一道抽象函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)交匯問題的多解探究

高考與模考試題中，頻頻出現(xiàn)抽象函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的交匯問題，因此，關(guān)注此類問題的解法尤為重要.本文中采擷一道?？颊骖}，通過多解探究，旨在拓寬解題思維方法，提升對有關(guān)變形技巧和常見規(guī)律性結(jié)論的靈活運用能力，進(jìn)一步提高分析、解決此類抽象函數(shù)問題的能力.

1 好題采擷

（2023年湖北二模第8題）已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）定義域均為R，滿足f32+x－f32－x=2x，記g（x）=f′（x），其導(dǎo)函數(shù)為g′（x），且g′（3－x）的圖象關(guān)于原點對稱，則g′（9）+g92=（" ）.

A.0

B.3

C.4

D.1

2 試題分析

本題比較深入地側(cè)重考查抽象函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)與求值運算，且具有一定的新穎性、綜合性，值得我們?nèi)リP(guān)注、賞析！

3 解法探究

解法1：因為f32+x－f32－x=2x，又注意到32+x－32－x=2x，所以可變形得f32+x－32+x=f32－x－32－x，而該等式兩邊外在結(jié)構(gòu)相同，從而極易想到構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）－x，則有h32+x=h32－x，所以函數(shù)h（x）的圖象關(guān)于直線x=32對稱，從而導(dǎo)函數(shù)h′（x）的圖象關(guān)于點32，0對稱.

又易知h′（x）=f′（x）－1，從而可知函數(shù)f′（x）－1的圖象關(guān)于點32，0對稱，所以f′（x）的圖象關(guān)于點32，1對稱，即g（x）的圖象關(guān)于點32，1對稱，則g32=1.

因為g′（3－x）的圖象關(guān)于原點對稱，即g′（3－x）是奇函數(shù)，所以可得g′（3－x）=－g′（3+x），即g′（3－x）+g′（3+x）=0，可知g′（x）的圖象關(guān)于點（3，0）對稱，從而g（x）的圖象關(guān)于直線x=3對稱.

于是，根據(jù)“g（x）的圖象關(guān)于點32，1對稱”和“g（x）的圖象關(guān)于直線x=3對稱”，可得g（x）是以432－3=6為周期的周期函數(shù)，所以g′（x）也是以6為周期的周期函數(shù).又由g′（3－x）+g′（3+x）=0可得g′（3）=0，因此有g(shù)′（9）=g′（3）=0.

根據(jù)g（x）的圖象關(guān)于直線x=3對稱和g32=1，可得g92=g32=1.

所以g′（9）+g92=0+1=1.故選：D.

評注：該解法側(cè)重于靈活構(gòu)造函數(shù)，并充分運用函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的對稱性、周期性解題.需要特別提醒的是——一般地，若函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，則其導(dǎo)數(shù)f′（x）也是周期函數(shù)，且二者周期相同；反之，若f′（x）是周期函數(shù)，則f（x）不一定是周期函數(shù).

解法2：因為f32+x－f32－x=2x，所以變形得f32+x－x=f32－x－（－x）.于是，設(shè)函數(shù)h（x）=f32+x－x，則有h（x）=h（－x），所以函數(shù)h（x）是偶函數(shù)，從而h′（x）是奇函數(shù).又由h（x）=f32+x－x，可得h′（x）=f′32+x－1，所以函數(shù)f′32+x－1是奇函數(shù).又注意到將函數(shù)f′32+x－1的圖象先向上平移1個單位長度，再向右平移32個單位長度，可得函數(shù)f′（x）的圖象，所以f′（x）的圖象關(guān)于點32，1對稱，即g（x）的圖象關(guān)于點32，1對稱，則g32=1.

因為g′（3－x）的圖象關(guān)于原點對稱，又注意到將函數(shù)g′（3－x）的圖象向左平移3個單位長度可得函數(shù)g′（－x）的圖象，所以函數(shù)g′（－x）的圖象關(guān)于點（－3，0）對稱.而函數(shù)g′（x）與g′（－x）的圖象關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)g′（x）的圖象關(guān)于點（3，0）對稱，所以g（x）的圖象關(guān)于直線x=3對稱.

以下解題過程，同解法1，略.

評注：解法2與解法1的區(qū)別有以下幾點.一是變形不同，導(dǎo)致構(gòu)造的函數(shù)也不同；二是充分運用函數(shù)圖象的變換規(guī)律，靈活分析函數(shù)g（x）的圖象的對稱性.

解法3：因為f32+x－f32－x=2x，所以兩邊求導(dǎo)得f′32+x+f′32－x=2，所以f′（x）的圖象關(guān)于點32，1對稱，即函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點32，1對稱，所以g32=1.

因為g′（3－x）的圖象關(guān)于原點對稱，即g′（3－x）是奇函數(shù)，又注意到函數(shù)y=－g（3－x）+c（其中c為實常數(shù)）的導(dǎo)函數(shù)為g′（3－x），于是可得函數(shù)y=－g（3－x）+c是偶函數(shù)，故－g（3－x）+c=－g（3+x）+c，化簡得g（3－x）=g（3+x），所以g（x）的圖象關(guān)于直線x=3對稱.

以下解題過程，同解法1，略.

評注：解法3側(cè)重于靈活運用求導(dǎo)技巧以及函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)之間的奇偶性關(guān)系，其中通過求導(dǎo)獲得“g32=1”比較簡單，可看作是前述解法1、解法2對應(yīng)解析過程的“優(yōu)化”.

解法4：因為f32+x－f32－x=2x，又注意到32+x－32－x=2x，所以極易想到取一個特殊的函數(shù)f（x）=x，再考慮函數(shù)f（x）=x是否滿足其他題設(shè)條件.

對f（x）=x，求導(dǎo)得f′（x）=1，所以g（x）=1，則g′（x）=0，所以g′（3－x）=0，于是g′（3－x）的圖象關(guān)于原點對稱.因此，函數(shù)f（x）=x滿足其他題設(shè)條件.

于是，可得g′（9）+g92=0+1=1.故根據(jù)“排除法”可知正確答案為選項D.

評注：通過解法4可知，本題作為非解答題在設(shè)計上欠妥，理由是——在觀察分析的基礎(chǔ)上，可以簡簡單單地進(jìn)行“秒殺”，從而輕松獲解！此外，也可取f（x）=32+x求解.

4 變式題

（多選題）已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）定義域均為R，滿足f32+x－f32－x=－2x，記g（x）=f′（x），其導(dǎo)函數(shù)為g′（x），且g′（3+x）的圖象關(guān)于y軸對稱，則下列結(jié)論正確的有（" ）.

A.函數(shù)y=f（x）+x的圖象關(guān)于直線x=32對稱

B.g32=－1

C.函數(shù)g′（x）的圖象關(guān)于直線x=3對稱

D.g（3）=0

解析：因為f32+x－f32－x=－2x，又注意到32－x－32+x=－2x，所以可變形得f32+x+32+x=f32－x+32－x，而該等式兩邊外在結(jié)構(gòu)相同，從而極易想到構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）+x，則有h32+x=h32－x，所以函數(shù)h（x）的圖象關(guān)于直線x=32對稱，從而導(dǎo)函數(shù)h′（x）的圖象關(guān)于點32，0對稱.

又易知h′（x）=f′（x）+1，從而知函數(shù)f′（x）+1的圖象關(guān)于點32，0對稱，所以f′（x）的圖象關(guān)于點32，－1對稱，即g（x）的圖象關(guān)于點32，－1對稱，故g32=－1.

因為g′（3+x）的圖象關(guān)于y軸對稱，即g′（3+x）是偶函數(shù)，可得g′（3+x）=g′（3－x），所以g′（x）的圖象關(guān)于直線x=3對稱.

由于g′（3+x）=g′（3－x），因此可知函數(shù)y=g（3+x）+g（3－x）的導(dǎo)函數(shù)為y′=g′（3+x）－g′（3－x）=0，所以函數(shù)y=g（3+x）+g（3－x）=c（其中c為實常數(shù)），從而可得g（x）的圖象關(guān)于點3，c2對稱，則g（3）=c2.

綜上，可知選項ABC正確.故選：ABC.

評注：一般地，若導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（a，t）對稱，且f（a）=t，其中t∈R.特別地，若導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱（即f′（x）是偶函數(shù)），則函數(shù)f（x）的圖象不一定關(guān)于原點對稱（即f（x）不一定是奇函數(shù)）.

總之，關(guān)注抽象函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的交匯問題，有利于幫助我們理解、掌握常用解題思維方法，不斷積累解題經(jīng)驗，避免一些常見錯誤的產(chǎn)生，同時有助于較好地培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理核心素養(yǎng).