指向核心素養的高一數學作業優化設計

摘要：優秀的作業對于學生核心素養的提升有很大的幫助，如何以發展數學核心素養為目標、立足學生已有的認知水平優化作業設計是目前一線數學教師面臨的一個挑戰.本文中以《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出的六大核心素養為航向標，以2019年人教A版高中數學必修第一冊中“指數函數”一節為例進行作業優化設計.

關鍵詞：核心素養；高中數學;作業優化設計;指數函數

項目信息：合肥師范學院研究生創新基金項目“核心素養引領下的高中數學立體幾何單元整體教學構

建”，項目編號為2024yjs060.

1 研究背景

2021年7月，《關于進一步減輕義務教育階段學生作業負擔和校外培訓負擔的意見》（以下簡稱“雙減”）的出臺，旨在通過優化學校教育教學，優化教育教學方式，以求提升校內教學質量，減輕學生及家長的負擔，著力推動基礎教育健康協調發展.同時，“雙減”政策還要求提升作業質量，提出教師要研究作業，改變機械作業以及無意義作業［1］.2024年3月7日，全國政協委員、鄭州輕工業大學校長魏世忠提出要“協同推動（雙減）政策落地落實”，再次提出要提升作業的質而不是追量［2］.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出通過數學的學習，能夠培養學生的核心素養.數學學科核心素養包含：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.下面以2019年人教A版高中數學必修第一冊中“指數函數”一節為例，設計指向核心素養的作業練習題.

2 研究意義

作業是落實“立德樹人”的一塊陣地，一道有價值的練習題可以使得學習事半功倍.從理論方面來看，通過對作業的優化，將相關的知識進行遷移和整合，以不同層次的題目展現出來［3］.從數學教育心理學角度來看，通過對作業的優化，可以幫助學生完善認知結構.從實踐方面來看，通過對作業的優化，“增效不增量”，使得學生學習事半功倍.首先，通過作業的優化，學生除鞏固本堂知識外，還能夠進行遷移甚至創新，提高遷移能力和創新精神，提升核心素養；其次，通過作業的優化，可以減輕學生負擔，減少重復性、機械性的作業，進一步推進“雙減”政策的落地.

3 指向核心素養的作業優化原則

3.1 育人性原則

課標指出，數學承載著“立德樹人”的主要任務，所以，作業的安排、題目的設計都要為學生的發展而服務，為培養學生核心素養服務.因此，育人性是作業設計優化的主要原則.

3.2 層次性原則

作業有著鞏固基礎、遷移創新、提升素養等作用，所以層次性對于作業的優化也是很重要的.作業的層次性不僅僅體現在難度上，更體現在基礎-遷移-創新等不同思維層次上.

3.3 整合性原則

“雙減”政策下，提倡“增效不增量”，因此，作業的題目要將知識有機結合起來，以核心素養為導向，設計適合學生發展的有效作業，題目在精不在多［4］.一道有價值的題目，對學生知識的學習、能力的提高、素養的完善等各個方面起著不可或缺的作用.

4 指向核心素養的作業優化策略

4.1 以課標為“帆”，立足課本，扎實基礎

課程標準是教學的指南.首先，我們應該對課標進行挖掘，找到方向.然后再走進課本，研究每個例題、練習題設計的意義所在［5］.這樣才能把握住學習的目標.例如，對于“指數函數”，課標中指出“要理解指數函數的概念，探索并理解指數函數的單調性和特殊點”，提出“指數函數的教學，要關注運算法則和變化規律”“借助有關增長率的實際問題理解指數函數模型”等.教材中的例題都突出了以上幾點.此外，教材中的例題與練習題有著獨有的意義，如：“衰減率”例題的設計，是為了以具體實例幫助學生理解指數函數模型；練習題中的比較大小問題，是對指數函數圖象和性質的鞏固，以及為不等式問題學習奠定基礎.

4.2 以核心素養為“魂”，遷移整合，提升素養

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出通過數學的學習，能夠培養學生的核心素養.數學學科核心素養包含：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.在設計作業時要時刻關注學生核心素養的發展，對知識進行遷移和有機整合，培養學生遷移能力，設計出指向核心素養的有效性練習題［6］.

4.3 以創新為“舵”，多元表征，培養思維

對學生創新精神和實踐能力的培養是一個長期奮斗的目標，數學語言有文字語言、圖形語言和符號語言，在設計作業時應該考慮到這一點，學生對題目的多元表征正是對題目理解程度的反映.所以，在設計作業時，也要融入數形結合、同構思想等題型，以便學生能夠用文字語言、圖形語言及符號語言進行多元表征.例如，在有關線面平行的的作業中，可以設計一些實際場景，讓學生感受生活中的點線面，再通過畫圖來表達，最后用符號語言描述出來.再如，在函數的概念學習中，通過解析式、圖象和表格三種方式表達函數.通過多元表征，有助于打開學生的思維，培養學生的創新思維，更好地促進學生核心素養的提升.

5 指向核心素養的“指數函數”課時作業設計

5.1 “指數函數”課時作業

（1）若函數y=（m2－6m+6）（2m－1）x+（3n+1）是指數函數，求函數g（t）=13mt2+1nt－1120的定義域和值域.

（2）設a為函數y=9t2－6t+1的零點，求函數f（x）=a4x+2×13ax+3的值域.

（3）設a為函數y=9t2－6t+1的零點，求函數f（x）=a－2x2+3x－5的單調區間.

（4）已知集合A=y|y=132x－31－x+2，集合B=x|y=1－2x，求A∩B.

（5）設函數f（x）=ex2，g（x）=1e2x2，若對于任意x∈R，不等式f2（x）－2k≥-g（x）－2恒成立，求k的取值范圍.

（6）已知集合A=x|ex－x2e≤0，集合B=x|xlt;0，求A∩B.

（7）解不等式ex+1－ee+xgt;e－1.

5.2 “指數函數”課時作業解析

（1）由函數y=（m2－6m+6）（2m－1）x+（3n+1）是指數函數，可得m2－6m+6=1，解得m1=1或m2=5.又2m－1gt;0且2m－1≠1，所以m=5.由3n+1=0，得n=－13.所以可得g（t）=135t2－3t－1120.故函數g（t）的定義域為R.

因為5t2－3t－1120≥－1且y=13x是減函數，所以0lt;g（t）≤3，即函數g（t）的值域為（0，3］.

（2）由9a2－6a+1=0，得a=13，所以函數f（x）=134x+2×13×13x+3，即f（x）=134x+2×19x+3=192x+2×19x+3，其定義域為R.令m=19x，則mgt;0，可求得函數f（x）的值域為（3，+∞）.

（3）由9a2－6a+1=0，解得a=13，所以函數f（x）=13－2x2+3x－5，其定義域為R.令t=－2x2+3x－5，則函數t=－2x2+3x－5的增區間為－∞，34，減區間為34，+∞，故函數f（x）=13－2x2+3x－5的減區間為－∞，34，增區間為34，+∞.

（4）y=132x－31－x+2可以改寫成y=13x2－3×13x+2，設t=13x，則tgt;0.因為函數y=t2－3t+2圖象的對稱軸為t=32，所以當tgt;0時，y≥－14，即A=yy≥－14.由1－2x≥0，解得x≤0，即B=x|x≤0.因此A∩B=x－14≤x≤0.

（5）方法一：因為不等式f2（x）－2k≥-g（x）－2恒成立，要求k的取值范圍，將式子變為2k－2≤f2（x）+g（x）恒成立.設函數h（x）=f2（x）+g（x），則2k－2≤h（x）min.將h（x）=（ex2）2+1e2x2變形為h（x）=e2x2+1e2x2.因為h（x）=e2x2+1e2x2≥2，當且僅當e2x2=1e2x2，即x=0時等號成立，所以2k－2≤2，即k≤2.

所以k的取值范圍為（-∞，2］.

方法二：因為函數f（x）=ex2，g（x）=1e2x2，所以g（x）=1f2（x）.由不等式f2（x）－2k≥-g（x）－2恒成立，可知不等式f2（x）－2k≥-1f2（x）－2，也即2k－2≤1f2（x）+f2（x）恒成立.因為1f2（x）+f2（x）≥2，當且僅當f2（x）=1f2（x），即x=0時等號成立，所以2k－2≤2，即k≤2.所以k的取值范圍為（-∞，2］.

（6）要求A∩B，即當xlt;0時，解不等式ex－x2e≤0，將其變形為ex+1≤x2，利用交軌法可知x≤－1.故A∩B={x|x≤－1}.

（7）不等式ex+1－ee+xgt;e－1可變形為ex+1+x+1gt;ee+e.設函數f（x）=ex+x，因為函數f（x）=ex+x在R上單調遞增，又ex+1+x+1gt;ee+e，則f（x+1）gt;f（e），所以x+1gt;e，即xgt;e－1.所以x的取值范圍為（e-1，+∞）.

5.3 “指數函數”課時作業設計意圖

（1）立足基礎

作業設計首先要立足基礎知識.指數函數中，概念、指數函數的圖象和性質及其應用，都是需要夯實的基礎知識.因此，在作業設計時要抓住知識根基.在本課時練習題中，對指數函數的概念、圖象及性質都有考查，能夠幫助學生夯實基礎.

（2）重視遷移

從教育心理學的角度來看，遷移能力的提升，能夠促進學生數學認知結構的建立，進而提升學習效果.在設計課時作業時，重視將指數函數與其他所學的知識、思想方法等建立聯系，幫助學生進一步理解數學知識間的聯系，進而幫助學生完善數學認知結構.在本課時作業中，設計了指數函數與集合、不等式、一元二次函數等知識相結合的題目，同時也融入了同構思想、換元思想、交軌法等思想方法.通過練習題的設計，幫助學生提升數學遷移能力.

（3）指向素養

數學核心素養是本課時作業的“魂”，課時作業的設計要以立德樹人、培養學生數學核心素養為目標.在本課時作業中，第（1）題指向數學核心素養之數學運算和邏輯推理；第（2）（3）（4）題指向數學核心素養之邏輯推理和數據分析；第（5）（6）（7）題指向數學核心素養之數據分析和數學抽象.各題間有機結合，從不同層次、不同方面，多角度地提升學生的數學核心素養.

6 結語

筆者認為，“雙減”背景下，指向核心素養的作業應該是以立德樹人為首要目標，以核心素養為“魂”，富有育人性、層次性、整合性，是能夠培養學生遷移能力和創新思維能力的練習題.

本文中以“指數函數”為例，通過七道課時作業題的設計，一方面減少了題量，另一方面對指數函數相關知識的涵蓋面廣，有探究價值，符合學生的最近發展區.基于學生已有的認知結構，設計了一份基于“雙減”政策、指向核心素養的作業，通過對作業的優化設計，我們不難發現，作業也是提升學生核心素養的一塊重要領地.所以，教師要對作業題目進行優化，這樣才能夠更好地培養學生的核心素養，才能更進一步推進“雙減”政策的落地.

參考文獻：

［1］陳傳東，趙蘭，王浪.“雙減”背景下初中數學作業的批改與輔導［J］.教學與管理，2022（10）：39-41.

［2］張競昳.全國政協委員魏世忠：協同推動“雙減”政策落地落實［N］.鄭州日報，2024-3-7（5）.

［3］喻平，胡晉賓.CTI模式：知識遷移應用的教學策略［J］.數學通報，2023，62（11）：1-6，28.

［4］喻平.核心素養指向的數學作業設計［J］.數學通報，2022，61（5）：1-7，12.

［5］潘虹.基于學生發展核心素養的初中數學作業設計［J］.教學與管理，2017（22）：45-46.

［6］王學男，趙江山.“雙減”背景下作業設計的多維視野和優化策略［J］.天津師范大學學報（社會科學版），2022（2）：38-44.