代數(shù)與三角比翼，推理與運算齊飛

摘要：復(fù)數(shù)作為高考數(shù)學(xué)命題中的一個基本考點，往往難度較小.而以多選題形式設(shè)置的復(fù)數(shù)綜合應(yīng)用問題，難度有所提升，對于考生“雙基”的要求更高.結(jié)合一道復(fù)數(shù)模擬題，就代數(shù)思維與三角思維的應(yīng)用加以分析，強化邏輯推理與數(shù)學(xué)運算能力，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：復(fù)數(shù)；代數(shù)；三角；模；性質(zhì)

涉及復(fù)數(shù)的基本運算與基本性質(zhì)問題，是復(fù)數(shù)模塊考查的一個基本點，也是高考命題的一個基本方向.特別是近年新高考數(shù)學(xué)試卷中，經(jīng)常以復(fù)數(shù)為問題場景，結(jié)合多選題的形式來創(chuàng)設(shè)情境，全面考查復(fù)數(shù)的基本概念、基本運算與基本性質(zhì)等，對復(fù)數(shù)知識提出更高的要求，備受各方關(guān)注.本文中結(jié)合一道復(fù)數(shù)模擬題，就代數(shù)思維與三角思維的應(yīng)用加以分析.

1 問題呈現(xiàn)

問題" （2024年“數(shù)海漫游”第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷）（多選題）已知模長均為1的復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1+z2=z1z2，則（" ）.

A.|z1+z2|=1

B.z1+z2=1

C.|z31+z32|=2

D.z31+z32=2

此題中出現(xiàn)兩個模長均為1的復(fù)數(shù)，利用其加法運算與乘法運算的結(jié)果相等為條件，簡單創(chuàng)設(shè)問題場景，進而判斷各選項中結(jié)論的正確性，合理考查復(fù)數(shù)的四則運算、復(fù)數(shù)的模的基本性質(zhì)等內(nèi)容.

解決這類題目往往有兩種做法：一是直接利用復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的相關(guān)基本性質(zhì)，該解法技巧性較高，需要較強的代數(shù)變形能力與數(shù)學(xué)運算能力等；二是利用復(fù)數(shù)的三角形式，引入角度作為變量進行數(shù)學(xué)運算，這種解法對三角恒等變換及數(shù)學(xué)運算能力等方面的要求較高.

2 問題破解

2.1 代數(shù)思維

解法1：復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)法.

對于選項A，利用復(fù)數(shù)的模的基本性質(zhì)，可得|z1+z2|=|z1z2|=|z1||z2|=1，故選項A正確.

對于選項B，根據(jù)z1·z1=|z1|2=1，可得1z1=z1.同理可得1z2=z2.

由z1+z2=z1z2，可得1z1+1z2=1，則有z1+z2=1.利用復(fù)數(shù)的模的基本性質(zhì)，可得z1+z2=1，所以z1+z2=1，故選項B正確.

對于選項C與D，由對選項B的分析可得z1z2=z1+z2=1，則z31+z32=（z1+z2）［（z1+z2）2－3z1z2］=1×（12－3×1）=－2，所以|z31+z32|=2，故選項C正確，選項D錯誤.

故選：ABC.

點評：依題設(shè)中的關(guān)系式，借助復(fù)數(shù)的模的基本性質(zhì)、共軛復(fù)數(shù)的運算與基本性質(zhì)等，通過各選項中的關(guān)系式，合理進行邏輯推理與數(shù)學(xué)運算，進而加以分析與判斷.

2.2 三角思維

解法2：復(fù)數(shù)的三角形式法1.

設(shè)復(fù)數(shù)z1=cos α+isin α，z2=cos β+isin β，其中α，β∈［0，2π），

則有

z1+z2=（cos α+cos β）+i（sin α+sin β），

z1z2=cos（α+β）+isin（α+β）.

由z1+z2=z1z2，得

cos（α+β）=cos α+cos β，

①

sin（α+β）=sin α+sin β.

②

由①②兩式平方后相加，得1=2+2（cos αcos β+sin αsin β）=2+2cos（α－β），則cos（α－β）=－12.

由①②兩式移項、平方后相加，得

1=［cos（α+β）－cos β］2+［sin（α+β）－sin β］2

=2－2［cos（α+β）cos β+sin（α+β）sin β］

=2－2cos α，

則cos α=12.

同理，可得cos β=12.

而由α，β∈［0，2π），結(jié)合cos（α－β）=－12，cos α=cos β=12，以及α，β的輪換性，不失一般性，可得α=5π3，β=π3，則知z1=cos α+isin α=12－32i，z2=cos β+isin β=12+32i.

由此結(jié)合各選項中的信息，可知選項A，B，C正確，選項D錯誤.

解法3：復(fù)數(shù)的三角形式法2.

設(shè)復(fù)數(shù)z1=cos α+isin α，z2=cos β+isin β，其中α，β∈［0，2π）.

依題可知z1·z1=|z1|2=1，可得1z1=z1.同理可得1z2=z2.由z1+z2=z1z2，可得1z1+1z2=1，則z1+z2=1，即cos α－isin α+cos β－isin β=1，可得cos α+cos β=1，sin α+sin β=0.

于是cos2α+sin2α=（1－cos β）2+（－sin β）2=1，可得cos β=12，則cos α=1－cos β=12.

由α，β∈［0，2π），結(jié)合cos α=cos β=12，sin α=－sin β，以及α，β的輪換性，不失一般性，可得α=5π3，β=π3，則知z1=cos α+isin α=12－32i，z2=cos β+isin β=12+32i，

由此結(jié)合各選項中的信息，可知選項A，B，C正確，選項D錯誤.

點評：依題設(shè)中的復(fù)數(shù)的模，設(shè)置對應(yīng)復(fù)數(shù)的三角形式，結(jié)合題設(shè)中的關(guān)系式建立對應(yīng)角的三角函數(shù)關(guān)系，利用關(guān)系式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，并利用三角函數(shù)基本關(guān)系來應(yīng)用，分別求解對應(yīng)角的三角函數(shù)值，進而通過對比與轉(zhuǎn)化，確定對應(yīng)角的一個取值，進而確定對應(yīng)的復(fù)數(shù)，代入各選項中加以運算與確定.

3 變式拓展

變式1" 〔2024年九省聯(lián)考高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷（1月份）〕（多選題）已知復(fù)數(shù)z，w均不為0，則（" ）.

A.z2=|z|2

B.zz=z2|z|2

C.z－w=z－w

D.|zw|=|z||w|

解析：設(shè)z=a+bi（a，b∈R），w=c+di（c，d∈R）.

對于選項A，z2=（a+bi）2=（a2－b2）+2abi，而|z|2=a2+b2，則選項A錯誤.

對于選項B，zz=z2z＼5z=z2|z|2，則選項B正確.

對于選項C，由于z－w=（a－c）+（b－d）i，則z－w=（a－c）－（b－d）i.而z－w=（a－bi）－（c－di）=（a－c）－（b－d）i，即有z－w=z－w，則選項C正確.

對于選項D，由于zw2=zw·zw=zw·zw=|z|2|w|2，所以zw=|z||w|，則選項D正確.

故選：BCD.

變式2" （多選題）設(shè)x，y，z，w是復(fù)數(shù)，滿足|x|2+|y|2=1，|z|2+|w|2=1，x·z+y·w=0，則（" ）.

A.|xw－yz|=1

B.x·y+z·w=0

C.|x|=|w|

D.|y|=|z|

解析：依題，設(shè)x=cos α（cos θ1+isin θ1），y=sin α（cos θ2+isin θ2），z=cos β（cos θ3+isin θ3），w=sin β（cos θ4+isin θ4），其中α，β∈0，π2.

由x·z+y·w=0，可得cos α（cos θ1+isin θ1）·cos β（cos θ3－isin θ3）+sin α（cos θ2+isin θ2）·sin β（cos θ4－isin θ4）=0，整理可得

cos αcos β［cos（θ1－θ3）+isin（θ1－θ3）］+sin αsin β＼5［cos（θ2－θ4）+isin（θ2－θ4）］=0.

故cos αcos βcos（θ1－θ3）+sin αsin βcos（θ2－θ4）=0且cos αcos βsin（θ1－θ3）+sin αsin βsin（θ2－θ4）=0，于是cos αcos β=sin αsin β，且θ1－θ3與θ2－θ4的終邊反向.

進而可得α與β互余，則選項C，D正確.

而θ1－θ2與θ3－θ4的終邊反向，θ1+θ4與θ2+θ3的終邊反向，從而|xw－yz|=1，x·y+z·w=0，則選項A，B正確.

故選：ABCD.

4 教學(xué)啟示

以多選題的形式設(shè)置問題，可以更多地涉及復(fù)數(shù)的相關(guān)知識點，特別是涉及復(fù)數(shù)的運算與基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題，要想輕松解出，需要熟練運用復(fù)數(shù)的相關(guān)基本性質(zhì)與正確的運算，具備較強的代數(shù)變形能力與數(shù)學(xué)運算能力等.

同時，較難的復(fù)數(shù)綜合應(yīng)用問題，其考查往往可以與方程、函數(shù)、三角函數(shù)等基本知識加以巧妙交匯與結(jié)合，這就需要對各個模塊的知識融會貫通，才能在解題時得心應(yīng)手，變化自如.