齊次化構造解圓錐曲線中定點定值問題

摘要：解析幾何作為數學學科的必考重點，值得同學們重視起來！定點問題是高考命題的一個熱點，也是高考數學的一個難點，要注意定點定值問題是解析幾何解答題的考查重點.此類問題定中有動，動中有定，并且常與軌跡問題、曲線系問題等相結合，深入考查直線的圓，圓錐曲線，直線和圓錐曲線位置關系等相關知識.考查數形結合、分類討論、化歸與轉化、函數和方程等數學思想方法.定點、定值和定線問題是解析幾何中的熱點題型，也是高考命題考查的\"常青樹\".由于這類問題需要探索、確定定點在什么位置，定值是什么，有什么樣的定直線，因而解題中既需要嚴格的分析和推理論證，又需要復雜精準的數學運算，能很好地體現對數學抽象、邏輯推理和數學運算等數學核心素養的考查.

關鍵詞：解析幾何；定點定值問題；數形結合思想

改編題" 在平面直角坐標系xOy中，已知點Q（2，0），過雙曲線C：x2-y2b2=1（bgt;0）的左頂點P作兩條動直線l1：y=k1（x+1），l2：y=k2（x+1）分別與C交于另外兩點A，B.當k1＝1時，|PQ|＝|AQ|.

（1）求b的值；

（2）當k1k2=-1時，|AQ||BQ|＝2，求k1和k2的值.

原題" （2024蘇錫常鎮一模第18題）在平面直角坐標系xOy中，已知點P0，-53，過橢圓C：x2a2+y2=1（agt;1）的上頂點A作兩條動直線l1：y=k1x+1，l2：y=k2x+1（0lt;k1lt;k2）分別與C交于另外兩點M，N.當k1=22時，|AM|=|PM|.

（1）求a的值；

（2）當k1k2=1，|MN||NP|=98時，求k1和k2的值.

1 命題過程

原命題研究的有關圓錐曲線定點定值問題，是橢圓中的定點定值問題，由于k1＼5k2=λ≠b2a2，則直線過定點λa2+b2λa2－b2x0，－λa2+b2λa2－b2y0.筆者將橢圓方程進行改編，得到如下初稿：

在平面直角坐標系xOy中，已知點P13，0，過橢圓C：x2+y2b2=1 （bgt;1）的左頂點A作兩條動直線l1：y=k1x－1，l2：y=k2x－1（k2lt;0lt;k1）分別與C交于另外兩點M，N.當k1=22時，|AM|=|AP|.

（1）求b的值.

（2）當k1k2=1，|MP||NP|=32 時，求k1和k2的值.

本題解法和2024年蘇錫常鎮一模第18題一樣，沒有太多變化.我們知道橢圓和雙曲線之間存在密切的關系，主要體現在方程和幾何性質上，筆者把橢圓的左頂點改為雙曲線虛軸的上頂點P（0，b），發現點不在曲線上，由斜率定值無法得到直線過定點，于是把定點改為雙曲線x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）上的點（x0，y0），由于k1＼5k2=λ≠－b2a2，則知直線過定點λa2－b2λa2+b2x0，－λa2－b2λa2+b2y0.為了降低題目難度，就把左頂點作為定點，那么定點就在x軸上，并且可以利用雙曲線上兩點關于中心對稱，它們與雙曲線上任一點構成的直線的斜率之積是定值，即k1＼5k2=e2－1=b2a2，可以利用此性質求解此題，于是就有了二稿，也就是本文中的改編題.

2 試題分析與思維導圖

定點問題是常見的出題形式，化解這類問題的關鍵就是引進變的參數表示直線方程、數量積、比例關系等，根據等式的恒成立、數式變換等尋找不受參數影響的量.直線過定點問題的通法是設出直線方程，通過韋達定理和已知條件找出斜率k和縱截距m的一次函數關系式，代入直線方程即可.技巧在于：設哪一條直線，如何轉化題目條件.圓錐曲線是一種很有趣的載體，自身存在很多性質，這些性質往往成為出題老師的參考.如果能夠熟識這些常見的結論，那么解題必然會事半功倍.

改編題的思維導圖見圖1與圖2.

3 試題解析

3.1 第（1）問的解答

方法一：根據直線方程，然后利用聯立、消元、判別式、韋達定理，分別求出A，B點的坐標，再根據|PQ|＝|AQ|，求出b的值.

因為k1＝1，所以l1的方程為y=x+1.

由y=x+1，x2-y2b2=1，得b2x2-（x+1）2=b2，即

（b2-1）x2-2x-b2-1=0.

所以xAxP=-1-b2b2-1=-xA，則

xA=b2+1b2-1，

yA=b2+1b2-1+1=2b2b2-1.

于是Ab2+1b2-1，2b2b2-1，則有

|AQ|2=b2+1b2-1-22+2b2b2-12=|PQ|2=9.

整理得-b2+3b2-12+2b2b2-12=9，即

b4-6b2+9+4b4=9（b4-2b2+1）.

所以4b4-12b2=0，解得b2＝3.

故雙曲線方程為x2-y23=1.

方法二：此題比較特殊，由直線AP的斜率得到△APQ是等腰直角三角形，從而得到AQ的長度，進一步求出b的值.

因為k1＝1，所以∠APQ=45°.

又|PQ|=|AQ|，則∠AQP=90°.所以|AQ|=3=b2a=b2，

解得b2＝3.

所以，雙曲線方程為x2-y23=1.

3.2 第（2）問的解答

方法一：通過設AP，BP方程，分別求出A，B點坐標，再由|AQ||BQ|＝2，求出斜率.

設lPA：x=my-1，lPB：x=ny-1.

由x=my-1，3x2-y2=3，可得

（3m2-1）y2-6my=0.

所以yA+0=yA=6m3m2-1.

所以xA=m＼56m3m2-1-1=3m2+13m2-1，則有A3m2+13m2-1，6m3m2-1.

同理，可得B3n2+13n2-1，6n3n2-1.

又因為1m＼51n=-1，即mn=-1，所以點B的坐標為3+m23-m2，-6m3-m2.

因為|AQ||BQ|＝2，則有|AQ|2＝4|BQ|2，所以3m2+13m2-1-22+6m3m2-12＝43+m23-m2-22+-6m3-m22，

整理可得35m4-18m2-5=0，也即（5m2+1）（7m2-5）=0.

解得m2=57，則k2=1m2=75.

所以k1=355，k2=-535=-357.

方法二：直接設AB的方程，找到A，B兩點坐標的關系，得到直線AB過定點Q，再由向量共線定理，求出A，B的坐標.

設直線AB方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）.

由y=kx+m，3x2-y2=3，得

（3-k2）x2-2kmx-m2-3=0.

所以x1+x2=2km3-k2，x1x2=-m2-33-k2.

因為k1k2=-1，即PA＼5PB＝（x1+1，y1）＼5（x2+1，y2）＝0，

所以x1x2+x1+x2+1+y1y2=0.

故（k2+1）x1x2+（km+1）（x1+x2）+m2+1=0.

所以2m2-4k2+2km=0，即（m-k）（m+2k）=0.

解得m=k或m＝-2k.

當m=k時，直線AB過點（-1，0）；

當m＝-2k時，直線AB過點（2，0）.

所以A，B，Q三點共線，且AQ＝2QB，則（2-x1，-y1）＝2（x2-2，y2）.

所以2-x1=2（x2-2），-y1=2y2.

又|AQ||BQ|＝2，則yA=-2yB，所以

3（6-2x2）2-（-2y2）2=3.

又3x22-y22=3，則12x22-72x2+108-4y22=3.

所以12x22-72x2+108-4（3x22-3）=3，整理為-72x2+117＝0.

解得x2=138，則x1=114，從而

y1=±3354，y2=±3358.

所以當A114，3354，B138，-3358時，k1=kAP=355，k2=kBP=-357.

當A114，-3354，B138，3358時，k1=kAP=-355，k2=kBP=357.

方法三：設點G為右頂點，由kAP·kAG=e2－1，kBP·kBG=e2－1，得到A，B兩點坐標之間的關系，再由兩點式表示出直線AB的方程，可知直線過定點.

由kAPkAG=b2a2=3，kBPkBG=b2a2=3，得k1＼5y1x1-1=3，k2＼5y2x2-1=3.

所以k1=3（x1-1）y1，k2=3（x2-1）y2.

又k1k2=-1，則y1x1+1＼53（x2-1）y2＝-1，y2x2+1＼53（x1-1）y1＝-1，即

3x2y1-3y1+x1y2+y2=0，3x1y2-3y2+x2y1+y1=0.

①②

由①-②，得2x2y1-2x1y2-4y1+4y2＝0，即

（x2y1-x1y2）＝2（y1-y2）.

又直線AB的方程為y=y2-y1x2-x1（x-x1）+y1，即y=y2-y1x2-x1x+-y2x1+x1y1+x2y1-x1y1x2-x1

，也即y=y2-y1x2-x1x+x2y1-x1y2x2-x1，整理為y=y2-y1x2-x1（x-2）.

所以，直線AB恒過定點（2，0）.

以下處理同方法一.

方法四：圓錐曲線齊次化原理是一種利用投射以將圓錐曲線映射到笛卡兒坐標的方法.該原理可以用來解決圓錐曲線在設計空間中出現的問題.

設直線AB的方程為m（x+1）+ny=1.

由x2-y23=1，得

3［（x+1）2-2（x+1）+1］-y2=3.

所以3（x+1）2-6（x+1）-y2=0.

所以3（x+1）2-6（x+1）［m（x+1）+ny］-y2=0，即（3-6m）（x+1）2-6n（x+1）y-y2=0.

整理，得y2（x+1）2+6nyx+1+（6m-3）=0.

所以k1k2=6m-3=-1，解得m=13，則直線AB的方程為13（x+1）+ny=1.

令n=0，得x=2，所以直線AB恒過定點（2，0）.

以下方法同方法一.

方法五：將定點平移到原點，寫出平移后的圓錐曲線方程（遵循“左加右減，上減下加”原則），利用韋達定理與題設關系求解，若求出定點，則需要注意此定點為平移后的點，還需變換成原坐標系中的點.

因為將雙曲線平移至（x-1）2-y23=1，即

3x2-6x-y2=0，

所以此時點P平移至P（0，0），A，B兩點分別平移至A′（x1，y1）B′（x2，y2）.

設直線A′B′的方程為mx+ny=1.

所以3x2-6x（mx+ny）-y2=0，即

（3-6m）x2-6ny-y2=0.

整理，得yx2+6n＼5yx+（6m-3）=0.

所以kAPkBP=kA′P′kB′P′＝6m-3＝-1.

解得m=13，則直線A′B′的方程為13x+ny=1.

所以直線A′B′恒過定點（3，0），從而直線AB恒過定點（2，0）.

以下方法同方法一.

4 試題鏈接

題1" 已知雙曲線方程x2a2-y2b2=1（a＞0，bgt;0）中，焦距為42，且雙曲線過P（-3，1）斜率.不為零的直線與雙曲線交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓過點P.

（1）求雙曲線方程.

（2）是否存在直線AB，使得點P到直線AB的距離最大？若存在，求出直線AB的方程；若不存在，請說明理由.

題2" 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，bgt;0）的右頂點E（1，0），它的一條漸近線的傾斜角為120°.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過點（-2，0）作直線l交雙曲線C于M，N兩點（不與點E重合），求證：EM⊥EN;

（3）若過雙曲線C上一點P作直線與兩條漸近線相交，交點為A，B，且分別在第一象限和第四象限，若AP=λPB，λ∈13，2，求△AOB面積的取值范圍.

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5 檢測評價

改編題第（1）問總分6分，學生平均得5.2分，第（2）問總分11分，學生平均得分5.8分.比第一次做蘇錫常鎮一模好很多，題目變簡單了，再加上后來的訓練，做得比之前好了.好多同學運算不過關，采用一二種方法，計算量比較大，時間不夠，正如2024年全國新Ⅰ卷第16題，好多同學沒時間計算.另外，對于此題，學生不知道直線AB過定點Q，遇到|AQ||BQ|＝2不會轉化成橫坐標之間的關系，而是盲目地死算.這類題目可以說是六種類型里最套路的一種，按部就班基本就能順利解決，2022年高考數學試卷中第21題的第一問就是雙曲線中兩直線斜率之和為定值問題.定值問題通常涉及到圓錐曲線上的某些特定值或性質，如焦距、離心率、準線等，這些問題可以表現為求解特定參數的值、證明某個性質成立等條件.

6 命題體會

在出題時可以根據教學目標和學生的學習情況，選擇不同類型的定值問題進行設計，確保題目既有挑戰性又不失合理性.在出題過程中，需要對學生的解題過程中可能出現的易錯點進行預測和分析，這些易錯點可能包括對基本概念的理解不準確、解題思路不清晰、運用過程出錯等.通過分析這些易錯點，可以在題目設計時有針對性地進行提示和引導，幫助學生避免犯錯，確保題目能夠全面考查學生對圓錐曲線相關知識的掌握情況.同時，還需要注意知識點的整合方向，避免出現知識過于分散或重復的情況.