提升解決“方程與銷售類實際問題”能力的策略

應用方程解決“銷售類”實際問題，在初中數學中非常重要，從建立一元一次方程模型開始，經歷了建立二元一次方程組、分式方程、一元二次方程等模型的探究過程，難度層層遞進，筆者通過教學實踐發現，學生掌握起這些模型來并不容易。如何提升應用方程解決“銷售類”實際問題的能力？通過教學實踐，我總結了以下三個策略：

一、理解銷售類問題的基本概念與關系式

（1）基本概念。五價：原價、標價、售價、進價、成本價。兩利：單件利潤、總利潤。一量：銷售數量

一折：折扣。兩率：折扣率、利潤率

（2）基本關系式。①售價=原價×折扣率，②折扣率= ×100% ，③單件利潤=售價﹣進價，④利潤率= ×100% .⑤總進價=單件進價×銷售數量，⑥ 總利潤=單件利潤×銷售數量.

二、建立銷售類問題對應的方程模型

1.一元一次方程與銷售

例1：某種商品的標價為200元，為了吸引顧客，按九折出售，這時仍要盈利20%求該商品的進價．

解：設這種商品的進價是x元

200×0.9x- x﹦20%，解得 x-150

答：這種商品的進價是150元．

一元一次方程與銷售問題涉及的關系式主要有①②③④，等量關系較為簡單，利用等號左右兩邊均表示單件利潤進行列方程。

2.二元一次方程組與銷售

例2：某商場用14500元購進甲、乙兩種礦泉水共500箱，礦泉水的成本價與銷售價如表所示：

類別 成本價 元/箱

銷售價 元/箱

甲

乙

求：（1）購進甲、乙兩種礦泉水各多少箱

（2）該商場售完這500箱礦泉水，可獲利多少元．

解：（1）設購進甲礦泉水 x箱，購進乙礦泉水 箱，

依題意，得 解得

答：購進甲礦泉水300箱，購進乙礦泉水200箱．

（2）（35-25）×300+（48-35）×200=5600（元）

答：該商場售完這500箱礦泉水，可獲利5600元．

二元一次方程組與銷售問題涉及的關系式主要有③⑤⑥，銷售數量在原來的基礎上參與較多， 涉及到總進價和總利潤。

3.分式方程與銷售

例3：某電器商場銷售甲、乙兩種品牌的節能熱水器，已知每臺乙種品牌熱水器的進價比每臺甲種品牌熱水器的進價高20%，同樣用6000元購進的乙種品牌熱水器數量比甲種品牌熱水器數量少1臺。求甲、乙兩種品牌熱水器的進貨價.

解：設甲種品牌熱水器的進貨價為 x元／臺，乙種品牌熱水器的進貨價為1.2x元／臺，" =1，解得：x=1000，經檢驗是原方程的解且符合題意，1.2 x=1200.

答：甲種品牌熱水器的進貨價為1000元／臺，乙種品牌熱水器的進貨價為1200元／臺.

分式方程與銷售問題涉及的關系式主要有③⑤⑥，銷售數量在原來的基礎上參與較多， 涉及到總進價和總利潤。

4.一元二次方程與銷售

例4（降價銷售）2022北京冬奧會期間，某網店直接從工廠以25元／件購進某款冰墩墩鑰匙扣，如果按照37元／件銷售，平均每天可售4件．冬奧會臨近結束時，網店打算把該款鑰匙扣調價銷售，經調查發現，每降價1元，平均每天可多售2件。銷售價定為每件多少元時，才能使該款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元？

法一：解：設該款鑰匙扣的售價定為 元，（ -25）[4+2（37- ）] =90，解得 ， ．

答：將銷售價定為每件 元或 元時，才能使該款鑰匙扣平均每天銷售利潤為 元．

法二：解：設降價x元。

[ 37-x-25] ，解得 ， ，售價為37-3=34，或37-7=30.

答：將銷售價定為每件30元或34元時，才能使該款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元。

例5：（漲價銷售）某網店銷售一種兒童玩具，每件進價20元，規定單件銷售利潤不低于10元，且不高于18元．試銷售期間發現，當銷售單價定為35元時，每天可售出250件，銷售單價每上漲1元，每天銷售量減少10件，該網店決定提價銷售．當銷售單價是多少元時，網店每天獲利3840元？

本題可以類比例4，設銷售售價x元或者漲價x元，根據“總利潤=單件利潤×銷售數量”列方程求解。

這兩種銷售比前4個題目涉及的量多，情況復雜。主要是銷售方式出現了變化，銷售價格不再固定，銷售數量也不再固定，學生理解起來比較困難。要想突破此類題，首先理解這兩個題的兩個共同點，一是價格變動前有一個銷售基礎，即銷售單價為……元時，每天可售出……件；二是價格變動后明確了一個關系，即隨著價格變化，每天銷量也跟著變化。其次設未知數表示變化后的單件利潤和變化后的銷售數量。設未知數時，可以直接設變化后的銷售單價，也可以間接設漲價或降價。這兩種設法在表示單件利潤和銷售數量時不同，結合例4的兩種解法理解。這一點必須引起學生重視，只有這兩個量表示正確，才能根據“總利潤=單件利潤×銷售數量”列方程求解。

例6：（與一次函數融合銷售） 某科技公司近期研發出一種新型高科技設備，每臺設備成本價為30萬元，經過市場調研發現，每臺售價為40萬元時，年銷售量為600臺 每臺售價為45萬元時，年銷售量為550臺 假定該設備的年銷售量 （單位：臺）和銷售單價x（單位：萬元/臺）成一次函數關系．

（1）求年銷售量 與銷售單價x的函數關系式．

（2）根據相關規定，此設備的銷售單價不得高于70萬元／臺，如果該公司想獲得10000萬元的年利潤，那么該設備的銷售單價應是多少萬元／臺？

解： 設年銷售量 與銷售單價x的函數關系式為 ，將（40，600）、（45，550）代入 ，得 解得

∴年銷售量 與銷售單價x的函數關系式為 =-10x+1000

設該設備的銷售單價為x萬元／臺，根據題意，得，（x-30）（-10x+1000）=10000，整理，得 -130 x+4000=0，解得 ， ．∵此備的銷售單價不得高于70萬元，∴x=50

答：該設備的銷售單價應是50萬元／臺．

與一次函數融合的銷售問題，根據一次函數的知識表示銷售數量，再利用“單件利潤×銷售數量=總利潤”列方程。

三、深化知識聯系，優化認知結構

在每個階段學習“方程與銷售問題”時，需要教師引導學生將一些知識建立關聯，讓學生從新的角度看待原有的知識，從而引發深度思考，提升其探究綜合問題的能力.

總之，解決“方程與銷售問題”時，理解基本概念和關系式是基礎，建立銷售類問題對應的方程模型是支撐，通過題目深化理解方程模型之間的聯系是根本。掌握了這三個方面，學生從各個角度加工配置信息的能力就越強，解決問題的方法就越多，拓展思維的廣度和深度，從而優化數學認知結構，為培養核心素養奠定基礎。