一元二次方程的根與系數的關系引入方式的比較研究

摘要：對于同一個概念，每位教師的引入方式不盡相同.比較一元二次方程根與系數關系的兩種不同引入方式，設計更合理、更自然的概念引入方式.

關鍵詞：情境；根與系數的關系；引入方式

初中教師普遍忽視一元二次方程的根與系數的關系的教學.《義務教育數學課程標準（2011年版）》中將這部分內容作為選學內容，不在考試范圍之內，蘇教版《（義務教育教科書）教師教學用書》也建議在教學上不必做過多的拓展和探究，僅供部分學生選學和探究.《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）中在內容要求上去掉了“”，調整為了解一元二次方程的根與系數的關系[1]，在教學提示上明確要求了要教到什么程度，附錄例67中還以實例呈現，為一線教師怎么教指明方向.

從知識的完整性角度出發，該內容要求能通過系數表示方程的根，當然也能用方程的根表示系數，承上啟下作用明顯；從初高中銜接角度，高中不會涉及一元二次方程的根與系數的關系的發現、探究、證明過程，更多的是用其解決相關問題.因此，初中如何開展一元二次方程的根與系數的關系的教學就顯得尤為重要.

1 “根與系數關系”的不同情境引入方式

1.1 教學設計一

問題1 已知矩形的長和寬分別是方程x²-123x+456=0的兩個實數根，求這個矩形的周長和面積.

設計意圖：公元前1600年的古巴倫數學泥板BM13901上，就記載了這樣的問題——正方形的面積減去邊長等于870，求邊長.我國的《九章算術》中也有關于城池大小的“邑方問題”的求解.現如今，教者又賦予其新的生長點和立足點，符合《標準》中強化情境設計與問題提出的要求.學生已學習過一元二次方程的解法，可此方程的系數較大，不能快速求出方程的根，也就解決不了情境問題，由此引發學生思考，能否不解方程直接求矩形的周長和面積，即直接求兩根之和與兩根之積.在引入本節內容的同時，讓學生理解“數學來源于生活”，又激發學生對本節內容的探究興趣.

問題2 填寫表1并觀察，猜想二次項系數為1時，方程的根與系數的關系.

設計意圖：由于問題1的方程計算難度大，因此問題2中設置兩個二次項系數為1的方程，讓學生去探究發現根與系數的特殊結論，再推廣到形如x2+px+q=0的一般情況，滲透從特殊到一般的數學思想.教者始終著眼于學生的“最近發展區”，給學生創造生長的平臺，讓學生的思維活起來.

問題3 填寫表2并觀察，猜想二次項系數不為1時，方程的根與系數的關系.

設計意圖：啟發學生用系數表示兩根之和與兩根之積的一般規律，培養大膽猜想、歸納推理的能力，引導學生感悟符號表達對于數學發展的作用，為后面的證明做鋪墊.從二次項系數為1的的方程到一般式方程，體現從具體到抽象、從特殊到一般的數學思維方法，都是積累數學抽象的活動經驗、培養數學抽象素養的很重要教學素材[2].

1.2 教學設計二

問題1 解方程：x²-5x-6=0.

設計意圖：根據蘇科版九年級上冊（2013版）教材的編排，一元二次方程的根與系數的關系在一元二次方程的解法之后，此方程用配方法、公式法、因式分解法都可以解決，兼顧不同層次的學生，激活學生思維，活躍課堂氣氛.讓學生根據不同的解法體會幾種解法之間的相互聯系和區別，厘清解一元二次方程的本質是通過“降次”將一元二次方程“轉化”為一元一次方程求解，從式的結構上講是將ax²+bx+c=0（a≠0）轉化為A×B=0（或A²=m）的形式，為下面的學習做好鋪墊.

問題2 已知關于x的方程x²+bx+c=0兩根分別為2+1，2-1，求b，c的值.

設計意圖：問題2選自蘇科版教材本節的習題.學生的求解方式基本上是直接代入構造方程組求解，由于兩根分別為2+1，2-1，代入求解計算量較大.從求根公式可以得到一元二次方程的根是由方程的系數決定的，反之亦然.學生已經有這方面的活動經驗，如（a+b）（a-b）=a²-b²，從左到右是整式乘法，從右到左是因式分解，再如5³=125是已知底數和指數求冪，3125=5是已知冪和指數求底數.現在已知方程的兩根，未知的是一次項系數和常數項，那么根與系數會存在怎樣的關系？由于兩根的的特殊性，學生容易觀察、猜想得到x₁+x₂=-b，x₁x₂=c，然后根據不同形式的一元二次方程進行探究，課堂自然生長.學生也可根據方程的式結構，構造方程比較系數即可得到b，c的值.事實上，代入計算各項系數的過程，也是韋達代入方程兩根利用相減法證明根與系數關系的精髓.問題2的引入，不僅能夠體現研究根與系數關系的必要性，也為后續根與系數關系的證明、高次方程根與系數關系的研究提供了思路.

2 兩種引入方式的比較分析

2.1 同中辨異

創設情境是課堂教學中最常見的環節.

教學設計一從生活實際構造問題情境，學生在感受解方程的局限性中體會研究根與系數的關系的必然性和合理性，再通過探究二次項系數為1到系數不為1的一元二次方程的根與系數的關系，得到根與系數關系的一般結論.

教學設計二從知識內部構造問題情境，通過研究解方程的本質，由根來逆向求解系數，打破學生固有的思維模式，突破常態進行思考和解決問題.突出根與系數有著密不可分的關系，加深學生對本節內容的理解.

教學設計一是在將實際問題轉化為數學問題的過程中，培養學生數學化的能力.教學設計二著力于培養學生的方程意識，滲透研究數學對象的遷移方法，幫助學生建立知識間的聯系.可以說，兩種引入方式，各有千秋，各有各的作用.

2.2 異中求同

通常來說，對于“一元二次方程的根與系數的關系”的教學，最便捷的教學方法是快速找到一元二次方程兩根之和、兩根之積與系數的關系，然后以較多的實踐來進行形成性、鞏固性、拓展性的練習和強化訓練[3]，蘇科版教材也是這樣呈現的.知識的發現和發展過程容易被忽視，從而造成教學重難點的轉移.

這兩種情境引入的設計都充滿探究性，由一個問題到另一個問題，制造學生的認知沖突，體現研究根與系數關系的必要性；都以問題串的形式呈現，層層遞進，設計具有生活性、探究性和思維性；都經歷了新概念的發生發展過程，即通過具體的根與系數關系抽象出一般結論.基于學生為主體的理念，引導學生積極主動地參與課堂，促進素養的落地生根.

3 教學思考

3.1 創設真實情境，指向有效教學

數學情境首先應該是數學的.一個好的生活化教學情境，它的價值不應僅局限于引出課題，還在于讓學生在思考解決這個情境所蘊含的數學問題的過程中，經歷由生活化問題抽象出數學問題的數學化過程，感悟抽象思想與模型思想，以提高發現問題與提出問題的能力，感受數學與生活的緊密聯系，更在于激發學生運用已有的知識及經驗去努力解決所得到的數學問題的興趣，以提高分析問題與解答問題的能力.在分析問題與解答問題的過程中，當學生發現所學習過的知識、所具有的經驗均無法順利解答時，則被迫學習新的知識與方法.此時的新知，是在“憤”與“悱”狀態下去學習的，因而其學習的興趣被激發，學習的主動性就會提高，學習的效率自然提升.

教學設計一中，問題1的方程，人為設計的痕跡明顯，真實性有待考證.《標準》也多次提及“真實情境”.可以做如下嘗試：已知矩形的長和寬分別是方程x2-8x+2=0的兩個實數根，求這個矩形的周長和面積.設置兩個層次，第一層次：將方程變為x²-8x+3=0，x²-8x+4=0，x²-8x+5=0……方程在變化，解也在變化，但矩形的周長與一次項系數不變，即兩根之和與一次項系數有關系；第二層次：將方程變為x²-8x+10=0，x²-9x+10=0，x²-10x+10=0……方程在變化，解也在變化，但矩形的面積與常數項不變，即兩根之積與常數項有關系.這樣的問題情境更自然、合理.

3.2 激活已有經驗，助推目標達成

數學情境除了來自現實生活外，還可以根據數學知識的內在邏輯聯系，通過“以舊引新”的形式被創設出來.這里的舊知，并不是簡單的復習舊知，而是要深入挖掘新知與舊知間的內在邏輯關系，運用已有知識經驗主動探索新知的自我認同的學習過程，是對已有數學知識及認知經驗的同化與順應.

教學設計二的問題2中，提供的兩根雖然有聯系，但有一定難度，學生不容易想到.教學中可以將問題2分解，做如下嘗試：寫出一個一元二次方程使得兩根分別是-1，2；兩根分別是x₁，2；兩根分別是x₁，x₂.學生基于對問題1解方程的認識，可以根據方程的式結構將ax²+bx+c=0（a≠0）化為a（x-x₁）5（x-x₂）=0（a≠0），從而解決問題的同時，也能通過比較系數法得到根與系數關系的一般規律.這樣的分層設計，由數到式，由簡到繁，逐層深入，順勢而為.

3.3 重溫發展歷史，多元概念引入

數學作為一門具有悠久歷史的學科，具有自身獨特的豐富數學史、數學美的文化價值.教學時，利用這些資源來創設問題情境，可以讓學生從數學發展的歷程上去整體認識數學，加深對當下學習的數學知識及方法的整體性理解.更重要的是讓他們從中體驗數學家概括數學概念的心路歷程，領悟用數學的觀點看待和認識世界的思想真諦[4].

根與系數的關系從起源、發現、完善、證明到推廣跨越了幾百年，許多數學家都為它的證明作出了貢獻.教學時可以從不同視角對情境引入進行再設計.如可以讓學生收集、閱讀相關的歷史文獻資料，課堂以匯報或短視頻的形式展示；按照歷史上證明“一元二次方程根與系數的關系”的幾種方法的順序進行教學，由易到難地引導學生開展探究式數學學習活動.只有了解根與系數關系的“前世今生”，才能更好地揭示其產生的合理性和必然性，經歷其探究發現、證明完善的歷史演化進程，有助于形成動態數學觀，賞析多元數學文化.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：56.

［2］黃賢明.基于5E教學模式的“一元二次方程的根與系數的關系”教學設計與思考[J].數學通訊，2022（7）：3-6.

［3］鄭瑄.意蘊悠長 自然流暢——對“一元二次方程的根與系數的關系”一課的品賞與評析[J].中國數學教育，2022（17）：57-60.

［4］徐德同.關于概念教學的幾點思考[J].數學通報，2015，54（3）：23-26，29.