初中“一次函數”教學中數形結合思想的運用

“一次函數”作為初中代數學習的重要組成部分，有助于培養學生的邏輯思維和抽象思考能力，是學生理解和掌握二次函數、反比例函數的基礎。本文立足于數形結合思想，分析在“一次函數”中應用數形結合思想的意義，并以人教版初中數學八年級下冊《一次函數》教學為例，提出直觀導入、借助學習工具、實際應用以及多元評價等教學優化策略，旨在提升學生的數學學科核心素養。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱新課標）明確指出，數形結合思想是數學學科核心素養的重要組成部分，應貫穿整個數學教學過程。教師運用數形結合思想，通過直觀地展示“一次函數”的線性變化特點，使復雜的問題簡單化，幫助學生理解一次函數的圖像與代數表達式之間的關系，為學生后續學習二次函數、反比例函數等復雜函數奠定堅實基礎。本文將立足于數形結合思想，深入探討在“一次函數”教學中運用數形結合思想的意義，并提出具體的教學優化策略，旨在幫助學生更好地掌握和應用數學知識。

一、初中“一次函數”教學中應用數形結合思想的意義

（一）有助于激發學生學習興趣

數形結合思想通過將抽象的數學概念直觀化，使得學生能夠更容易地理解和接受復雜的數學知識。傳統的數學教學往往以講解和演算為主，容易讓學生感到枯燥乏味。而數形結合思想的應用能夠通過生動的圖形展示，使學生對數學產生濃厚的興趣。這種教學方法符合教育心理學中的直觀性原則，即通過感官直觀的教學手段，促進學生對學習內容的理解和記憶。教育心理學家皮亞杰提出，學生的認知發展經歷從具體運算到形式運算的過程，而數形結合思想正是利用這一認知發展規律，通過圖形這種具體形象的載體，使學生在學習過程中更容易過渡到抽象的數理邏輯層面。因此，數形結合思想不僅能提高學生的學習興趣，還能激發學生的好奇心和探索欲望，增強其學習的主動性和積極性。

（二）有助于提高數學教學效果

應用數形結合思想能顯著提高數學教學的效果。數學教學的目標旨在傳授學生數學知識，培養學生的數學思維能力和解題能力。數形結合思想通過圖形與數字的結合，使學生能夠更全面地理解數學概念，增強學生數學思維的靈活性和深刻性。知識的遷移和應用是教學效果的重要標志，而數形結合思想正是通過直觀的圖形展示，幫助學生更好地實現知識的遷移。學生可以通過圖形理解一次函數的增減性、零點和對稱性等特性，可以更加直觀地掌握這些概念，并能夠將其應用到實際問題中。這種直觀的理解方式不僅有助于學生掌握函數的基本性質，還能提高學生的解題效率和準確性。此外，數形結合思想能夠幫助學生建立起從具體到抽象、從局部到整體的思維模式，使學生能夠更好地進行數學推理和邏輯思考，從而增強數學教學的效果。

（三）有助于培養學生綜合能力

數形結合思想不僅能提高學生的數學能力，還能培養學生的綜合能力。現代社會需要學生掌握基礎的學科知識，更需要學生具備綜合應用能力和創新能力。數形結合思想通過數與形的結合，幫助學生在學習過程中培養出多種能力。數形結合思想能夠提高學生的空間想象能力和邏輯思維能力。通過圖形分析函數的性質，學生可以更直觀地理解數學概念，從而提升學生的空間感知能力和邏輯推理能力。此外，數形結合思想還可以培養學生的抽象思維能力和解決實際問題的能力。在解決實際問題時，學生需要將現實中的問題抽象成數學模型，并通過圖形和數字的結合進行分析和求解。這一過程不僅培養學生運用數學知識的能力，還能夠有效地提高學生的創新思維能力。

二、初中“一次函數”教學中應用數形結合思想的教學策略

（一）直觀導入，建立初步認識

直觀導入是幫助學生建立初步認識的重要策略。利用數形結合思想，通過圖形與代數表達式的結合，能使學生更直觀地理解一次函數的概念和性質。數形結合是一種將數與形相結合的方法，通過圖形直觀地展現數的變化規律和特征，幫助學生將抽象的數學概念具體化，提高理解和應用能力。直觀導入通過實例、圖形展示和具體問題分析，使學生能夠在形象的基礎上理解和掌握數學代數、幾何的相關知識，為后續學習打下堅實基礎。

在人教版初中數學八年級下冊第十九章“一次函數”的教學活動中，教師利用數形結合思想進行直觀導入是幫助學生建立初步認識的重要策略。其一，教師通過生活中的實例引入一次函數的概念，可引導學生觀察和討論每天行走的步數與所用時間之間的關系，讓學生直觀地感受到一次函數在日常生活中的應用。教師將實際問題轉化為數學表達式，即y=kx+b，并通過繪制圖像展示函數關系。教師強調一次函數的基本形式，并解釋其中的各個參數如何影響圖像的形狀和位置。其二，教師利用數形結合的方法，幫助學生建立對一次函數基本概念的認知。在介紹一次函數的圖像時，教師從直線的基本性質出發，強調一次函數的圖像是一條直線，通過在坐標平面上繪制多個一次函數的圖像，引導學生觀察和總結這些直線的共同特點，如直線的斜率和截距。通過具體的圖形展示，學生可以更直觀地理解一次函數的增減性、零點以及與坐標軸的交點等性質。

（二）利用圖形，深化函數性質理解

數形結合的教學方法是深化學生對函數性質理解的重要教學工具。圖形展示和分析能夠將抽象的數學知識轉化為可視化的信息，使學生更容易把握數學知識的基本性質、增減性、零點及其在實際問題中的應用。通過數形結合的教學方式，學生能夠從多個角度認識和理解數學概念知識，領會數學概念的內在聯系和變化規律，進而培養學生的邏輯思維能力和問題解決能力。

在“一次函數”的教學中，教師利用數形結合思想可以幫助學生更深入地理解函數的性質。教師通過圖形展示和分析，可以使抽象的數學概念變得具體化和直觀化，加深學生對一次函數本質的認識。首先，在教學一次函數的基本概念時，教師將一次函數的解析式y=kx+b與其圖像結合起來，通過繪制不同k值下的直線，引導學生觀察斜率k的變化如何影響直線的傾斜程度。如k＞0時，直線向右上方傾斜；k＜0時，直線向右下方傾斜；k=0時，直線呈現水平狀態。教師調節截距b的值，學生觀察直線在y軸上的截距變化，從而理解b值決定直線與y軸的交點位置。其次，在探討一次函數的增減性和零點時，圖形也起到了至關重要的作用。通過繪制一次函數的圖像，學生可以直觀地觀察到當k＞0時，函數是增函數，隨著x值增加，y值也在增加；當k＜0時，函數是減函數，隨著x值增加，y值減小。通過教師直觀的圖形展示，學生能夠更清晰地理解一次函數的單調性。學生通過圖形可以直觀地找到一次函數的零點，即直線與x軸的交點位置，便于學生理解kx+b=0的幾何意義。最后，在解決實際問題時，圖形的應用可以使學生解決問題的過程更加直觀和高效。學生比較兩個商品價格變化的趨勢時，將實際問題轉化為一次函數模型，并繪制函數圖像，通過圖像對比，清晰發現哪個商品價格增長更快，在哪個時刻兩個商品的價格相等。

（三）借助學習工具，提高解題效率

學習工具的使用不僅能夠幫助學生更高效地完成計算和圖形繪制，還能通過可視化的方式加深學生對數學概念的理解。學生借助計算器、幾何畫板等學習工具，可以迅速繪制圖像、分析性質，并通過動態調整參數觀察圖像的變化，從而更直觀地理解斜率、截距等數學名詞，學會將所學知識應用于解決實際問題。同時，學習工具還可以提高解題的準確性和效率，減少計算錯誤，使學生能夠將更多的精力投入問題分析和解題策略的制定，能夠有效提高學生的學習效率。

由于“一次函數”涉及函數關系和圖像變換的知識，所以在實際教學中，教師可讓學生使用圖形計算器或動態幾何軟件，如幾何畫板等，直觀地展示一次函數的圖像及其變化，使學生對一次函數的斜率、截距以及圖像平移等概念有更直觀的理解。當學生解答有關一次函數的增減性或零點的問題時，通過輸入一次函數的解析式y=kx+b，學生觀察圖像可以迅速找到答案，不需要進行復雜的計算。這樣的學習工具不僅節省時間，還能夠增強學生對問題的直觀理解。再利用學習工具進行交互式練習，進一步鞏固學生對一次函數的掌握。如設計一些動態練習，鼓勵學生通過調整函數的參數k和b，觀察圖像如何變化，找到函數增減性的變化規律、函數圖像與y軸交點的移動等，從而理解這些參數對函數圖像的影響。交互式的學習方式，幫助學生能夠更加深入地理解一次函數的概念，培養學生的探索精神和解決問題的能力。此外，教師還可以利用學習工具進行函數圖像的比較與分析。教師給定一次函數f（x）=2x+3和g（x）=-0.5x+1，引導學生通過圖形計算器繪制出兩條直線，觀察并比較兩者斜率和截距。通過比較分析的方法，幫助學生更好地理解一次函數的性質及其應用，從而加深對函數圖像的理解。

（四）實踐應用，鞏固學習成果

實踐應用是鞏固學習成果的重要環節。教師引導學生將數形結合思想應用于解決實際問題，能深化學生對數學概念的理解，還能提高學生的數學應用能力。實踐應用還可以激發學生的學習興趣，使學生感受到數學與生活的緊密聯系，從而增強學習的主動性和積極性。通過多樣化的實踐活動，學生可以在真實情境中體驗數學的魅力，培養解決實際問題的能力和創新思維。

在“一次函數”教學中，教師通過介紹一次函數知識在實際問題解決中的應用，幫助學生更好地將數形結合思想和一次函數的知識更好地內化，增強學生應用所學知識解決實際問題的能力。首先，教師設計與學生生活密切相關的實際問題，假設學生參加一個步行比賽，比賽要求在規定時間內完成一定的路程。教師指導學生根據步行速度和時間，建立一次函數模型y=kx+b。其中，y表示步行的距離，k表示速度，x表示時間，b是初始距離。通過情境問題，學生可以直觀地理解一次函數在描述線性關系方面的作用。其次，教師鼓勵學生在家庭作業中應用一次函數解決實際問題。學生可通過記錄家庭用水量和時間的關系，建立相應的一次函數模型，從而預測未來一段時間內的用水量變化。這不僅可以鞏固學生對一次函數的理解，還能提高學生的實際應用能力。最后，教師還可組織小組合作項目，鼓勵學生利用數形結合思想解決更復雜的問題。教師設計城市公共交通系統的優化方案，學生需要收集不同時間段內乘客數量的數據，并建立相應的一次函數模型。通過圖形和數據的結合，學生分析不同線路的客流量變化，進而提出合理的優化建議，有助于培養學生的團隊合作精神，還能引導學生在實際應用中體會一次函數的價值。

（五）多元評價，促進全面發展

多元評價是指通過多種方式對學生進行綜合評價，包括考試、作業、課堂表現、項目作品等多個方面，從而全面了解學生的學習情況和能力發展情況。在數學教學中，采用多元評價方法可以更全面地了解學生對所學知識的掌握程度和應用能力，促進其全面發展。通過多元評價，教師可以根據學生的不同特點和需求，采用不同的評價方式，使評價更具針對性和有效性。

針對“一次函數”學生學習效果的評價，教師可以采用過程性評價，通過觀察學生在課堂上進行一次函數圖像繪制和參數調整活動中，對圖像變化的理解和分析水平，評價學生對數形結合思想的運用情況。過程性評價不僅關注學生學習結果，還重視學習過程，能夠幫助教師及時發現和解決教學中的問題。教師還可以設計開放性問題和項目式任務，鼓勵學生在實際情境中應用一次函數解決問題，并通過這些任務進行綜合評價。學生選擇自身感興趣的實際問題，如分析某段時間內的氣溫變化，建立相應的一次函數模型，并繪制出氣溫變化的圖像。通過項目任務，教師評價學生對一次函數的理解和應用能力，同時也能考察學生的探究能力和創新精神。教師還可以通過測試和測驗，進行總結性評價。這類評價可以包括傳統的紙筆測試，以及利用幾何畫板等工具進行的圖形分析測試。在測試中，教師設計結合數形結合思想的題目，如給出一次函數的解析式，學生需要畫出相應的圖像，并分析其增減性和零點。這種題目不僅考察學生的計算能力，還能檢測學生對一次函數圖像的理解。教師可以鼓勵學生進行自我評價和互評，在完成一次函數的教學活動后，教師制作學生自評表，鼓勵學生對自己的學習情況進行總結，反思在數形結合思想的應用中遇到的困難和收獲。通過互評，學生可以分享自己的解題思路和方法，互相學習和借鑒，進一步提升學習效果。

三、結語

綜上所述，數形結合思想對“一次函數”的教學活動起到積極的促進作用。教師通過創設教學情境，直觀導入教學內容，注重借助幾何畫板等工具將圖形與函數知識相結合，在動手實踐的過程中，幫助學生逐步掌握一次函數的概念和性質，提高學生的數學學習動力和興趣，有效地激發學生的學習潛能，促進學生的全面發展。