恒等變形巧同構(gòu)，不等性質(zhì)妙放縮

摘要：同構(gòu)思維是解決數(shù)學(xué)綜合問題中一種比較特殊的解題思維與技巧方法.本文中結(jié)合一道含參函數(shù)的最值問題，借助不等式恒成立的構(gòu)建，以及關(guān)系式的恒等變形，依托同構(gòu)思維與不等性質(zhì)的應(yīng)用，立足同構(gòu)思維與不等性質(zhì)求參數(shù)的值，歸納總結(jié)同構(gòu)思維與切線不等式思維的解題技巧與規(guī)則，合理變式拓展，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；最值；同構(gòu)；切線不等式；恒成立

近幾年新高考數(shù)學(xué)試題中的主觀題與客觀題，經(jīng)常出現(xiàn)一些以導(dǎo)數(shù)為工具，借助參數(shù)或代數(shù)式的取值、最值（或取值范圍）等的探求來設(shè)置與應(yīng)用.此類問題通常基于含參方程、函數(shù)、不等式等形式來設(shè)置，通過方程、函數(shù)與不等式三者之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化與恒等變形，或?qū)ふ彝蛠砬擅钔瑯?gòu)函數(shù)轉(zhuǎn)化，或借助特征去利用不等性質(zhì)變形，進(jìn)而利用不等式的構(gòu)建或方程的設(shè)置來求解參數(shù)或代數(shù)式的取值、最值（或取值范圍）等，實(shí)現(xiàn)問題的突破與應(yīng)用.這類試題創(chuàng)新新穎，結(jié)構(gòu)獨(dú)特，解題技巧性高，知識綜合性強(qiáng)，是基于同構(gòu)思維或不等性質(zhì)巧妙應(yīng)用的一種重要場景，成為高考命題中的一類熱點(diǎn)題型，倍受各方關(guān)注.

1 問題呈現(xiàn)

問題" 〔2025屆廣東省五校（清中、河中、惠中、陽中、深圳翠園中學(xué)）高三12月份聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試卷·14〕已知函數(shù)f（x）=ex－ln x+（1－m）x－ln m的最小值為0，則m=.

此題以含參函數(shù)為問題場景來創(chuàng)設(shè)，利用函數(shù)最小值的確定，借助函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式等關(guān)系的變形與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而確定對應(yīng)參數(shù)的取值，全面考查函數(shù)與不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等方面知識的綜合應(yīng)用.

合理觀察對應(yīng)的含參函數(shù)，結(jié)合函數(shù)最小值等條件來等價(jià)構(gòu)建含參不等式恒成立問題，從同構(gòu)思維以及切線不等式思維等視角切入與應(yīng)用，合理轉(zhuǎn)化相應(yīng)的不等式，結(jié)合新函數(shù)的同構(gòu)處理或不等式的合理放縮，化簡對應(yīng)的不等式，結(jié)合取得等號的條件來確定參數(shù)的取值與應(yīng)用.

2 問題破解

2.1 同構(gòu)思維

解：

由題意知，ex－ln x+（1－m）x－ln m≥0對于xgt;0恒成立，且能取得等號，即ex+x≥ln（mx）+mx=ln（mx）+eln（mx）恒成立.

同構(gòu)函數(shù)g（x）=ex+x，xgt;0，易知函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則g（x）≥g［ln（mx）］，所以x≥ln（mx），即ex≥mx，則m≤exx在（0，+∞）上恒成立，且能取得等號.

設(shè)函數(shù)h（x）=exx，xgt;0，求導(dǎo)可得h′（x）=（x－1）exx2.由h′（x）=0，得x=1.所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）lt;0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）gt;0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增.

所以h（x）min=h（1）=e，又知m≤e

能取得等號，所以m=e.

故填答案：e.

點(diǎn)評：依托題設(shè)條件中函數(shù)對應(yīng)的不等式恒成立，合理加以恒等變形與轉(zhuǎn)化，巧妙同構(gòu)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行合理變形與轉(zhuǎn)化，在此基礎(chǔ)上得到簡化的不等式恒成立，再分離參數(shù)，結(jié)合函數(shù)的構(gòu)建，并利用函數(shù)的單調(diào)性與最值，進(jìn)而確定對應(yīng)參數(shù)的取值.不同視角的不等式恒等變形以及分離參數(shù)的切入點(diǎn)不同，構(gòu)建不同的函數(shù)來分析與處理.

2.2 切線不等式思維

解：

由題意知，ex－ln x+（1－m）x－ln m≥0對于xgt;0恒成立，且能取得等號，即ex+x≥ln（mx）+mx=ln（mx）+eln（mx）恒成立.

同構(gòu)函數(shù)g（x）=ex+x，xgt;0，易知函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則g（x）≥g［ln（mx）］，則x≥ln（mx），即x≥ln m+ln x，可得ln m≤x－ln x恒成立，且能取得等號.

結(jié)合切線不等式，得ln x≤x－1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號成立，則有x－ln x≥1.

所以ln m≤1，要使得等號成立，則ln m=1，求得m=e.

故填答案：e.

點(diǎn)評：依托不等式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，通過同構(gòu)函數(shù)進(jìn)行化簡，合理通過不等式的恒等變形，結(jié)合切線不等式進(jìn)行放縮來確定相應(yīng)關(guān)系式的最值情況，利用不等式恒成立來建立對應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而利用條件加以合理轉(zhuǎn)化與求解，實(shí)現(xiàn)參數(shù)值的確定.同構(gòu)思維的應(yīng)用給問題提供了切入的條件，而切線不等式的放縮應(yīng)用，可以更好地優(yōu)化解題過程，減少推理過程與數(shù)學(xué)運(yùn)算.

3 變式拓展

3.1 類比變式

基于原問題的設(shè)問方式，合理加以改變與創(chuàng)新，從不等式恒成立視角進(jìn)行設(shè)置與類比，進(jìn)而求解參數(shù)的最值或取值范圍問題.

變式1" （2025屆山東省菏澤市高三上期中數(shù)學(xué)試卷·14）若ex－ln x≥ln m+（m－1）x，則實(shí)數(shù)m的最大值為.

解析：依題，由ex－ln x≥ln m+（m－1）x，可得ex+x≥ln x+ln m+mx=ln（mx）+mx=eln（mx）+ln（mx）.

同構(gòu)函數(shù)f（x）=ex+x，xgt;0，易知函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則f（x）≥f［ln（mx）］，所以x≥ln（mx），即x≥ln m+ln x，可得ln m≤x－ln x恒成立.

結(jié)合切線不等式，可得ln x≤x－1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號成立，則有x－ln x≥1.

所以ln m≤1，解得0lt;m≤e，即實(shí)數(shù)m的最大值為e.

故填答案：e.

3.2 深入變式

結(jié)合原問題進(jìn)行深入探究與綜合應(yīng)用，拓展思維，深度學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)深入變式與應(yīng)用.

變式2" 已知函數(shù)f（x）=exxm－x+mln x－1的最小值為0，則m的取值范圍為.

解析：依題，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）.令t=exxmgt;0，則ln t=x－mln x.

由f（x）換元可得g（t）=t－ln t－1，tgt;0，求導(dǎo)得g′（t）=1－1t=t－1t.令g′（t）=0，得t=1.所以當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，g′（t）lt;0，函數(shù)g（t）單調(diào)遞減；當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，g′（t）gt;0，函數(shù)g（t）單調(diào)遞增.

所以g（t）min=g（1）=0.

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=exxm－x+mln x－1的最小值為0，所以t=exxm=1有解.

當(dāng)m=0時(shí)，x=0不符合題意.

所以當(dāng)m≠0時(shí)，由exxm=1可得mln x=x，即1m=ln xx有解.

構(gòu)建函數(shù)h（x）=ln xx，xgt;0，求導(dǎo)可得h′（x）=1－ln xx2.由h′（x）=0，得x=e.所以當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，h′（x）gt;0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，h′（x）lt;0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減.

所以h（x）max=h（e）=1e，則1m≤1e，解得mlt;0或m≥e，即m的取值范圍為（－∞，0）∪［e，+∞）.

故填答案：（－∞，0）∪［e，+∞）.

4 教學(xué)啟示

4.1 同構(gòu)思維，巧妙探尋

在破解一些涉及函數(shù)或方程、代數(shù)式、不等式等綜合應(yīng)用問題時(shí)，合理挖掘問題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，創(chuàng)新數(shù)學(xué)意識，開拓?cái)?shù)學(xué)思維，結(jié)合題設(shè)條件中的關(guān)系式、方程或不等式的結(jié)構(gòu)特征與基本性質(zhì)，借助慧眼識別、尋找、挖掘其中的同型或共性，合理同構(gòu)函數(shù)，利用函數(shù)共性來巧妙解決.

利用同構(gòu)法處理此類涉及函數(shù)或方程、代數(shù)式、不等式等綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵在于合理同構(gòu)后，進(jìn)一步借助函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性、周期性、奇偶性以及最值等）等來轉(zhuǎn)化與解決，將一些比較復(fù)雜的相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為基本的函數(shù)問題來處理，不斷增強(qiáng)創(chuàng)新意識、同構(gòu)意識與創(chuàng)新應(yīng)用，融合知識交匯，形成數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4.2 不等性質(zhì)，創(chuàng)新放縮

切線不等式是基于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用的產(chǎn)物，也是對知識與應(yīng)用的提升與升華.常見的切線不等式有指數(shù)切線不等式ex≥x+1（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號成立），ex≥ex（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號成立），或?qū)?shù)切線不等式ln x≤x－1（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號成立），ln x≤1ex（當(dāng)且僅當(dāng)x=e時(shí)等號成立）等.

此類涉及切線不等式的這一不等性質(zhì)，是在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)解題過程中，不斷總結(jié)出的一些基本知識點(diǎn)，可以作為相應(yīng)的“二級結(jié)論”加以巧妙應(yīng)用，對于快捷巧妙解題有一定的促進(jìn)與提升作用，可以在一定程度上促進(jìn)對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的理解與掌握，發(fā)散數(shù)學(xué)思維，優(yōu)化數(shù)學(xué)習(xí)慣，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等.