導數在解三角函數問題中的運用

摘要：導數為研究函數提供了新的方向，因此導數與三角函數相結合的問題也成為了高考的一類熱點問題.導數與三角函數的結合，是在函數背景下考查三角函數問題，主要涉及求導公式、導數的幾何意義、解三角形、三角恒等變換等基礎知識，且在選擇題、填空題以及解答題中均有較大的幾率出現.本文中主要通過相應的例題幫助學生分析常考題型的解題要領，以便提升正確率.

關鍵詞：導數；三角函數；解題技巧

導數是中學數學的重要內容，也是解題技巧的重要媒介.特別是在三角函數問題中使用非常頻繁，下面將通過三部分內容進行簡要分析.

1 導數與三角恒等變換的整合

導數與三角恒等變換整合類問題重點考查三角函數的求導公式、導數的運算與幾何意義等知識.常見的題型包括求在某一點處的切線的斜率，求某一點處的切線方程等，難度較大，解答此類型問題的關鍵就是要對求導法則和常見的函數導數公式足夠熟悉，熟練掌握三角恒等變換的常用公式與方法，以及特殊角的三角函數值，除此之外，還需要明確導數的幾何意義［1］.

例1" 曲線y=sin xsin x+cos x-12在點Mπ4，0處的切線的斜率為（" ）.

A.-12

B.12

C.-22

D.22

思考：本題考查的側重點是運算求解能力，主要以導數為載體考查同一角的三角函數的平方關系和特殊角的三角函數值.

解析：由y=sin xsin x+cos x-12，得

y′=sin xsin x+cos x′

=cos x（sin x+cos x）-sin x（cos x-sin x）（sin x+cos x）2

=1（sin x+cos x）2.

當x=π4時，y′=1sinπ4+cosπ42=12.

所以，曲線在點Mπ4，0處的切線斜率為12.

故選：B.

例2" 曲線y=sin xsin x+cos x-sin 2x在點Nπ4，0處的切線的斜率為（" ）.

A.-12

B.12

C.-22

D.22

思考：此題先根據已知條件求出函數的導函數，再將x=π4代入運算，即可得出曲線在點Nπ4，0處的切線斜率.

解析：由y=sin xsin x+cos x-sin 2x，得

y′=sin xsin x+cos x-sin 2x′

=sin2x+cos2x（sin x+cos x）2-2sin xcos x

=sin 2x+cos 2xsin 2x+cos 2x+2sin xcos x-sin 2x

=11+sin 2x-sin 2x.

所以，曲線在點Nπ4，0處的切線斜率為k=11+sinπ2-sinπ2=12-1=-12.

故選：A.

2 以導數為載體考查三角函數的性質

三角函數的性質是高中數學的重點知識，將其與導數相結合進行考查，更能反映學生對導數與三角函數性質的掌握程度，以及靈活運用能力.此類問題在選擇題和填空題中均有可能出現，解答這類型問題的要領在于要熟練掌握求導法則和常見函數的導數公式，且三角函數的圖象與性質也要熟練于心［2］.

例3" 已知點P在曲線y=4ex+1上，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是（" ）.

A.0，π4

B.π4，π2

C.π2，3π4

D.3π4，π

思考：本題重點考查學生的運算能力和靈活運用知識解決問題的能力，考查運用基本不等式求函數最值的方法，導數的幾何意義，直線的傾斜角與斜率的關系，函數圖象與性質.

解析：根據題意可得y′=4ex+1′，則

y′=-4ex（ex+1）2=-4exe2x+2ex+1=-4ex+1ex+2

≥-42ex＼51ex+2=-1.

又ex＞0，則y′＜0，所以-1≤y′≤0.

于是-1≤tan αlt;0.

所以3π4≤αlt;π.故選：D.

練習" 已知點P在曲線y=43ex+1上，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是（" ）.

A.0，π3

B.π3，π2

C.π2，2π3

D.2π3，π

3 利用導數研究三角函數的單調性與極值

單調性與極值是函數的重點內容，因此在三角函數中也應當作為重點考查.三角函數的單調性與極值在選擇題與填空題中常以單獨一個題的形式存在，但在解題中卻常為重要的步驟而存在.解答這類問題的要領在于熟練運用

求導法則與常見函數的導數公式，清晰明確運用導數求函數單調區間和極值的基本思路與過程，熟練掌握三角恒等變換的方法與公式，除此之外，三角函數的圖象與性質也是必須掌握的內容.

例4" 設函數f（x）=sin x-cos x+x，0lt;xlt;2π，求函數f（x）的單調區間與極值.

思考：本題的重點在于導數的運算，即運用導數分析函數單調性和極值的方法，對學生綜合運用知識解決問題的能力有一定要求.通過導數分析函數的單調區間和極值，當導數等于零時得到的自變量值可能是極值點，借此列表得到不同區間內導數的正負性并得到函數單調區間與極值.

解：由f（x）=sin x-cos x+x，可得

f′（x）=cos x+sin x+1=2sinx+π4+1.

由f′（x）=0，得

sinx+π4=-22.

又0lt;xlt;2π，

所以x=π或x=3π2.

當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如表1所示.

表1

x（0，π）ππ，3π23π23π2，2π

f′（x）+0-0+

f（x）單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增

由表1可得：

在區間（0，π）與3π2，2π上，函數f（x）單調遞增；

在區間π，3π2上，函數f（x）單調遞減.所以函數f（x）的極小值為f3π2=3π2-1，極大值為f（π）=π+1.

練習" 設函數f（x）=sin x-3cos x+x，0lt;xlt;2π，求函數f（x）的單調區間與極值.

三角函數在高中數學中具有重要地位，在高考中占有較大分值，且三角函數的圖象與性質、恒等變換等內容均是重點考查的內容，而導數也是近幾年的熱門內容之一，將三角函數與導數結合，考查方式新穎.本文中提供了應用導數解決三角函數問題的三種題型：導數與三角恒等變換的整合，以導數為載體考查三角函數的性質，利用導數研究三角函數的單調性與極值.不同題型對應的解題方式各不相同，有助于學生快速采取正確合理的思路解答這一類問題.通過對上述例題的分析，希望能幫助學生在學習過程中針對不同的問題，靈活解答，以此提高解題效率.

參考文獻：

［1］楊利剛.導數在三角函數問題中的應用［J］.中學數學教學，2008（3）：35-35.

［2］蔡勇全.例談導數在解答三角函數問題時的幾種\"活用\"［J］.數理化學習（高中版），2016（9）：29-34.