巧借韋達定理破解斜率之商

摘要：直線與圓錐曲線問題是解析幾何中的重要內容，韋達定理是解決這類問題的關鍵工具.本文中將通過一道原創題目的分析和詳細講解，幫助讀者更好地理解和應用韋達定理.

關鍵詞：圓錐曲線；直線；韋達定理

1 題目呈現

原創題" 橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;0，bgt;0），焦點到橢圓準線的最短距離為33，離心率為32.

（1）求橢圓方程；

（2）若A為橢圓的上頂點，點T（0，－2）在橢圓外，過T作直線與橢圓交于P，Q兩點（A，P，Q三點不重合），求kAPkAQ的取值范圍.

2 命題背景

富瑞吉定理" 橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），p（x0，y0）是橢圓上一定點，A，B為橢圓上兩個動點，記PA，PB斜率記為k1，k2.（如圖1）

（1）若k1+k2=0（yo≠0），則kAB=b2x0a2y0.

（2）若k1+k2=t，則直AB過定點x0－2y0t，－y0－2x0t·b2a2.

（3）若k1·k2=b2a2（xo≠0），則kAB=－y0x0.

（4）若k1·k2=λ，直線AB過定點（μx0，－μy0）.其中μ=λa2+b2λa2－b2.

若題目所給曲線為雙曲線，則將上述式子的“b2”換為“－b2”即可.

3 命題過程

我們借助富瑞吉定理中的（4），設計了一道直線過定點，求解斜率之商取值范圍的題目，讓學生對韋達定理有更深層次的認識的同時，打破學生用固定方法解具體題型的封閉思維，加強學生“廣積糧”的數學理念.

第一稿：已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;0，bgt;0），焦距為23，橢圓離心率為32.

（1）求橢圓方程；

（2）若A為橢圓的上頂點，直線l與橢圓交于P，Q兩點.若kAP·kAQ=34.證明：直線PQ過定點.

反思：

（1）學生一看就知道是齊次化問題，特征太明顯.

（2）沒有任何難度，試題平常化，不符合新高考的要求.

第二稿：已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;0，bgt;0），焦點到橢圓準線的最短距離為33，橢圓離心率為32.

（1）求橢圓方程；

（2）若A為橢圓的上頂點，點T（0，－2）在橢圓外，過T作直線與橢圓交于P，Q兩點（A，P，Q三點不重合），求kAP+2kAQ的取值范圍.

反思：

（1）若學生使用齊次化，則可直接解決問題（斜率之積為定值）——創新型不足.

定稿：橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;0，bgt;0），焦點到橢圓準線的最短距離為33，離心率為32.

（1）求橢圓方程；

（2）若A為橢圓的上頂點，點T（0，－2）在橢圓外，過T作直線與橢圓交于P，Q兩點（A，P，Q三點不重合），求kAPkAQ的取值范圍.

4 思維導圖

本題思維導圖見圖2.

5 解答過程

解：（1）過程略.橢圓方程為x24+y2=1或y24+x2=1.

（2）由題得C：x24+y2=1.

解法1：設直線方程為y=kx－2，P（x1，y1），Q（x2，y2）.

聯立y=kx－2，x24+y2=1，得（4k2+1）x2－16kx+12=0，則

x1+x2=16k4k2+1，x1x2=124k2+1.

因為Δgt;0，所以k∈－∞，－32∪32，∞，其中kx1x2=34（x1+x2）.

由kAPkAQ=y1－1x1y2－1x2=y1x2－x2y2x1－x1=kx1x2－3x2kx1x2－3x1=kx1x2－3（x1+x2）+3x1kx1x2－3x1，

kx1x2=34（x1+x2），可

得kAPkAQ=kx1x2－3（x1+x2）+3x1kx1x2－3x1=－3kx1x2+3x1－（-kx1x2+3x1）=－－3kx1x2+9x1－6x1－kx1x2+3x1=－3+6x1－kx1x2+3x1=－3+6－kx2+3=－3+6－y2+1.

當直線與橢圓相切時，Δ=0，即（16k）2－4×12×（4k2+1）=0，解出k=±32，故切點縱坐標為y切=－12，則y2∈－1，－12∪－12，1.

綜上所述kAPkAQ∈（0，1）∪（1，+∞）.

解法2：設lPQ：x=tcos θ，y=tsin θ－2（t為參數）.

將lPQ與橢圓方程聯立，得t1+t2=16sin θ1+3sin 2θ，t1t2=121+3sin 2θ，且34（t1+t2）=t1t2·sin θ.

令P（t1cos θ，t1sin θ－2），Q（t2cos θ，t2sin θ－2），則kAPkAQ=t1t2cos θsin θ－3t2cos θt1t2cos θsin θ－3t1cos θ

=t1t2sin θ－3t2t1t2sin θ－3t1，由分離常數法可得kAPkAQ=t1t2sin θ－（3t2+3t1）+3t1t1t2sin θ－3t1.

因為3（t1+t2）=4t1t2·sin θ，所以kAPkAQ=t1t2sin θ－4t1t2sin θ+3t1t1t2sin θ－3t1=－3t1t2sin θ+3t1t1t2sin θ－3t1

=－3t2sin θ+3t2sin θ－3==－3（t2sin θ－3）－6t2sin θ－3=－3－6t2sin θ－3.當t1=t2時，t2sin θ=32.由題得t1≠t2，所以t2sin θ≠32，即kAPkAQ=－3－6t2sin θ－3≠1.由對稱性可得，P，Q兩點位于y軸的同側，所以kAPkAQgt;0.

綜上所述kAPkAQ∈（0，1）∪（1，+∞）.

解法3：橢圓向下平移一個單位長度，得x24+（y+1）2=1.設lPQ：y=tx－3，與橢圓方程聯立得x2+4y2+8y=0，即x2+4y2+8ytx3－y3=0，方程兩邊同除以x2得43k2+8t3k+1=0，則

kAP+kAQ=－2t，kAP·kAQ=34.

因為Δgt;0，所以t∈－∞，－32∪32，+∞.

因為（kAP+kAQ）2kAP·kAQ=kAPkAQ+kAQkAP+2，所以令kAPkAQ=n，則n+1n+2=163t2.

因為t∈－∞，－32∪32，+∞，所以t2gt;34.故n+1n+2=163t2gt;4，化簡為

n+1ngt;2.由對稱性可得，P，Q兩點位于y軸的同側，所以kAPkAQgt;0，即ngt;0，則n2+1gt;2n，n2－2n+1gt;0，解出n∈（0，1）∪（1，+∞）.故kAPkAQ∈（0，1）∪（1，+∞）.

6 試題鏈接

（2018年浙江臺州高三期末第21題）設點P為拋物線y2=x外一點，過點P作拋物線的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B.

（1）若點P（－1，0），求直線AB的方程；

（2）若點P為圓（x+2）2+y2=1上的點，記兩切線PA，PB的斜率分別為k1，k2，求1k1－1k2

的取值范圍.

解：（1）過程略，直線AB的方程為x=1.

（2）設P（x0，y0），因為點P在圓上，所以y20=－x20－4x0－3，x0∈［－3，－1］.

令點P處的切線方程為y=k（x－x0）+y0.聯立y=k（x－x0）+y0，y2=x，得ky2－y－kx0+y0=0.

由Δ=0，得4k2x0－4ky0+1=0，則k1，k2即為此方程兩個不等的實數根，則k1+k2=y0x0，k1·k2=14x0.所以1k1－1k2=k2－k1k1k2=|4x0|＼5（k1+k2）2－4k1k2=4x0＼5y20x20－1x0=4－x20－5x0－3.

由x0∈［－3，－1］，得－x20－5x0－3∈1，134，所以1k1－1k2∈［4，213］.

7 檢測評價

本題通過班級測試，得分情況統計如表1所示.

第（2）問選擇解法1的學生在表示出kAPkAQ=kx1x2－3x2kx1x2－3x1以后，多數想不到利用分離常數法結合和積互化思想去消參，進而求解取值范圍.沒有學生選擇解法2.選擇解法3的學生在（k1+k2）2k1k2=k1k2+k2k1+2這一關鍵步驟上沒有想到，導致后續無法進行.

本題若用常規解法，一定要聯想到分離常數是我們解決分式取值范圍的重要手段.但與非對稱韋達放在一起時，學生卻很難想到.學生習慣去做非對稱韋達形式下的定點定值問題以及利用齊次化解決定點定值問題，一旦遇見打破固定思維和解法的題目，往往不知所措.因此，數學方法與思想在解題過程的連貫性以及使用的契合度是學生需要加強的，也是本題考查的目的.

8 命題體會

（1）一道試題的解答要用到多種數學方法，這會是今后高考大題的一個考向.從“深挖坑”到“廣積糧”就是一個數學知識、數學方法、數學思想的一個融會貫通，而不是局限于一個解法突破題目.

（2）解題思想和解題方法的融會貫通是我們這一次命題最大的收獲.多種解題方法的使用熟練度以及思考過程的連貫性在高考考場中太重要了.平時教學就把方法說清楚、講明白，學生會使用、能總結.這樣學生才能在解答題目時應用數學方法游刃有余.