的重要思想之一，文章以一道典型例題為研究對象，分析試題是如何體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查的，結(jié)合教學實際，總結(jié)出轉(zhuǎn)化與化歸思想在高中數(shù)學試題中的應(yīng)用特征，并提出教學策略.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；轉(zhuǎn)化與劃歸思想；教學策略

轉(zhuǎn)化與化歸思想是高中數(shù)學中重要的數(shù)學思想方法，是指通過將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為已知或更簡單的形式，或者將問題歸結(jié)為已掌握的數(shù)學模型或方法進行解決的過程［1］.在高中數(shù)學培養(yǎng)目標體系中，轉(zhuǎn)化與化歸思想占據(jù)著核心地位.它不僅是培養(yǎng)學生邏輯思維能力、創(chuàng)新意識的重要途徑，還能幫助學生深入理解數(shù)學概念，提高解決實際問題的能力.因此，轉(zhuǎn)化與化歸思想的培養(yǎng)貫穿數(shù)學教學的各個環(huán)節(jié)，幫助學生逐步掌握由淺入深、由易到難的學習方法，從而提升數(shù)學素養(yǎng).

1 典型例題呈現(xiàn)

圖1

（多選）如圖1所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱AB上的動點，DF⊥平面D1EC，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論正確的是（" ）.

A.FD1=FC

B.三棱錐C-DED1的體積為定值

C.ED1⊥A1D

D.BC1與AC所成的角為45°

分析：取D1C的中點O，運用已知條件證得FO⊥D1C，可得點F在線段D1C的垂直平分線上，于是可判斷選項A正確.因為三棱錐C-DED1即為三棱錐E-DCD1，三棱錐E-DCD1的底面積和高都為定值，所以可判斷選項B正確.利用線面垂直證明判斷選項C正確，利用平移法可判斷選項D錯誤.

解：對于選項A，如圖2，取D1C的中點O，連接DO，F(xiàn)O.因為四邊形DD1C1C為正方形，所以DO⊥D1C.因為DF⊥平面D1EC，D1C平面D1EC，所以DF⊥D1C.又因為DO∩DF=D，DO，DF平面DOF，所以D1C⊥平面DOF.又FO平面DOF，所以FO⊥D1C.又因為O為D1C的中點，所以FD1=FC.故選項A正確.

圖2

對于選項B，三棱錐C-DED1即為三棱錐E-DCD1.因為△DCD1的面積為定值，點E到平面DCD1的距離為定值，所以三棱錐E-DCD1的體積為定值，即三棱錐C-DED1的體積為定值.故選項B正確.

對于選項C，因為A1D⊥AD1，A1D⊥AB，AD1∩AB=A，AD1，AB平面ABC1D1，所以A1D⊥平面ABC1D1.又ED1平面ABC1D1，所以ED1⊥A1D.故選項C正確.

對于選項D，將BC1平移到AD1，易知BC1與AC所成的角為60°.故選項D錯誤.

點評：在這道高中數(shù)學題中，正方體與三棱錐體積的綜合考查清晰地體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸這一重要的數(shù)學思想.題目通過設(shè)定E為棱AB上的動點，以及DF⊥平面D1EC的條件，巧妙地引導(dǎo)學生將三維幾何問題轉(zhuǎn)化為更易處理的二維幾何問題.

具體來說，選項A要求學生判斷FD1是否等于FC，這涉及學生通過轉(zhuǎn)化，將空間中斜線之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為利用勾股定理或三角形相似進行分析.選項B要判斷三棱錐的體積是否為定值，考查學生對體積計算公式的理解，并引導(dǎo)學生通過點E的運動分析體積是否發(fā)生變化，這也是通過轉(zhuǎn)化來簡化體積問題的典型應(yīng)用.選項C要求判斷ED1是否垂直于A1D，考查學生將三維問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的能力，體現(xiàn)了幾何關(guān)系的轉(zhuǎn)化.選項D涉及兩條異面直線所成角度的計算，要求學生能夠通過轉(zhuǎn)化與歸化，將復(fù)雜的空間角度問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)角度的計算.

總之，這道題要求學生對空間中的幾何關(guān)系進行合理的轉(zhuǎn)化與化歸，在較復(fù)雜的空間幾何中尋找到簡化問題的方法和途徑，充分體現(xiàn)了數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想.學生需要通過這種思想將空間中的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為熟悉的二維問題，進而利用已有知識求解，這一過程深刻考查了學生的邏輯思維和幾何推理能力.

2 應(yīng)用特征分析

結(jié)合教學實踐和高中數(shù)學試題，筆者總結(jié)轉(zhuǎn)化與劃歸思想在高中數(shù)學試題中的三點應(yīng)用特征，為教學改進提供保障.

2.1 化繁為簡，聚焦核心問題

在高中數(shù)學試題中，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用特征首先體現(xiàn)在化繁為簡的過程中，即通過轉(zhuǎn)化操作將復(fù)雜問題簡化為基本問題，從而聚焦核心問題.這種特征在函數(shù)、數(shù)列及立體幾何等試題中尤為突出.例如，在解決復(fù)雜的函數(shù)問題時，常常通過代換或引入新的變量，將原問題轉(zhuǎn)化為更易處理的形式，使解題過程更簡潔.在立體幾何中，也可以通過轉(zhuǎn)化視角，將空間問題平面化或簡化為已知幾何模型，從而突出問題中的核心關(guān)系.這一應(yīng)用特征強調(diào)了轉(zhuǎn)化思想在復(fù)雜問題的求解、突出數(shù)學本質(zhì)方面的重要性，使學生能夠更直觀地把握解題關(guān)鍵.

2.2 化難為易，尋求通用策略

化歸思想在高中數(shù)學試題中的應(yīng)用特征之一是化難為易，通過將復(fù)雜問題歸類到某種熟悉的數(shù)學模型或解題方法中，尋求通用策略.這種特征在解綜合性題目時表現(xiàn)得尤為明顯.例如，在面對綜合函數(shù)題時，學生可以通過將問題轉(zhuǎn)化為研究特定函數(shù)的性質(zhì)或利用某種通用解法，如構(gòu)造輔助函數(shù)或歸納同類項，從而使問題變得易于處理.化歸思想通過將不同的問題歸結(jié)為具有共性或相似結(jié)構(gòu)的已知問題，使解題過程得以簡化，并有效減少了思維阻礙.這一特征突出強調(diào)了轉(zhuǎn)化與化歸思想在復(fù)雜問題處理中的廣泛應(yīng)用，使學生能夠在多樣化的題目中尋找到有效的解決策略.

2.3 化整為零，分步突破難點

轉(zhuǎn)化與化歸思想的另一重要應(yīng)用特征是化整為零，即通過將一個復(fù)雜的整體問題分解為若干子問題，從而逐步突破各個難點.這一特征在高難度試題的求解中尤為重要，特別是在解答多步驟問題或需要綜合運用多個知識點的題目時.例如，在解析幾何問題中，學生可能需要通過劃分區(qū)域或分解幾何條件，將整體問題分解為多個可以獨立處理的小問題，再分別求解這些子問題，最終合并結(jié)果.這一特征體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想在解決復(fù)雜數(shù)學問題時的實用性，使學生能夠通過分步思考、逐層推進的方式，有條不紊地解決具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學問題.

3 教學啟示

3.1 逐步引導(dǎo)轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)解題能力

教師應(yīng)通過逐步引導(dǎo)的方式培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)化思維能力.這種策略包括從簡單到復(fù)雜的題目設(shè)計，逐步引導(dǎo)學生在解決數(shù)學問題時運用轉(zhuǎn)化思想［2］.例如，針對高次方程的解法，教師可以先從基礎(chǔ)的代數(shù)操作題入手，逐漸引入需要多步轉(zhuǎn)化的復(fù)雜問題.通過系統(tǒng)的練習和講解，教師可以幫助學生掌握將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡化問題的技巧，并通過逐步遞進的練習提高學生的解題能力.具體操作中，可以在每節(jié)課結(jié)束時布置一些需要轉(zhuǎn)化的習題，并通過詳細的講解和討論，幫助學生理解每一步轉(zhuǎn)化的原因和方法，從而逐漸提升運用轉(zhuǎn)化思想解決問題的能力.

3.2 系統(tǒng)分類歸納，強化知識整合能力

教師應(yīng)系統(tǒng)地進行問題分類和歸納訓練，以強化學生的化歸思維和知識整合能力.具體策略包括將課堂上涉及的數(shù)學問題進行系統(tǒng)性歸類，如函數(shù)題、幾何題、數(shù)列題等，并通過分類練習幫助學生理解每類問題的共性特征及解題方法.例如，在講解函數(shù)問題時，教師可以通過歸納不同類型函數(shù)題的解法技巧，幫助學生總結(jié)出通用的解題策略.課堂上，可以設(shè)置專題討論和分類演練環(huán)節(jié)，鼓勵學生在解決問題時將其歸納到已知的數(shù)學模型中，提升知識整合和應(yīng)用能力.這種方法能夠使學生在面對各種題型時，迅速找到合適的解決策略，并在考試中提高答題效率和準確率.

3.3 設(shè)計綜合問題，鍛煉綜合應(yīng)用能力

教師應(yīng)設(shè)計綜合性的數(shù)學問題，鍛煉學生的綜合應(yīng)用能力.這一策略包括在課堂上引入多步驟、多知識點的綜合題目，要求學生綜合運用所學知識進行解答.例如，在講解立體幾何和解析幾何時，教師可以設(shè)計一些綜合題，要求學生將幾何圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，然后運用相關(guān)的數(shù)學知識求解.通過這種綜合訓練，學生不僅可以提高解題的綜合能力，還能夠?qū)W會在處理復(fù)雜問題時將問題分解為若干部分逐步解決.這種訓練能夠增強學生在面對復(fù)雜問題時的自信心和解決能力，同時培養(yǎng)其將不同知識點融合應(yīng)用的能力，對提高整體數(shù)學水平具有重要意義［3］.

參考文獻：

［1］王新鋒.轉(zhuǎn)化與化歸思想方法在高中物理教學中的應(yīng)用研究［D］.蘇州：蘇州大學，2016.

［2］王亞琴.依托化歸思想高效解決高中數(shù)學試題［J］.數(shù)理天地（高中版），2024（15）：50-51.

［3］尚豪杰.借助轉(zhuǎn)化思想助推高中生高效解答數(shù)學試題［J］.數(shù)理天地（高中版），2023（13）：33-35.