本原性問題驅動視角下的高中數學教學研究

摘"要：本原性問題驅動教學旨在回歸數學問題的根本，師生在“問題導入”的前提下共同開展探究，促使學生形成開放性的數學問題思維.圓錐曲線課程屬于高中數學的關鍵部分，如何在本原性問題驅動的教學理念下激發學生學習興趣，并且增進師生之間的溝通，應成為當前數學課改面臨的突出問題.鑒于此，本文著重探討本原性問題驅動視角下的圓錐曲線教學要點，以圓錐曲線方程為載體，結合高中數學教學的實際情況加以改進.

關鍵詞：本原性問題；高中數學教學；圓錐曲線

本原性問題驅動的數學教學旨在引導學生通過獨立思考、自主探究來發現數學問題的本質所在.學生在教師的引導下，主動探討并解決相關的數學問題，并嘗試透過數學問題的表面描述來窺探其根本.高中數學課程中的圓錐曲線理論知識較為抽象，易導致學生對于抽象、晦澀的數學理論知識感到很難理解.為妥善解決高中數學中的圓錐曲線教學常見問題，關鍵就是要引進本原性問題驅動的教學模式，使得學生在教師的啟發、引導下獨立思考并分析圓錐曲線的相關問題，激發學生對圓錐曲線知識的濃厚興趣.

1"本原性問題驅動視角下的教學策略

1.1"課前精心設計預設性本原問題

教師通過精心布置課前的導入問題，能夠在激活學生數學思維的同時調動學生的想象力，促使學生養成遷移思考的習慣.教師在本原性問題驅動的理論指導下，應當緊密圍繞學生之前所學的數學公式、原理等相關知識，確保學生在鞏固所學知識的過程中探索全新的數學問題.按照從簡至難的基本順序進行教學，符合學生的邏輯思維規律，促使學生在“溫故知新”的基礎上逐步提升數學核心素養.

1.2"課中把握課堂生成性本原問題

“圓錐曲線”的課堂教學并非僅僅為了鞏固基礎知識，教師應當將關注點集中于學生數學思維能力的培養上.本原性、生成性的數學課堂模式應當得到更加廣泛的采用，教師應允許學生結合自身的愛好與興趣，靈活選擇解決數學問題的思路.［1］通過內化數學大綱中的圓錐曲線基礎知識，捕捉學生在課堂中的反應靈敏度、行為習慣等因素，并結合學生在課堂中的反饋信息予以改進.教師還要關注學生批判性數學思維的培養，采取激勵、引導相結合的教學模式，啟發學生反思自身在數學學習中的不足，師生共同探索相應的解決途徑.

教師可以設計問題指導學生深入思考并得到答案.例如，教師提出問題“用刀來切割圓錐體，然后截取兩個面積相同并且呈現相互對立位置的圓錐.在此過程中，如果需要改變圓錐與平面之間的夾角，那么通常能夠在圓錐體的截面之處得到怎樣的幾何圖形呢”.在預設數學課前導入問題的基礎上，教師指導學生用字母a來表示圓錐母線與截面中軸的夾角，用字母b來表示圓錐中軸與截面曲線的夾角，歸納得到如下結論：如果0≤blt;a，那么截面曲線為雙曲線；如果a=b，那么截面曲線為拋物線；如果alt;b，那么截面曲線主要為封閉式的曲線形狀，即為橢圓.在此前提下，教師引出圓錐曲線的數學定義，并且要求學生聯系圓、拋物線等數學曲線的知識點，指導學生在發揮想象力的基礎上猜測圓錐曲線的數學性質.［2］教師還要注重培養學生分析拋物線、橢圓、曲線等常見數學圖形的異同之處，促使學生通過自主分析形成更好的數學邏輯思維.

1.3"注重預設性問題與生成性問題的結合

在圓錐曲線的教學中，“預設性問題”指的是教師在備課階段預先設計數學問題，采用預設問題的做法引導學生逐步深入思考，最終建立起對圓錐曲線理論體系的完整印象.“生成性問題”指的是教師通過判斷學生在課堂上的實際表現及反應等因素，采用隨機設計問題的做法，旨在激勵學生針對特定的數學問題予以深入研究，并支持學生提出獨特的想法或見解.因此，在圓錐曲線的教學中結合預設性、生成性的兩種數學問題，關鍵就是要采取遞進教學的模式，注重培養學生透過數學問題表面探查其本質的能力.教師還要注重學生多元個性的培養，圍繞學生在數學學習中的興趣點等因素，靈活設計并改進圓錐曲線的教學模式.

對于預設性、生成性的數學課堂問題，還要建立在項目式探究的前提下.項目式學習任務能夠激發學生濃厚的探索熱情，確保小組成員在密切配合的基礎上，針對某一數學問題展開更加深入的思考.因此，教師應采用巧妙的形式來設計項目式探究問題，密切關注學生掌握數學理論知識的能力水平差異，確保為學生設計符合興趣點的探究學習內容.［3］教師還要指導數學學習組的組員展開分工、協作，要求小組成員在相互配合的過程中共同查找資料以及整合資料，最終歸納得到數學問題的結論并且予以展示.

2"本原性問題驅動視角下的教學過程

2.1"數學情境，感知背景

課前導入問題：請同學們聯想并回答，我們之前所學的圓形、直線等圖形在日常生活中有哪些應用價值？大家還知道哪些日常生活中常見的數學圖形呢？

本原性問題：利用平面來截取完整的圓錐，我們能夠得到圓形的截面；但是在圓錐軸線與截面角度發生變化的情況下，我們能夠得出哪種數學圖形呢？

學生唯有感受到數學課堂的豐富多彩，才會主動去思考相關的數學問題.融媒體技術融入高中圓錐曲線的課程教學，可促使學生更好體驗立體、直觀的數學課堂情境，對于調動學生的數學遷移思維具有重要作用.教師通過播放動態圖形視頻等形式，有效激發學生在探索圓錐曲線知識中的能動性.利用融媒體技術來增進師生在數學課堂中的信息互動，引導學生描述各種圓錐曲線圖形的異同點.

此外，教師應引導學生發揮“跨學科思維”，啟示學生深入思考圓錐曲線在其他學科領域的應用.師生共同聯想圓錐曲線在冷卻塔、行星移動軌跡、衛星天線方面的應用，啟發學生感受幾何知識在生產實踐中應用的廣泛性.

【設計意圖】巧妙設計的課堂引導語，鼓勵學生緊密圍繞數學問題的本質進行思考.教師應保證設計的數學課前導入問題直接關系到“本原性”的圓錐曲線基本概念及其原理等內容，為學生歸納圓錐曲線的共同特征打下堅實基礎.教師還要充分利用融媒體工具，為學生播放短視頻等背景知識資料，著重培養學生探索圓錐曲線“本原”理論的熱情，同時致力于降低數學理論知識的理解難度.

問題"請同學們結合圓形、直線等學過的圖形，嘗試歸納圓錐曲線的幾何性質.

師生活動：師生明確采用坐標法可以進行程序化的、精確的計算，研究思路為“定義—建系—方程—性質—應用”.

【設計意圖】教師應突破僵化的數學教學模式，直接針對圓錐曲線的數學問題本質設置疑問，啟發學生從整體角度入手，做到準確把握圓錐曲線問題的核心思想.教師還要靈活采用“坐標研究法”，增強學生在數學問題歸類分析中的邏輯性，有效防止學生盲目探究數學問題.

2.2"數學探究，抽象特征

問題"大家知道用什么工具可以畫出一個橢圓形嗎？我們平時生活中常見的橢圓形主要有哪些物體？

師生活動：學生舉例說明生活中見過的橢圓，教師引導學生用“拉線作圖法”畫橢圓，探究問題“現有指定長度的一條細繩，我們將這條細繩的兩端固定于圖板，然后利用繩子、鉛筆將其拉緊.在此基礎上，請同學們設想筆尖移動畫出的軌跡是什么數學圖形？如果將細繩的兩端移動開一定的長度，然后在圖板的兩側分別將其固定，然后再利用繩子、鉛筆將其拉緊，那么我們能夠畫出怎樣的曲線？它代表什么樣的數學圖形”.

將問題進一步規范化為“取一條定長的細繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點，套上鉛筆，拉緊繩子，

移動筆尖，這時筆尖（動點）畫出的軌跡是一個圓.如果把細繩的兩端拉開一段距

離，分別固定在圖板的兩點F1，F2，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是

什么曲線？在這一過程中，移動的筆尖（動點）滿足的幾何條件是什么”.

經過以上探究，師生共同得出如下圓錐曲線的定義：假設｜MF1｜，｜MF2｜都屬于變量，那么某一動點M在兩點之間移動形成的圖形即為“圓錐曲線”.師生還能夠得出如下結論：動點M到兩個定點F1，F2的距離之和為常數，即｜MF1｜+｜MF2｜是常數；類比三角形兩邊之和一定大于第三邊，可得｜MF1｜+｜MF2｜gt;｜F1F2｜.

【設計意圖】學生對于“橢圓”這種幾何圖形的特征及性質若要予以深刻理解，則需要建立在深入展開課堂探究的基礎上.教師在循序漸進的教學理念下，采取逐步加深數學課堂指導的做法，將數學問題作為驅動課堂進展的載體；為確保學生重新審視圓錐曲線的數學性質，主要采取分解數學問題的模式，并將其作為驅動學生數學思維的關鍵因素.按照循序漸進、逐層遞進的基本教學思路，能夠培養學生在分析圓錐曲線問題過程中的抽象思維.

2.3"數學體悟，概括要義

問題"你能類比圓的定義用精準的數學語言給出橢圓的定義嗎？

師生活動：啟示學生自主定義數學圖形中的“橢圓形”，并引導學生運用數學語言加以描述.

學生經過自主分析得出如下結論：

①當｜MF1｜+｜MF2｜等于兩定點間的距離｜F1F2｜時，點的軌跡是線段F1F2；

②當｜MF1｜+｜MF2｜小于兩定點間的距離｜F1F2｜時，點的軌跡不存在.

定義：平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫

作橢圓.這兩個定點叫作橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫作橢圓的焦距，焦距

的一半稱為半焦距.

師生活動：利用希沃白板等教學工具，啟發學生建構雙球模型，并將其用于展示橢圓形的數學特性.教師可設計數學問題“我們在物理課堂上學過焦距的概念，那么大家知道橢圓形以及相關的數學圖形也有焦距嗎？這些數學圖形的焦距與物理學意義上的焦距有著怎樣的區別呢”.

【設計意圖】側重培養學生利用數學語言來表達、描述數學圖形性質的能力，指導學生通過提煉、抽象得到數學圖形的本質；啟發學生利用紙片、尺子等工具，嘗試制作橢圓形等常見的圓錐曲線圖形，并引導學生回歸本原性的數學理論知識.

本原性問題：你能回顧圓的標準方程的推導方法與步驟，猜想并嘗試建立橢圓的方程嗎？結合我們學過的圓形的數學計算公式，大家猜想橢圓形這種圓錐曲線圖形的弦長、面積應該如何計算？

師生活動：師生共同經歷“建立適當的平面直角坐標系—設曲線上任意一點的坐標為M（x，y）以及給出相應各點的坐標—尋找點 M（x，y）的限制條件P（M）—將坐標代入條件P（M），列出方程—簡化方程—檢驗方程”的探究過程.在此基礎上，教師鼓勵學生探索橢圓的計算公式，引導學生充分利用直角坐標系等數學計算工具，經過推演得到橢圓的弦長、面積等數學計算結論.

【設計意圖】緊密圍繞學生在數學探究能力方面的差異性，采用本原性引導的做法，啟示學生聯想并描述“圓錐曲線”的內涵.在此基礎上，結合“坐標法”來歸納、判斷數學問題的根本性質，促使學生逐漸養成良好的數學邏輯思維，注重培養學生的數學建模意識以及數學邏輯思維.

3"結語

本原性問題驅動的數學教學模式既能夠支持學生獨立探索知識，又能保證學生在數學教師的指引下體會數學問題蘊含的邏輯線索.在圓錐曲線的教學實踐中，教師應當采取行之有效的做法，支持學生在理解圓錐曲線理論知識的前提下不斷深入思考，并能夠聯系社會生活經驗來分析、解決問題.教師還要靈活應用數學思維導圖等形式，啟發學生建構多維度的知識網絡體系，著重培養學生獨立分析圓錐曲線問題的能力.

參考文獻

［1］段良利.多視角解題反思，促運算素養發展——圓錐曲線點對稱問題的解題［J］.數理天地（高中版），2024（23）：62-63.

［2］王志剛，張文蘭，劉旭亮，等.大概念統領下高中數學單元教學建構——以“圓錐曲線的方程”教學為例［J］.中學數學教學參考，2024（31）：63-66.

［3］張茜.高中數學結構化教學設計中直觀想象力的培養——以“圓錐曲線的方程”單元為例［J］.試題與研究，2024（31）：1-3.