“整合”教材例習(xí)題，搭建學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)鏈

摘要：教材是教學(xué)的重要依據(jù)，是學(xué)習(xí)的主要工具.文章從“同類習(xí)題生長提煉、形似習(xí)題串珠成鏈、通法習(xí)題璧合珠連、關(guān)聯(lián)習(xí)題重構(gòu)凝煉”四個(gè)方面入手，實(shí)施“聯(lián)網(wǎng)知識結(jié)構(gòu)、擴(kuò)閾方法結(jié)構(gòu)、構(gòu)筑經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)、深化思維結(jié)構(gòu)”的結(jié)構(gòu)化視角下的教材習(xí)題整合策略.

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)化；教材習(xí)題；整合

教材在教學(xué)中的重要性不容忽視，它不僅是知識傳遞的基礎(chǔ)，更是教學(xué)評估的重要依據(jù).目前部分教師在講授教材習(xí)題時(shí)就題論題，缺少整體觀下的知識建構(gòu)和路徑歸納，這些碎片化的學(xué)習(xí)導(dǎo)致學(xué)生缺乏系統(tǒng)性的思維訓(xùn)練，缺失對數(shù)學(xué)本質(zhì)的學(xué)習(xí).

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“課程內(nèi)容組織，重點(diǎn)是對內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系.”[1]結(jié)構(gòu)化視角下的初中數(shù)學(xué)教材習(xí)題整合，就是以單元整體為方向，結(jié)構(gòu)化為核心，驅(qū)動性問題為支架，對教材習(xí)題進(jìn)行重組，在知識的建構(gòu)-解構(gòu)-優(yōu)構(gòu)過程中，提升學(xué)生整體觀下的系統(tǒng)性思維和能力.

1 整合策略

筆者立足結(jié)構(gòu)化視角，提出“同類習(xí)題生長提煉，聯(lián)網(wǎng)知識結(jié)構(gòu)；形似習(xí)題串珠成鏈，擴(kuò)閾方法結(jié)構(gòu)；通法習(xí)題璧合珠連，構(gòu)筑經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)；關(guān)聯(lián)習(xí)題重構(gòu)凝煉，深化思維結(jié)構(gòu)”四個(gè)方面的整合策略并進(jìn)行實(shí)踐思考，致力于讓初中數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)產(chǎn)生實(shí)踐意義.

1.1 同類習(xí)題生長提煉，聯(lián)網(wǎng)知識結(jié)構(gòu)

在傳統(tǒng)的教學(xué)過程中，教師往往只注重對課本知識的講解，而忽略了學(xué)生對知識結(jié)構(gòu)的整體把握.這導(dǎo)致了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中缺乏系統(tǒng)性和連貫性.教師可以將課本同類習(xí)題進(jìn)行歸納和整理，以同類習(xí)題的重組生長為路徑，幫助學(xué)生感受知識之間的聯(lián)系，進(jìn)而建立起更加完整的知識結(jié)構(gòu).

案例1 同類習(xí)題

題1 （浙教版九年級上冊第135頁例3）已知：如圖1，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，且AD/AB=AE/AC.求證：DE∥BC.

題2 （浙教版九年級上冊第135頁課內(nèi)練習(xí)第2題）如圖2，點(diǎn)D為△ABC的邊AC上一點(diǎn)，若要使△ABD與△ACB相似，可添加什么條件？你有幾種不同方法？

題3 （浙教版九年級上冊第136頁作業(yè)題第2題）已知，如圖3，AB與CD交于點(diǎn)O，且AO/BO=CO/DO，求證：AC∥BD.

題2雖是開放式，但也只是就本課時(shí)的內(nèi)容做了適當(dāng)開放，為了讓學(xué)生感悟相似的基本圖形之間的聯(lián)系，整體理解不同條件下采用的判定方法也不同，筆者進(jìn)行如下習(xí)題教學(xué).

問題 如圖4所示，變換直線MN的位置，使其與△ABC的邊或邊的延長線相交，構(gòu)建一個(gè)與△ABC相似的三角形，說說你的方法和理由.

師生活動：學(xué)生通過改變直線MN的位置，畫出了以下不同的圖形，并描述了每種圖形判定相似的方法.

（1）當(dāng)DE∥BC時(shí)，△ADE∽△ABC，如圖5；

（2）當(dāng)∠DAE=∠CAB，AD/AC=AE/AB時(shí)，△ADE∽△ACB，如圖6；

（3）當(dāng)∠ADC=∠ACB時(shí)，△ADC∽△ACB，如圖7；

（4）當(dāng)DE∥BC時(shí)，△ADE∽△ACB，如圖8；

（5）當(dāng)∠ADE=∠ABC時(shí)，△ADE∽△ABC，如圖9.

除了相似的判定，教材中還有很多利用相似的性質(zhì)求角和邊的問題，通過對比研究不難發(fā)現(xiàn)，這些基本圖形貫穿始終.

題4 〔浙教版九年級上冊第130頁作業(yè)題第4題（2）〕如圖10，在下面兩組圖形中，每組的兩個(gè)三角形相似，a表示已知數(shù)，試分別確定α，x的值.

題5 （浙教版九年級上冊第130頁作業(yè)題第5題）如圖11，已知△ABC∽△ACD，點(diǎn)D在AB上，已知AC=3 cm，AD=2 cm，求AB的長.

教材中的這兩道題依舊是在上文總結(jié)的基本圖形中計(jì)算，筆者延續(xù)上文的探索，繼續(xù)設(shè)置了如下思考與追問.

思考：如圖12，若△ADE與△ABC相似，你能根據(jù)圖中的信息求出BC的長和∠B的度數(shù)嗎？

追問：在問題解決的過程中，涉及了相似三角形的哪些知識？你能用結(jié)構(gòu)圖梳理一下嗎？

師生活動：通過小組合作，學(xué)生呈現(xiàn)下面的結(jié)構(gòu)圖，如圖13.

教學(xué)分析：通過設(shè)置開放式問題，學(xué)生在多種畫法中自主構(gòu)建基本圖形.通過這樣的習(xí)題設(shè)計(jì)，學(xué)生不僅學(xué)會了基本圖形，還掌握了探索基本圖形的方法，發(fā)展其幾何直觀和推理能力.

將教材不同課時(shí)有關(guān)聯(lián)的習(xí)題通過重新優(yōu)化整合，既體現(xiàn)了整體性教學(xué)的原則，又促進(jìn)了學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)的能力.

1.2 形似習(xí)題串珠成鏈，擴(kuò)閾方法結(jié)構(gòu)

教材習(xí)題中有很多圖形類似的題，這些習(xí)題可以是同一課時(shí)，也可以是不同課時(shí)、不同章節(jié)但有相似的內(nèi)涵和外延的題目.

案例2 形似習(xí)題

題1 （浙教版九年級上冊第133頁作業(yè)題第2題）如圖14，在△ABC中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB于點(diǎn)D.試寫出圖中的相似三角形.

題2 （浙教版九年級上冊第133頁作業(yè)題第5題）如圖15，等腰三角形ABC的頂角∠A=36°，BD是∠ABC的平分線.判斷點(diǎn)D是不是線段AC的黃金分割點(diǎn)，并說明理由.

這兩道題均涉及了一種特殊的相似關(guān)系，形似但又有區(qū)別，題1涉及直角三角形，題2涉及一類特殊的等腰三角形.筆者結(jié)合條件的生長設(shè)置驅(qū)動性問題，幫助學(xué)生積累提出問題、解決問題的經(jīng)驗(yàn).

問題 如圖16，若∠ACB=∠ADC=90°，圖中有幾對相似三角形？可以得到哪些比例關(guān)系式？

師生活動：學(xué)生先畫出符合條件的圖形，如圖17，想到三組相似.

追問1：圖形經(jīng)歷了怎樣的變化？結(jié)論又有什么區(qū)別？

師生活動：學(xué)生從角的角度解釋圖形為從一般到特殊的關(guān)系，并且當(dāng)角度設(shè)置為90°時(shí)，圖形有三組相似.

追問2：若圖16中的三角形均為等腰三角形，圖中有幾對相似三角形？當(dāng)AB=10，則CD的長度為多少？

師生活動：學(xué)生先畫出符合條件的圖形，如圖18，結(jié)合等腰三角形邊的等量關(guān)系，采用設(shè)元法，利用相似三角形邊的比例關(guān)系建立方程.

追問3：若將∠A改為鈍角，圖形又有什么變化？如圖19，當(dāng)AB=10，則CD的長度為多少？

師生活動：由圖16到圖18、圖19是將邊特殊化的過程，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，雖然圖形變了，但求邊長的方法不變.

教學(xué)分析：通過將圖形不斷特殊化，學(xué)生明確了形似圖形之間存在內(nèi)在的關(guān)聯(lián)，這些關(guān)聯(lián)的知識在學(xué)生的腦海中“串成珠，橫成鏈”，最終建立方法結(jié)構(gòu).

1.3 通法習(xí)題璧合珠連，構(gòu)筑經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)

教材中有很多問題相似、方法相通的問題，教師可創(chuàng)設(shè)實(shí)際情境，創(chuàng)造性地設(shè)置階梯問題，學(xué)生在經(jīng)歷從解題到解決問題轉(zhuǎn)變的同時(shí)，還能在多層次、多角度的問題中感悟通性通法，構(gòu)筑經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu).

案例3 通法習(xí)題

題1 （浙教版九年級下冊第24頁例6）如圖20，測得兩樓之間的距離為32.6 m，從樓頂點(diǎn)A觀測點(diǎn)D的俯角35°12′，點(diǎn)C的俯角為43°24，求這兩幢樓的高度（精確到0.1 m）.

題2 （浙教版九年級下冊第25頁作業(yè)題第2題）小玲家對面新造了一幢圖書大廈，小玲在自家窗口測得大廈頂部的仰角和大廈底部的俯角（如圖21所示），量得兩幢樓之間的距離為32 m，問：大廈有多高？小玲家又有多高（結(jié)果精確到1 m）？

題3 （浙教版九年級下冊第26頁作業(yè)題第4題）如圖22，從點(diǎn)A看一山坡上的電線桿PQ，觀測桿頂端點(diǎn)P的仰角是45°，向前走6 m到達(dá)B點(diǎn)，測得桿頂端點(diǎn)P和桿底端點(diǎn)Q的仰角分別是60°和30°，求該電線桿PQ的高度（精確到0.1 m）.

上述三個(gè)問題背景相似，且剛好覆蓋了兩類常見的基本圖形，在不同點(diǎn)看同一點(diǎn)（如圖23），在同一點(diǎn)看不同點(diǎn)（如圖24），題3可看作兩類基本模型的整合（如圖25），三個(gè)問題的解法有相通之處，又層層遞進(jìn)，基于上述分析，教師可拋出一個(gè)新情境作為項(xiàng)目化探索.

任務(wù)目標(biāo)：測算發(fā)射塔的高度.

背景素材：某興趣小組在一幢樓房窗口測算遠(yuǎn)處小山坡上發(fā)射塔的高度MN，如圖26，他們通過自制的側(cè)傾儀（如圖27）在兩個(gè)位置觀測，第一個(gè)觀測位置位于2樓的點(diǎn)B處，第二個(gè)觀測位置位于5樓的點(diǎn)A處，每層樓高4 m（墻體厚度忽略不計(jì)），側(cè)傾儀上的示數(shù)如圖28所示.

問題解決：

任務(wù)一：計(jì)算A，B兩點(diǎn)間的距離，并寫出兩處觀測角的正切值.

任務(wù)二：計(jì)算樓與發(fā)射塔之間的水平距離.

任務(wù)三：計(jì)算發(fā)射塔的實(shí)際高度.

教學(xué)分析：教學(xué)過程中，學(xué)生讀取示數(shù)進(jìn)而寫出觀測角的正切值，體現(xiàn)了用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界.三個(gè)任務(wù)層層遞進(jìn)，不僅將課本涉及的三類基本問題進(jìn)行整合，又能彰顯計(jì)算方法的相通之處.因此，數(shù)學(xué)的解題不僅是解決一個(gè)問題，更是教給學(xué)生一種思考問題的方式，打通知識內(nèi)部的聯(lián)系，將零碎的知識結(jié)構(gòu)化，總結(jié)解決問題的通性通法，積累解題活動經(jīng)驗(yàn).

1.4 關(guān)聯(lián)習(xí)題重構(gòu)凝練，深化思維結(jié)構(gòu)

案例4 關(guān)聯(lián)習(xí)題

題1 （人教版八年級上冊第82頁第2題改編）在如圖29所示的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，請你在網(wǎng)格中畫△ABD，使△ABD與△ABC全等，且點(diǎn)D與C不重合，你能畫出多少個(gè)？

師生活動：學(xué)生找出全等不難，難在找全.教師引領(lǐng)學(xué)生總結(jié)歸納，并點(diǎn)明將三角形進(jìn)行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)變換后，所得三角形都與原三角形全等.

題2 （浙教版八年級下冊第127頁作業(yè)題第4題）已知：如圖30，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，AE⊥BF.求證：AE=BF.

師生活動：本題借助正方形背景，問題的本質(zhì)依舊是構(gòu)造并證明全等三角形，若將圖30變式為圖31，引導(dǎo)學(xué)生觀察異同點(diǎn)，并思考證明路徑的相同之處，學(xué)生易發(fā)現(xiàn)通過平移轉(zhuǎn)化為圖31.

追問：若F是CD的中點(diǎn)，如圖32所示，證明DG=DA，并求sin∠GDA=_________.

師生活動：構(gòu)造輔助線，如圖33，容易證明圖中除△DGH之外，剩下的三角形都相似，而且相似比都是1∶2∶5，通過計(jì)算可以知道sin∠GDA=4/5.

教學(xué)分析：筆者將教材中習(xí)題涉及到的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)方式聯(lián)系到正方形全等問題中，并借助平移的理念將特殊情形變式為一般情形，由易到難，層層遞進(jìn)，設(shè)計(jì)驅(qū)動性問題，旨在讓學(xué)生加強(qiáng)理解知識的關(guān)聯(lián)，培養(yǎng)融會貫通的能力，拓展學(xué)生思維活動的深度和廣度，進(jìn)一步深化思維結(jié)構(gòu).

深度學(xué)習(xí)提倡知識、方法的關(guān)聯(lián)和轉(zhuǎn)化，打破教材中縱向知識和橫向知識之間的壁壘，使知識之間實(shí)現(xiàn)了縱橫交融，把一個(gè)個(gè)知識串聯(lián)起來組成結(jié)構(gòu)群[2].筆者以教材習(xí)題為基石，對教材中的同類習(xí)題、形似習(xí)題、通法習(xí)題、關(guān)聯(lián)習(xí)題進(jìn)行整合重組，旨在引導(dǎo)師生復(fù)習(xí)備考時(shí)要關(guān)注教材，重視教材經(jīng)典習(xí)題的應(yīng)用.

2 策略闡述

2.1 立足教材緊扣課標(biāo)

教師組織課堂教學(xué)要以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》為出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)，必須以教材上的知識點(diǎn)為根本.教材例習(xí)題有很多經(jīng)典題型，很多中考題也都能在教材中找到原型，教師不管進(jìn)行怎樣的教學(xué)創(chuàng)新，都要從教材知識點(diǎn)和例習(xí)題出發(fā)，深入探究可以拓展哪些知識以及怎樣拓展[2].

2.2 整體理念建構(gòu)體系

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：從課程內(nèi)容組織到教學(xué)建議都強(qiáng)調(diào)教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化整合，整體把握教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)[1].教師可以打破原來單純的講題模式，以教材經(jīng)典習(xí)題為載體，以建構(gòu)為核心，關(guān)聯(lián)為導(dǎo)向，驅(qū)動性問題為支架，在變式拓展中揭示知識之間的聯(lián)系，形成知識、方法、經(jīng)驗(yàn)、思維的結(jié)構(gòu)化體系.

2.3 深度學(xué)習(xí)培育素養(yǎng)

培育素養(yǎng)需要教師轉(zhuǎn)變教學(xué)方式，從傳統(tǒng)的知識傳授轉(zhuǎn)向引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí).教育者需要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，通過設(shè)置驅(qū)動性問題，鼓勵(lì)學(xué)生主動探究、思考、實(shí)踐，這種在數(shù)學(xué)學(xué)科的整體視角下建立關(guān)聯(lián)性結(jié)構(gòu)群，能讓學(xué)生以深層次思維解決“萬變”的生活實(shí)際問題[3].

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)，2022.

[2]吳華君.立足教材夯實(shí)四基 拓展延伸提升素養(yǎng)——以源于課本習(xí)題的中考題為例[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2023（5）：36-38.

[3]汪小蓮，馬振華.基于核心素養(yǎng)的幾何單元整體教學(xué)實(shí)踐研究——以“相似三角形”單元為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2022（8）：29-31，53.