基于保持特殊性質，探尋動點軌跡

摘要：立體幾何中的動點軌跡及其應用問題，是高考數學命題中的重點與難點之一.在立體空間的應用場景下，基于動點保持所對應元素性質如平行關系、垂直關系、等距關系及等角關系等的軌跡及其應用問題，結合實例就一些常見的基本性質類型加以剖析應用，歸納總結解題技巧與策略，指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：立體幾何；動點；軌跡；平行；垂直

立體幾何中的動點軌跡問題，是以空間圖形為基本素材，借助符合一定特殊條件的點的軌跡的探究來綜合與應用.特別是，借助空間中動點的變化規律，保持所對應元素的基本性質，在此條件下探尋動點的軌跡與應用問題，成為高考考查的一個熱點與難點，備受各方關注.本文中結合空間中動點保持元素的基本性質的類型，就動點保持平行關系、垂直關系、等距關系及等角關系等加以剖析，拋磚引玉.

1 動點保持平行關系

動點保持平行關系的問題，往往是基于動點與定點所對應的直線，與其他直線之間保持平行關系，或與相應平面之間保持平行關系等，進而探尋滿足條件的對應動點的軌跡及其應用問題.

例1" 〔2024年湖北省八市高考數學聯考試卷（3月份）〕在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為CC1的中點，N為四邊形A1D1DA內一點（含邊界），若B1N∥平面BMD，則線段B1N長度的最小值為.

分析：根據題設條件，利用動點保持平行關系，依托條件線面平行關系——B1N∥平面BMD，借助輔助線的構建與應用，轉化為相應的面面平行關系——平面B1D1N1∥平面BMD，由此來確定動點N的軌跡——在線段D1N1上（含端點），實現問題的巧妙轉化與應用，給進一步求解對應線段長度的最小值提供條件.

圖1

解析：依題，如圖1所示，分別取AA1，DD1的中點N1，E，連接D1N1，B1N1，AE，B1D1，A1N.

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，易得AE∥BM，B1D1∥BD，D1N1∥AE，所以D1N1∥BM.

又D1N1，B1D1平面B1D1N1，BD，BM平面BMD，且D1N1∩B1D1=D1，BD∩BM=B，所以平面B1D1N1∥平面BMD.

因為N為四邊形A1D1DA內一點（含邊界），且B1N∥平面BMD，所以點N在線段D1N1上（含端點），所以當B1N⊥D1N1時，線段B1N的長度最小.

因為B1N1=D1N1=5，B1D1=22，所以△B1N1D1的邊B1D1上的高為（5）2－（2）2=3，則S△B1N1D1=12×22×3=6.

當B1N⊥D1N1時，B1N最小，求得B1Nmin=2S△B1N1D1D1N1=265=2305.

點評：在立體幾何中，常見的解決與平行關系有關的軌跡問題的策略有兩個.（1）將線面平行轉化為面面平行得軌跡；（2）平行時可利用法向量的垂直關系求軌跡.

2 動點保持垂直關系

動點保持垂直關系的問題，往往是基于動點與定點所對應的直線，與其他直線之間保持垂直關系，或與相應平面之間保持垂直關系等，進而探尋滿足條件的對應動點的軌跡及其應用問題.

圖2

例2" 〔2024年江蘇省南通市如皋市高考數學適應性試卷（二）〕如圖2，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA=AB=1，M為空間中一動點，G為PC的中點，PA⊥平面ABCD.若MA·MG=0，則點M的軌跡圍成封閉圖形的體積為.

分析：根據題設條件，利用動點保持垂直關系，進而確定動點M在以AG為直徑的球面上，利用空間幾何體的性質特征確定線段AG的長度，并利用動點M的軌跡圍成的封閉圖形為一個球，借助球的體積計算公式來分析與求解.

解析：依題，連接AC.由MA·MG=0可知MA⊥MG，則點M在以AG為直徑的球面上.

因為底面ABCD為正方形，AB=1，所以AC=2.

由PA⊥平面ABCD，得△PAC為直角三角形，所以AG=PC2=12PA2+AC2=32.

所以點M的軌跡圍成的封閉圖形是以線段AG的中點為球心，線段AG的長度為直徑的球，則其對應的體積為43×π×343=316π.

點評：在立體幾何中，常見的解決與垂直關系有關的軌跡問題的策略有三個.（1）將線線、線面垂直轉化為面面垂直，得交線求軌跡；（2）利用空間坐標運算求軌跡；（3）將垂直關系轉化為平行關系求軌跡.

3 動點保持等距關系

動點保持等距關系的問題，往往是基于動點到定點的距離、動點到定直線的距離、動點到定平面的距離等保持一致性或是相對應的常量，進而探尋滿足條件的對應動點的軌跡及其應用問題.

例3" （2024年湖北省高考數學聯考試卷）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，P為正方體表面上的一個動點，A1P=23，則點P的軌跡長度為.

分析：根據題設條件，利用動點保持等距關系，結合動點到定點的等距性轉化，可分為兩個部分，一個部分是動點P在平面ABB1A1，A1B1C1D1，ADD1A1上的軌跡，另一個部分是動點P在平面BCC1B1，CDD1C1，ABCD上的軌跡，確定對應扇形的圓心角大小與半徑，進而確定動點的軌跡長度.

圖3

解析：依題，如圖3所示，點P的軌跡一部分是在平面ABB1A1，A1B1C1D1，ADD1A1內以23為半徑，圓心角為π6的三段圓弧，另一部分是在平面BCC1B1，CDD1C1，ABCD內以3為半徑，圓心角為π2的三段圓弧.

故點P的軌跡的長度為112×2π×23×3+14×2π×3×3=532π.

點評：在立體幾何中，常見的解決與等距關系有關的軌跡問題的策略有兩個.（1）距離，可轉化為在一個平面內的距離關系，借助球和圓的定義等知識求解軌跡；（2）利用空間坐標計算求軌跡.

4 動點保持等角關系

動點保持等角關系的問題，往往是基于動點與定點所對應的直線，與其他直線之間保持等角關系，或與相應平面之間保持等角關系等，進而探尋滿足條件的對應動點的軌跡及其應用問題.

圖4

例4" （2024年吉林省吉林市高考數學第二次調研試卷）如圖4，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，動點P滿足AP=aAC+bAA1，且a，b∈（0，1）.若直線BP與BD所成的角為π4，則動點P的軌跡長為.

分析：根據題設條件，先確定動點P在矩形A1ACC1內，再利用動點保持等角關系，結合圓錐的幾何性質，進而確定動點P的軌跡是以B為頂點的圓錐與矩形A1ACC1的交線部分，進而結合空間圖形的確定與直觀想象，合理求解對應的軌跡長度.

圖5

解析：由題意可知，BA，BC與BD所成角都為π4.由AP=aAC+bAA1可知，點P在矩形A1ACC1內.

若直線BP與BD所成的角為π4，在線段OO1（O，O1分別為AC，A1C1的中點）上取點P1，使OP1=OB，則直線BP1與BD所成的角為π4，故點P的軌跡是以O為圓心，半徑r=22，且在矩形A1ACC1內的半圓弧AP1C.

所以動點P的軌跡長為πr=22π.

點評：在立體幾何中，常見的解決與等角關系有關的軌跡問題的策略有3個.（1）直線與面成定角，可能是圓錐側面；（2）直線與定直線成等角，可能是圓錐側面；（3）利用空間坐標系計算求軌跡.

在解決上述幾類動點保持所對應元素的基本性質（平行關系、垂直關系、等距關系及等角關系等）條件下，探尋相應動點的軌跡與應用問題時，抓住問題的本質，經常利用定義法、坐標法、交軌法及平面化法等解題策略來轉化與應用，實現動點軌跡的探尋與應用，解決空間應用問題，實現問題的突破與求解，從而全面提升空間想象能力、直觀想象能力及邏輯推理能力等，培養數學核心素養.