兩曲線上動點距離的最值問題

摘要：兩條曲線上動點距離的最值問題，分為兩類題型，題型一涉及直線上的動點與曲線上的動點的距離，題型二涉及曲線上的動點與另一曲線上的動點的距離.前者主要是把點與點的距離轉為為點到直線的距離，后者主要是把點與點的距離最值問題轉化為求函數的最值.

關鍵詞：直線；曲線；點與點的距離；最值問題

距離問題是高中數學解析幾何模塊的重要內容.點與點的距離是最基本的問題，進一步，動點與動點距離的最值問題，則是有一定思維強度和難度的問題.下面結合具體例題來談談直線（曲線）上的動點與曲線上的動點的距離的最值問題及其解題策略.

1 直線與曲線

例1" 若點P，Q分別是曲線y=x+4x與直線4x+y=0上的動點，則線段PQ長的最小值.

解：依題意，設與直線4x+y=0平行的直線方程為4x+y=m，且4x+y=m與y=x+4x相切，當線段PQ長取得最小值時，P為直線4x+y=m與曲線y=x+4x的切點.

由y=x+4x=1+4x，得y′=－4x2.

又直線4x+y=m的斜率為－4，所以－4x2=－4，解得x=±1.

當x=1時，y=1+4x=5，則m=4x+y=9，

此時兩條直線4x+y=m，4x+y=0間的距離為-9－016+1=917.

當x=－1時，y=1+4x=－3，則m=4x+y=－7，

此時兩條直線4x+y=m，4x+y=0間的距離為7－016+1=717.

故線段PQ長的最小值為71717.

點評：將問題轉化為直線4x+y=0到與其平行的曲線y=x+4x的切線的距離，從而利用導數的幾何意義與平行線間的距離公式即可得解.

例2" 函數f（x）=ex+x2+x+1與g（x）的圖象關于直線2x－y－3=0對稱，P，Q分別是函數f（x），g（x）圖象上的動點，則|PQ|的最小值為.

解：由f（x）=ex+x2+x+1，得f′（x）=ex+2x+1.

因為f（x）和g（x）的圖象關于直線2x－y－3=0對稱，

所以f（x）圖象上的點到直線2x－y－3=0的距離的最小值的2倍，即為|PQ|的最小值.

平移直線2x－y－3=0恰好與f（x）圖象相切.

設切點為（x0，y0），則f′（x0）=ex0+2x0+1=2，得ex0+2x0－1=0.

令h（x）=ex+2x－1，則h′（x）=ex+2gt;0，所以h（x）=ex+2x－1在R上單調遞增.

因為h（0）=e0+2×0－1=0，所以h（x）有唯一的零點x=0.

所以方程ex0+2x0－1=0有唯一的解x0=0，而f（0）=2，所以切點為（0，2）.

所以函數f（x）圖象上的點到直線2x－y－3=0的距離的最小值為d=|0－2－3|22+（－1）2=5.

所以|PQ|的最小值為2d=25.

點評：根據函數f（x）和g（x）的圖象關于直線2x－y－3=0對稱，利用導數求出函數f（x）圖象上的點到直線2x－y－3=0的距離的最小值，從而求得|PQ|的最小值.

例3" 已知點A在函數f（x）=ex－2x的圖象上，點B在直線l：x+y+3=0上，則A，B兩點之間距離的最小值是.

解：由題意，可得f′（x）=ex－2.令f′（x）=0，得x=ln 2.

圖1

所以當x∈（－∞，ln 2），f′（x）lt;0，f（x）單調遞減；當x∈（ln 2，+∞），f′（x）gt;0，f（x）單調遞增.所以f（x）min=f（ln 2）=eln 2－2ln 2=2－2ln 2，函數f（x）的圖象如1圖所示.

要使得A，B兩點之間距離最小，即直線l1與l平行時.當直線l1與曲線y=f（x）相切時，

l1與l間的距離即為A，B兩點之間的最小距離.

令f′（x）=ex－2=－1，解得x=0.又f（0）=1，

所以直線l1的方程為y－1=－x，即x+y－1=0.

因此l1與l的距離d=|3－（－1）|2=22.

所以A，B兩點之間距離的最小值是22.

點評：分析函數f（x）=ex－2x的單調性得圖象，確定A，B兩點之間距離最小值的情況，利用導數的幾何意義可得切線方程，從而求得最小距離.

例4" P是曲線y=x2－ln x上任意一點，且點P到直線y=x+a的距離的最小值是2，則實數a的值是.

解：依題得y′=2x－1x，xgt;0.

令y′gt;0，得xgt;22；令y′lt;0，得0lt;xlt;22.

所以函數y=x2－ln x在0，22上單調遞減，在22，+∞上單調遞增，

且y|x=22=12－ln22gt;0.

當P為平行于y=x+a并與曲線y=x2－ln x相切的直線的切點時，到直線y=x+a的距離最小.

令y′=1，可得x=－12（舍）或x=1，所以y|x=1=1，則曲線的切線斜率為1的切點為P（1，1）.

所以|a|2=2，解得a=2（舍去）或－2.

故填答案：2.

點評：首先確定點線距離最小時點P的位置，再由導數的幾何意義求點P的坐標，最后應用點線距離公式表示出最小距離，列出方程即可求解.

2 曲線與曲線

例5" 已知動點M，N分別在拋物線C1：y2=4x和圓C2：（x+2）2+（y－5）2=1上，則|MN|的最小值為（" ）.

A.32－1

B.32

C.5

D.6

解：設M（a，b），則b2=4a，即a=14b2.由題意，可得|MN|≥|MC2|－1.

由題意可得

|MC2|2=（a+2）2+（b－5）2=a2+4a+b2－10b+29=116b4+2b2－10b+29.

令f（x）=116x4+2x2－10x+29，則f′（x）=14x3+4x－10在R上單調遞增，且f′（2）=0.

當xgt;2時，f′（x）gt;0，當xlt;2時，f′（x）lt;0，所以f（x）在（2，+∞）上單調遞增，在（－∞，2）上單調遞減，則f（x）≥f（2）=18，即|MC2|2≥18，|MC2|≥32，則|MN|≥|MC2|－1≥32－1.故選：A.

點評：由圓的性質可得|MN|≥|MC2|－1，根據兩點間的距離公式結合拋物線的方程整理可以得到|MC2|2=116b4+2b2－10b+29，然后再構建函數f（x）=116x4+2x2－10x+29，利用導數求其最小值，進而可得結果.

例6" 已知P（x0，ex0）是函數y=ex圖象上任意一點，點Q是曲線（x－e4－2）2+y2=1上一點，則P，Q兩點之間距離的最小值是.

解：方程（x－e4－2）2+y2=1表示的曲線是圓心為D（e4+2，0），半徑r=1的圓，

則

|PD|=（x0－e4－2）2+e2x0.

令f（x）=（x－e4－2）2+e2x，則

f′（x）=2（x－e4－2）+2e2x.

令g（x）=f′（x）=2（x－e4－2）+2e2x，則g′（x）=2+4e2xgt;0，所以g（x）單調遞增.

又g（2）=0，所以當xlt;2時g（x）lt;0，即f′（x）lt;0，則f（x）在（－∞，2）上單調遞減.

當xgt;2時g（x）gt;0，即f′（x）gt;0，則f（x）在（2，+∞）上單調遞增.所以f（x）在x=2處取得極小值即最小值，即f（x）min=f（2）=e8+e4.

所以|PD|=（x0－e4－2）2+e2x0≥e8+e4=e2e4+1.

所以|PQ|min=|PD|min－r=e2e4+1－1.

點評：由距離公式表示出|PD|，令f（x）=（x－e4－2）2+e2x，利用導數說明函數的最小值，即可求出|PD|的最小值，最后由|PQ|min=|PD|min－r計算可得.

轉化思想在距離問題中發揮著重要的作用.

求解曲線上動點距離的最值問題時，

將直線上動點與曲線上動點的距離轉化為點到直線的距離，將曲線上動點與曲線上動點的距離最值轉化為函數的最值，這樣問題就變得簡單、自然了.