聚焦典型問題 關注結構生成 提升復習質量

摘要：單元復習教學要關注數學知識的內在聯系，將本單元零散的知識點串珠成線，結成網，并將本單元知識置于數學體系中，建立起知識的上下聯系，促進知識結構化、認知結構化、方法結構化.通過重組教學內容，設計“典型問題”，借助問題驅動，在應用知識的同時，幫助學生完善知識的自我構建、提升核心素養、培養關鍵能力.

關鍵詞：結構化教學；典型問題；一次函數；單元復習

《義務教育數學課程標準（2022版）》在“教學建議”中指出：“對內容進行結構化整合”“幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學體系”[1].復習課的一個重要功能就是建構知識體系，因此單元復習課更要注重結構化教學，關注知識的內在聯系.

問題是數學的心臟，數學的靈魂是數學問題[2].單元復習課為了避免單純知識點的簡單羅列，實現結構化教學，就離不開問題的驅動，通過“問題引領”回顧梳理知識點，建構知識的關聯，形成對知識的整體理解.借助“典型問題”的解決，探究數學本質，領悟數學思想方法，豐富數學活動經驗，促進知識和方法結構化.這里提到的“典型問題”是指從數學知識的整體建構出發，對單元復習起著統領作用的關鍵數學問題，它指向問題的數學本質，體現本單元核心知識，通過遞進、變式、引申、逆變等方式生長出具有邏輯關聯環環相扣的問題鏈，從而串聯本單元知識點[3].那么，如何設計“典型問題”，進而有效地驅動知識回顧和問題解決，破解單元復習碎片化和課堂題海這兩大現實問題呢？下面以滬科版第12章“一次函數”單元復習為例進行說明.

1 教學過程

1.1 問題引領，建構聯系

問題1 談談你對y=-1/2x+3的認識，可以得到哪些信息？能提出哪些問題？

教學簡述：鼓勵學生動手操作，大膽發言.在教師引導下能得到以下信息或問題.

（1）它是一次函數;（教師追問：什么是一次函數？它的圖象是什么？）

（2）可以畫出它的圖象;（教師追問：如何畫一次函數圖象？用到了什么思想？）

（3）圖象經過第一、二、四象限，y隨x的增大面減小;（教師追問：怎樣判斷增減性？）

（4）可以求出與直線x軸y軸圍成三角形的面積;（教師追問：如何求？）

（5）借助圖象可以求方程-1/2x+3=0的解，可以求出-1/2x+3gt;0的解集；

（6）如果把直線y=-1/2x+3向下平移3個單位長度就得到y=-1/2x的圖象……

教師根據追問和學生的發言，適時板書出相應的知識點，問題處理完后，將這些零散的知識點按照它們內在的邏輯關系串起來，形成本章的知識結構，如圖1所示.

設計意圖：教師不是簡單通過羅列知識點“炒冷飯”的形式進行復習，而是根據學生已有認知，設置開放性問題，在教師適時的提問下，讓學生從顯性知識到隱形思維層層深入，驅動學生對整個單元的學習內容進行梳理、整合、重組，將學生頭腦中零散的知識點系統化、結構化.學生在對本章知識回憶再認識的基礎上，通過回顧本章的學習路徑將知識點串成線結成網，建構清晰而明確的知識網絡，并呈現本章知識結構圖（如圖1）.本環節通過開放性問題的設置，激發學生參與探究的熱情，對學生的復習起到“知識再建構”的作用，同時提高單元復習課“知識梳理階段”的學習效能.

1.2 典例探究，遞進拓展

問題2 如圖2，直線l1：y1=-1/2x+3與直線l2：y2=kx+b交于點P（3，m），l2與x軸交于點（2，0）.

（1）求直線l2的函數表達式y2；

（2）直接寫出y=-12x+3，y=kx+b的解；

（3）當y1gt;y2時，求x的取值范圍；

（4）當0lt;y1lt;y2時，求x的取值范圍.

教學簡述：以問題1為生長點，在平面直角坐標中呈現l1，l2兩條直線，通過已知解析式y1求交點P的坐標，應用待定系數法求出y2的函數解析式；通過（2）（3）（4）三道題回顧一次函數與二元一次方程組、一元一次不等式（組）的關系.

設計意圖：本環節教學的目的是進一步鞏固和理解前面所建構的知識和方法，在問題1的基礎上，為學生呈現一些多維度的遞進式的探究問題，通過待定系數法求函數解析式，利用函數圖象確定二元一次方程組的解以及求一元一次不等式（組）的解集.教師將相關知識貫穿在一起，從知識、方法、策略三個維度層層遞進，讓學生比較分析，加深對知識的理解，從而建立數形之間的聯系，領悟“從形到數，以形解數”的數形結合思想.

問題3 如圖3，將直線l2向上平移使之經過（0，1）這個點.

（1）求平移后的直線l3的解析式;

（2）求l3與l1的交點坐標.

教學簡述：第（1）問通過平移直線過一點求解析式，理解k的幾何意義和直線上點的坐標的意義，是利用兩點求解析式方法的升級，落實本節課“根據條件求函數解析式”的教學目標.在解決第（1）問時，還可以追問有沒有其他方法求解析式，引導學生通過平移來求解析式，求出l2與y軸的交點坐標，發現對應點的平移規律，得到l3是由l2向上平移4個單位長度得到的，通過“一題多解”拓寬學生思維，對知識達到更深層次的理解.第（2）問是求交點坐標，交點坐標就是聯立函數解析式所得方程組的公共解，訓練學生“以數解形”的方法.

設計意圖：求函數解析式是函數中常見的問題，通過問題（1）中利用多種方法求函數解析式，促使學生多維度思考解題策略，從而加深對一次函數圖象及其性質的理解，并從知識、方法、策略三個層面進行提煉，上升到更高的思維層次，進一步明確求函數解析式所需要的條件和方法，培養學生思維的靈活性和深刻性，使不同的學生得到不同的發展.問題3第（2）問與問題2中第（2）問相呼應，進一步加深對兩直線交點坐標與聯立兩函數解析式所得方程組解的對應關系的理解，從“以形解數”過渡到“以數解形”.

問題4 直線l4：y4=3/2x+m與l1交于點F，當點F在第一象限內時，求m的取值范圍.

教學簡述：教學本題時，教師可以通過問題驅動引發學生思考.

（1）對于y4的表達式，已知什么，未知什么？

（2）k，b分別決定什么？

（3）你能畫出它的圖象嗎？（圖象是運動的，是由y=32x的圖象上下平移得到的.）

（4）可以用什么方法解決？（以形解數，數形結合.）

（5）本題有其他解法嗎？（以數解數，聯立得方程組，用m表示方程組的解，根據x，y均為正，得到m的不等式組求解.）

（6）本題運用了哪些知識點和思想方法？

設計意圖：函數的含參問題對于現階段的學生有一定的難度，在問題3中掌握了平移及k，b的意義的基礎上，也降低了難度，本題是這個知識點的再應用和提升.教師通過問題串引發學生思考，最后借助兩種解法讓學生體會利用函數求解更加形象直觀，有時更加簡便，感悟數形結合的魅力.

問題5 如圖4，l1，l2分別與x軸交于A，B兩點，點M是直線l2上一個動點，過點M作x軸的垂線，交l1于點N.

（1）當MN=AB時，求點M的坐標；

（2）設點M的橫坐標為x，求MN的長度關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

教學簡述：在分析已知條件和所求問題的基礎上，教師提出如下問題.

①AB的長度能否求？（介紹利用坐標求“直線段”長度，為接下來表示MN的長度提供知識基礎.）

②點M在直線l2上移動時，線段MN如何變化？（用幾何畫板演示動畫過程.）

③如何求點M的坐標？運用什么模型解決？（方程模型，引導學生巧設元，建立相等關系.）

④如何表示線段MN的長度？〔引導學生分類討論：當點M在交點P右邊（含交點）時，此時點M在點N上方，MN=yM-yN;當點M在交點P左邊時，此時點N在點M上方，MN=yN-yM.或者直接表示為MN=|yM-yN|.〕

⑤問題③與④有何聯系？

設計意圖：將點的坐標、線段長度與一次函數相結合，是一次函數應用的疑難問題，教師通過四個從簡單到復雜的遞進式提問，在知識的生長中逐步發展學生的思維，幫助學生構建全面的知識網絡.問題5由靜態問題生成動態問題，應用方程、函數模型解決實際問題，從“形”到“數”，將思維引向深入，逐步培養學生建立函數建模的能力，形成數形結合思想和分類討論思想.

1.3 總結歸納，整體建構

問題6 回憶本節課的學習過程.

問題7 描述本章的知識脈絡.

問題8 本節課運用了哪些思想和方法？

問題9 你認為研究函數的一般路徑和方法是什么？

教學簡述：教師通過回憶學習過程、厘清知識結構、總結思想方法、形成研究路徑和方法四個方面，引導學生交流反思，在反思中積累一般活動經驗，通過反思總結形成知識、方法的結構化，最終形成可持續發展的能力.

設計意圖：在數學單元復習課的反思環節，學生不僅要有知識、技能和方法的提升，還要有對知識本質的把握和運用的飛躍.反思時，教師要站在系統的高度對知識進行重構，關注知識與能力方法的延伸性，將本節課的復習置于一個對教材整體把握的地位，體會本階段復習對后續學習的價值，將線索延伸下去.

2 教學思考

2.1 重構知識網絡，明確結構化學習的認知空間

單元復習要立足單元，研讀課標，解讀教材.明確課標對本單元的內容要求，要著眼于數學知識的整體建構，將“零碎的知識”納入到“單元”之中，分析課時內容與本單元、同主題、學科外相關領域內容的關聯，理解知識點、單元、大概念橫向和縱向的關聯，以大概念為統領建構知識結構網，明確結構化學習的認知空間.構建一次函數單元復習的知識結構化路徑可以做好以下兩個方面：

（1）學習路徑的結構化

一次函數單元學習路徑：實際問題—函數概念—一次函數的概念—一次函數的圖象及性質—一次函數與方程、不等式的關聯—一次函數的應用.

（2）知識內容的結構化

函數的研究內容：函數的定義；函數的圖象及性質；函數與方程、不等式的關聯；函數的應用.

2.2 設計典型問題，實現結構化學習自我建構

問題是教學的起點，設計好的問題，將學習任務問題化是提高單元復習效能的有效手段[3].典型問題的選取和整合是此類單元復習具有挑戰性的任務之一，在明晰了單元知識結構的基礎上，還要關注學情，分析研判學生在學習過程中存在的難點、困惑點和易錯點，找到復習學習的真實起點.典型問題的設計應基于數學知識結構上的聯系，設計有層次性、可拓展、可變式、可持續的問題系統貫穿整個學習過程，形成研究序列.通過典型問題層級任務驅動，將碎片化的知識串聯成線，以實現知識點到知識結構再到思想方法的融合，實現知識結構化到認知結構化的自我建構.本課中，通過一個開放性問題梳理本單元的知識聯系，引出本章的知識結構圖.在此基礎上，引入另一條直線，涉及待定系數法、數形結合法將三個“一次”的關系緊密聯系起來.問題3和問題4，化靜為動，平移直線l2使之經過定點來求解析式，以及求與l1交點在第一象限時系數的范圍，通過多解歸一，深刻理解k，b的意義；問題5設置有一定挑戰性的問題，求線段長度的表達式，具有一定的深度和廣度，使學生在經歷探究、交流、質疑等一系列的思維活動中，體會知識的橫向和縱向聯系，發展思維.

2.3 提煉思想方法，發展結構化思維

“從知識結構化到認知結構化的進階”是知識表層上升到學科本質，是學科知識上升到素養的必經階段，伴隨著思維結構化的發展.在具體的實施過程中，通過典型問題“結構化組織”系列學習活動，引導學生將知識點進行橫縱向聯系，形成知識結構，并適時梳理、歸納知識形成過程和數學思想方法，使思想方法得到內化，促進“點（知識點）、線（知識結構）、法（思想方法）”的融合，發展結構化思維[4].本課中，在總結提升階段，主要圍繞回顧學習歷程，總結思想方法及函數的研究路徑和研究方法結構化來歸納，形成解決問題的一般性方法，發展高階思維.

（1）知識方法結構化

“一次函數”單元復習知識方法結構化如表1：

（2）研究方法結構化

實際問題→函數概念：利用抽象歸納的方法得到函數的概念；

函數→一次函數：從一般到特殊；

一次函數圖象→性質：先研究正比例函數的圖象及性質，由簡單到復雜，數形結合得到一次函數的性質；

一次函數性質→應用：函數建模、數形結合、化歸思想、方程思想等.

3 結語

單元復習課要關注數學學科的整體系統性、結構關聯性，通過典型問題的整合設計、層級任務的驅動，引領學生經歷整體關聯的結構化學習活動，自主建構知識結構體系，促進結構化思維的發展，提升核心素養，培養關鍵能力.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]胡連成.“情境—問題—思維”視角下的問題鏈教學[J].中學教研（數學），2023（3）：1-5.

[3]薛鶯.知識建構：由任務轉向問題——以“圓”單元后建構復習課的問題鏈設計為例[J].中國數學教育，2023（7）：61-64.

[4]程龍軍，汪詩超.基于問題驅動的“隨機事件的概率”單元復習教學設計[J].數學通訊，2022（21）：8-11，36.