發散思維應用，巧妙視角變式

摘要：解三角形情境下的綜合應用問題，可以較好地融合相應的基礎知識與基本技能，成為高考命題中的一類常見考查方式.結合一道模擬題，基于解三角形問題的創設及其應用，從不同思維視角切入，合理發散思維，巧妙變式應用，有效指導復習備考.

關鍵詞：三角形；三角函數；最值；基本不等式；輔助角

涉及解三角形情境下的綜合應用問題，是歷年高考中一個基本的考點，場景變化多端，考查形式多樣，成為高考中對數學素養的考查要求比較高的一類考查場景.而此類解三角形綜合問題，合理交匯并融合初、高中知識中相應的平面幾何、平面向量、解三角形、函數與方程、三角函數及不等式等眾多的相關知識，有效落實新課標中“在知識交匯點處命題”的高考基本指導思想，備受各方關注.

1 問題呈現

問題" （2024年南京市高三年級第二次模擬考試數學試卷·8）在斜三角形ABC中，若sin A=cos B，則3tan B+tan C的最小值為（" ）.

A.2

B.5

C.6

D.43

此題以三角形為問題場景，結合三角形中兩內角所對應的三角函數關系式來巧妙設置，進而求解對應三角關系式的最值（或取值范圍）問題.

解決問題的關鍵，就是借助題設條件加以恒等變形與轉化，結合所求的三角關系式化同角，為進一步的分析與求解創造條件.而在化同角的三角關系式的基礎上，借助三角關系式的結構特征，或利用基本不等式合理放縮，或利用三角函數的基本性質巧妙應用，都是解決此類問題的基本技巧與方法.

2 問題破解

方法1：基本不等式法1.

由sin A=cos B=sinπ2－B，得A=π2－B或A+π2－B=π，即A+B=π2或A－B=π2.又△ABC為斜三角形，則A－B=π2，即A=B+π2.于是可得

3tan B+tan C=3tan B+tan（π－A－B）=3tan B+tanπ2－2B=3tan B+1tan 2B=3tan B+1－tan 2B2tan B=52tan B+12tan B.

由于C=π－A－B=π2－2Bgt;0，則B∈0，π4，可知tan B∈（0，1）.利用基本不等式，得3tan B+tan C=52tan B+12tan B≥252tan B×12tan B=5，當且僅當52tan B=12tan B，即tan B=55時，等號成立.

所以3tan B+tan C的最小值為5.

故選擇答案：B.

點評：根據三角函數中相關三角關系式的條件，合理變形與轉化，巧妙化為同角，借助三角函數關系式的結構特征，利用基本不等式進行放縮，進而確定相應的最值.涉及三角函數與不等式這兩個基本知識點的交匯與融合問題，通常是高考命題的一個重要方向，也是知識交匯與融合的一個基本點，在各級各類模擬題中出現的頻率很高，要引起足夠的重視.

方法2：輔助角公式法.

依題，cos B=sin A=sin（B+C）=sin B＼5cos C+cos Bsin C，若C為鈍角，則該等式右邊明顯小于左邊，所以C只能是銳角.同時，易知B為銳角.

將cos B=sin Bcos C+cos Bsin C的

兩邊同時除以cos Bcos C，可得1cos C=tan B+tan C，即tan B=1cos C－tan C，則

P=3tan B+tan C=31cos C－tan C+tan C=3cos C－2tan C=3－2sin Ccos Cgt;0.

結合三角函數的輔助角公式，整理可得3=2sin C+Pcos C=4+P2sin（C+φ），則有4+P2≥3，可得P2≥5，解得P≥5.

所以3tan B+tan C的最小值為5.

故選擇答案：B.

點評：根據三角函數中相關三角關系式的條件，結合三角恒等變換公式及其應用，合理變形與轉化，巧妙化同角處理，結合三角函數關系式的特征，借助三角函數的輔助角公式，巧妙引入參數進行整體化思維，利用三角函數的有界性構建對應的不等式，進而確定三角關系式的最值.回歸三角函數問題的本質，依托三角恒等變換、三角函數的圖象與性質等來綜合應用.

3 變式拓展

依托原問題及其求解過程，從相應的問題場景創設入手，結合不同的條件加以設置，得到系列相應的變式問題，合理發散數學思維，巧妙提升數學品質.

變式1" 在斜三角形ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足sin A=cos B.

（1）求A－B的大小；

（2）求3tan B+tan C的最小值；

（3）若a=1，求AB·AC的最小值.

解析：（1）A－B=π2.（過程略）

（2）3tan B+tan C的最小值為5.（過程略）

（3）由（1）可知A=B+π2.由正弦定理，得bsin B=asin A=1sinB+π2=1cos B，即b=tan B.

又C=π－A－B=π2－2B，同理可得1cos B=csin C=csinπ2－2B=ccos 2B，則c=cos 2Bcos B.

由sin A=cos B，易知B為銳角.

結合三角恒等變換公式與基本不等式，可得AB·AC=bccos A=tan B·cos 2Bcos B·cos A=sin Bcos B·cos 2Bcos B·cosB+π2=－sin Bcos B·cos 2Bcos B·sin B=－（1－cos2B）（2cos2B－1）cos2B=2cos4B－3cos2B+1cos2B=2cos2B+1cos2B－3≥22cos2B×1cos2B－3=22－3，當且僅當2cos2B=1cos2B，即cos2B=22時等號成立.

所以AB·AC的最小值為22－3.

變式2" （湖北省武漢市2024屆高中畢業生四月調研考試數學試卷·14）設A，B，C是一個三角形的三個內角，則cos A（3sin B+4sin C）的最小值為.

參考答案：－1253108.

4 教學啟示

4.1 恒等變形，化歸轉化

依托解三角形場景的三角關系式的最值（或取值范圍）問題，往往離不開三角形的基本性質、三角恒等變換公式等的變形與轉化，巧妙“化同名”與“化同角”，為進一步求解三角關系式的最值（或取值范圍）創造條件.

而在同名或同角的三角關系式條件下，借助三角函數的圖象與性質，通過三角函數的有界性實現放縮處理；借助不等式的基本性質，通過重要不等式的性質來放縮轉化；借助函數與導數的應用，通過求導運算與函數的單調性來判斷等.這些基本方法都是解決此類問題的常見技巧與方法.

4.2 回歸本質，拓展思維

涉及解三角形的綜合應用問題，特別是三角關系式的最值（或取值范圍）問題，借助解三角形、平面幾何等相應的定理、公式，合理實現三角形中對應角之間的轉化與應用.同時合理回歸平面幾何圖形的直觀形象，數形結合來處理.

而從解三角形問題中合理挖掘內涵，回歸問題的本質，借助解三角形問題的數學運算或直觀想象，實現初、高中知識間的交匯與融合，特別是巧妙將相關的解三角形、三角函數、函數與方程、不等式等知識巧妙地滲透與融合進去，拓展數學思維方式與解題策略，實現解題過程的優化與創新應用.