例析三角函數(shù)最值問題的常見解法及解題技巧

三角函數(shù)的最值問題是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容.在解決這類問題時，有多種有效的方法可供選擇.掌握這些方法不僅有助于準(zhǔn)確求解三角函數(shù)的最值，還能加深對三角函數(shù)性質(zhì)以及相關(guān)數(shù)學(xué)概念之間聯(lián)系的理解.求解三角函數(shù)最值問題的方法有很多，包括基于函數(shù)圖象、輔助角公式、單調(diào)性分析、參數(shù)變換和巧用三角函數(shù)等方法，在實際解題過程中，應(yīng)根據(jù)具體問題的特點選擇合適的方法，靈活運用各種技巧，以提高解題的準(zhǔn)確性和效率.同時，通過對三角函數(shù)最值問題的深入研究，也有助于學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的性質(zhì)，提高數(shù)學(xué)思維能力和解決實際問題的能力.

1 基于函數(shù)圖象的解法

基于函數(shù)圖象的解法，需明確三角函數(shù)圖象的特點，即周期性、對稱性和振幅恒定.正弦函數(shù)y=sin x和余弦函數(shù)y=cos x的圖象均為波形曲線，周期為2π，振幅為1.正切函數(shù)y=tan x圖象為無界曲線，周期為π.正弦和余弦函數(shù)在每個周期內(nèi)均有唯一的極大值和極小值點，分別在y=1和y=-1處.正切函數(shù)在每個周期內(nèi)無最大最小值，但其圖象切線的斜率變化顯著.

對于形如y=Asin（ωx+φ）+B或形如y=Acos（ωx+φ）+B的函數(shù)，可以利用三角函數(shù)的圖象判斷它們的最值.對y=sin x，y=cos x，在每個周期內(nèi)，波峰和波谷的位置固定，極大值為1，極小值為-1.通過函數(shù)圖象，可以直觀地看到這些極值點的位置.對于正切函數(shù)，雖然沒有固定的極值點，但可以通過觀察切線斜率的變化和漸近線的位置來判斷函數(shù)值的極限.

例1" （2024＼5天津高考卷＼57）已知函數(shù)f（x）=sin 3ωx+π3（ωgt;0）的最小正周期為π.求函數(shù)f（x）在－π12，π6的最小值.

思路分析：先由誘導(dǎo)公式化簡，結(jié)合周期公式求出ω，得f（x）=-sin 2x；再整體求出x∈－π12，π6時2x的范圍，結(jié)合正弦型函數(shù)圖象的特征即可求解.

解析：f（x）=sin 3ωx+π3=sin（3ωx+π）=-sin 3ωx，由T=2π3ω=π，得ω=23，則f（x）=-sin 2x.由x∈－π12，π6，得2x∈－π6，π3.畫出y=-sin 2x的圖象，

圖1

如圖1所示，可知f（x）在－π12，π6上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=π6時，f（x）min=-sinπ3=-32.

通過結(jié)合函數(shù)圖象并觀察其特征，可以直觀地判斷函數(shù)的最大值和最小值.

2 運用輔助角公式求最值

運用輔助角公式求解三角函數(shù)的最值問題具有簡潔明了的特點.通過輔助角公式，可將復(fù)雜的三角函數(shù)式子化為較為簡單的形式，從而便于分析和求解.輔助角公式的核心在于將形如y=asin" ωx+bcos ωx的表達(dá)式簡化為y=Rsin（ωx+φ）的形式，其中R=a2+b2且tan φ=ba;也可以化為y=a2+b2＼5cos（ωx-φ）形式，其中tan φ=ab.這種化簡方式不僅能快速求得函數(shù)的最值，還能直觀地理解三角函數(shù)的變化規(guī)律.

例2" （2024＼5全國甲卷＼5文13）函數(shù)f（x）=sin x-3cos x在［0，π］上的最大值是.

思路分析：先通過輔助角公式確定R和φ，最后求出函數(shù)最值.

解析：首先確定參數(shù)R，R=a2+b2=1+3=2.再確定角度φ，由tan φ=ba=-3，得φ=－π3.將原函數(shù)化簡為f（x）=sin x一3cos x=2sinx－π3，當(dāng)x∈［0，π］時，x－π3∈－π3，2π3.故當(dāng)x－π3=π2，即x=5π6時，f（x）max=2.

綜上，通過輔助角公式的推導(dǎo)和化簡過程，能夠清晰直觀地求解三角函數(shù)的最值問題，步驟簡明、邏輯清晰，適合高中生規(guī)范解題.

3 單調(diào)性分析法

三角函數(shù)的單調(diào)性是求解最值問題的重要工具.正弦函數(shù)y=sin x在［-π，π］一個周期內(nèi)，在-π2，π2上單調(diào)遞增，在π2，π和－π，－π2上單調(diào)遞減；余弦函數(shù)y=cos x在［-π，π］一個周期內(nèi)，在［0，π］上單調(diào)遞減，在［-π，0］上單調(diào)遞增；正切函數(shù)y=tan x在－π2，π2一個周期內(nèi)單調(diào)遞增.這些單調(diào)性特征為最值的求解提供了有力的依據(jù).

例3" （2024＼5北京卷＼512）已知α∈π6，π3，且α與β的終邊關(guān)于原點對稱，求cos β的最大值.

思路分析：首先得出β=α+π+2kπ，k∈Z，結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)性即可求解最值.

解析：由題意β=α+π+2kπ，k∈Z，從而cos β=cos（α+π+2kπ）=-cos α.因為α∈π6，π3，所以cos α在π6，π3上單調(diào)遞減，cos α的取值范圍是12，32，則cos β的取值范圍是－32，－12，當(dāng)且僅當(dāng)α=π3，β=4π3+2kπ，k∈Z時，cos β取得最大值，且最大值為－12.

通過單調(diào)性分析法，可以在特定區(qū)間內(nèi)精確找到函數(shù)的最大值和最小值.

4 運用參數(shù)變換法

參數(shù)變換法在解決三角函數(shù)最值問題中，通過引入新參數(shù)，將復(fù)雜的三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為更易處理的形式.該方法的核心在于選取合適的參數(shù)進(jìn)行變換，使原函數(shù)的形式簡化，便于進(jìn)一步分析或求解.

例4" （2022高三專題練習(xí)）求函數(shù)f（x）=cos x+sin x+2sin xcos x+2的最大值.

思路分析：本題可用換元法，令t=cos x+sin x，用含有t的代數(shù)式表示2sin xcos x，把原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)再求最值.

解析：令t=cos x+sin x，則由輔助角公式可得t=2sinx+π4，所以t∈［－2，2］.又t2=（cos x+sin x）2=1+2sin xcos x，則2sin xcos x=t2-1.原函數(shù)可化為g（t）=t2+t+1，t∈［-2，2］.對于二次函數(shù)g（t）=t2+t+1，其對稱軸為t=－12，在－2，－12上單調(diào)遞減，在－12，2上單調(diào)遞增.所以當(dāng)t=－12時，函數(shù)g（t）取得最小值34.又當(dāng)t=－2時，g（t）=3-2，當(dāng)t=2時，g（t）=3+2，故函數(shù)的最大值為3+2，也即f（x）的最大值.

通過參數(shù)變換法，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，迅速求得其最值.這種方法有效降低了問題的復(fù)雜度，提升了解題效率和準(zhǔn)確性.

5 巧用三角函數(shù)求最值

利用三角函數(shù)能夠?qū)?fù)雜的幾何圖形關(guān)系、平面向量、解析幾何中的曲線問題等轉(zhuǎn)化為更易于分析和求解的形式.它不僅為我們提供了一種有效的解題思路，還能幫助我們更深入地理解數(shù)學(xué)中不同概念之間的聯(lián)系.

例5" （2023＼5全國乙卷＼5理12）已知⊙O的半徑為1，直線PA與⊙O相切于點A，直線PB與⊙O交于B，C兩點，D為BC的中點，若|PO|=2，求PA·PD的最大值.

思路分析：首先作出示意圖，然后將數(shù)量積的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，利用二倍角公式化簡，再使用輔助角公式求最值.

圖2

解析：如圖2，設(shè)∠DPO=α，由題意可知α∈0，π4，|PO|=2，|OA|=1，∠OPA=π4，|PD|=|PO|cos α=2cos α，∠APD=π4+α，所以PA·PD=|PA|·|PD|cosπ4+α=2cos αcosπ4+α=2cos α22cos α－22sin α=cos2α－cos αsin α=12+12cos 2α－12sin 2α=12+22cos2α+π4≤12+22.

例5nbsp; （2023＼5全國乙卷＼5文11）已知實數(shù)x，y滿足x2+y2－4x－2y－4=0，求x－y的最大值.

思路分析：先把圓的一般方程化簡成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后用三角換元求x－y，再使用輔助角公式求最值.

解析：由x2+y2－4x－2y－4=0，得（x－2）2+（y－1）2=9.令x=3cos α+2，y=3sin α+1，其中α∈［0，2π］，則x－y=3cos α－3sin α+1=32cosα+π4+1.由α∈［0，2π］，可得α+π4∈π4，9π4，則α+π4=2π，即α=7π4時，x－y取得最大值32+1.

巧用三角函數(shù)進(jìn)行換元這種方法不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的緊密聯(lián)系，也展現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的靈活性和巧妙性，幫助我們在解決數(shù)學(xué)難題時能夠另辟蹊徑，達(dá)到事半功倍的效果.

綜上所述，三角函數(shù)最值問題的解法多種多樣，每種方法都有其獨特的優(yōu)勢和適用場景.基于函數(shù)圖象的解法直觀明了，通過觀察圖象特征可輕松判斷最值；借助輔助角公式能將復(fù)雜式子化簡，便于求解；單調(diào)性分析法利用三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可精確找到最值；參數(shù)變換法通過巧妙引入新參數(shù)簡化問題；巧用三角函數(shù)能夠?qū)⑵渌麛?shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為易于分析的形式.這些方法展示了三角函數(shù)知識在數(shù)學(xué)解題中的強(qiáng)大作用，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的靈活性和邏輯性，熟練掌握這些方法對于解決數(shù)學(xué)問題具有重要意義.