系統論視角下的單元整體教學研究

課題信息：淮安市“十四五”規劃重點課題“系統論視角下初中數學單元整體教學的實踐探究”，課題編號為2021GHKT021，主持人為韓先麗、李強；江蘇省“十四五”規劃重點課題“新課標背景下APOS理論在初中數學概念教學中的實踐研究”，課題編號為B/2022/03/252，主持人為劉勤鳳、吳從洋；江蘇省“十四五”規劃重點課題“跨學科背景下的初中數學項目式學習的實踐研究”，課題編號為B/2023/03/286，主持人為沈迎華.

摘要：為了探究系統論視角下的單元整體教學，研究者以蘇科版八年級下冊第11章第2節“反比例函數的圖象與性質”為例，以層層遞進的類比探究活動幫助學生積累函數的研究經驗.單元建構避免了課時學習造成的知識的碎、散、淺，同時克服了經驗學習的“負遷移”現象，大大提高了知識的整體性、聯系性和深刻性.

關鍵詞：系統論；整體教學；反比例函數；單元建構

1 教學前思

教材的結構與內容是編者綜合考慮學科知識的邏輯順序、學生認知規律和心理發展特點，按一定的體系自下而上逐步展開的.若每一節課都按部就班地學習一個個“點狀”的知識，則極易讓學生形成“只見樹木，不見森林”的狀況，長此以往，學生學習的知識很難整合成為一個整體，學習的遷移度低，思維的提升也會有所限制.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：“改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯.......逐步培養學生的核心素養”[1].作為一線教師，我們應該積極探索實踐單元整體教學，將學生已學過的知識系統化、結構化，建構深度學習的課堂場域.

2 教學過程

2.1 激活經驗，建構路徑

問題1 上一節課，我們又認識了函數家族的一位新朋友，你們還記得它是誰嗎？

追問1：誰能說出它的一般形式？

追問2：我們是怎么得到反比例函數的概念的？

師：很好.我們從實際問題抽象出了反比例函數的概念，它最終又會用于解決實際問題.從生活中來，又到生活中去.

追問3：那么在解決問題之前，我們還應該研究反比例函數的哪些方面呢？

追問4：大家說得很好.那大家是怎么想到的呢？

師：也就是說我們可以借助之前學習一次函數的研究經驗，進行類比學習.波利亞曾說過，類比是一個偉大的引路人.我們之前在學習分式的時候就類比了小學所學的分數.

師：這節課，我們就類比一次函數的研究路徑和學習經驗，來研究反比例函數的圖象與性質.

設計意圖：獨立思考并觀察一次函數的章節目錄，猜想本節的研究內容，從而很自然地引入課題.類比一次函數的研究過程，引導學生體會研究反比例圖象與性質的必要性.

2.2 類比舊知，構建框架

問題2 在學習一次函數的時候，我們是如何探究它的圖象的？

追問1：畫出圖象后，我們接著又研究了什么？

追問2：類比一次函數的研究過程，對于反比例函數y=k/x（k≠0）的圖象，我們要研究它的哪些方面呢？

設計意圖：根據以往學習經驗，建構反比例函數的整體研究框架，為新舊知識搭建了聯系渠道，同時避免了學習的盲目性，提高了課堂效率.以下圖1是前面兩個環節建構的知識框架，學生在探索活動中不僅形成了數學基本思想，積累了基本活動經驗，也培養了高階思維品質.

2.3 遷移經驗，問題探索

2.3.1 取值計算，由數想形

問題3 如果以函數y=6/x為例，讓你具體來研究它的圖象，你想怎么研究？

追問1：你想用什么方法？

師：描點法是我們研究函數圖象常用的一種方法.之前在研究一次函數圖象時，沒有什么研究經驗，我們就通過列表、描點、連線畫出了一次函數的圖象，發現一次函數的圖象是一條直線.現在我們研究反比例函數圖象時已有了研究一次函數圖象的經驗，先不動手畫圖，只根據函數的表達式來猜想函數圖象的特征.這種操作我們稱為“由數想形”.

追問2：你能不能根據x，y的取值猜想一下函數的圖象有哪些特征？大家先自主思考，再同桌交流討論.

教學說明：先讓學生由數想形，在師生交流之下，層層追問，步步引導，建構反比例函數圖象與性質的知識體系（如圖2）.

2.3.2 分組操作，由形驗數

問題4 反比例函數y=6/x的圖象是不是具有上面我們猜想的特征呢？

師生活動：按小組分組畫圖，教師巡視，展示典型錯誤，通過追問、師生交流合作引發學生探究與思考，實現由“直”到“曲”的認知突破，同時，也總結歸納出反比例圖象的畫圖規范與注意事項.

追問：兩個點之間為什么用平滑的曲線連接而不是用折線連接呢？

設計意圖：以上兩個環節通過挖掘“式”背后的故事，分析“式”的結構得出“數”的特點；在此基礎上由“數”想“形”，然后再用“描點法”畫圖，由“形”驗“數”，數形結合，從而歸納總結出結論.這種研究方法能夠激發學生主動探索、深刻領悟，而不是機械模仿、不求甚解；通過探索活動，潛移默化地讓學生積累了類比、數形結合等研究經驗;通過問題串引領學生細致認真地觀察，積極主動地思考，條理清晰地表達，從而提升核心素養.

問題5 下面我們來逐一驗證下剛剛的猜想.圖象不經過原點對嗎？那圖象是如何分布的呢？

追問1：圖象關于原點中心對稱嗎？如何驗證？

追問2：可以采用透明紙描一下，再旋轉180°觀察下是否重合.那圖象是否關于直線y=x和y=-x成軸對稱圖形呢？又如何驗證呢？

生：畫出四個象限的角平分線，再動手折疊感受下.

追問3：接下來，再來看，“y隨著x的增大而減小”這句話對不對？

師：具體該如何準確表述反比例函數的增減性呢？我們以后會具體研究，這里留作懸念.

設計意圖：由于描點法畢竟只取了較少的整數點，在每兩個整數點之間圖象又是怎樣的呢？學生會有質疑，這樣有部分學生可能會畫成平滑曲線，也會有學生會畫成折線段的形式.為了讓學生親自驗證自己的猜想，釋疑解惑，教師適時引導學生采用加密的方法放大函數圖象，然后教師結合幾何畫板再進行二次加密，從而驗證反比例函數的圖象是平滑的曲線，最后再用說理的方式進行論證.學生經歷了知識的猜想、形成與驗證的數學活動，積累了圖象性質課的活動經驗，同時感悟數形結合思想和數學探究的嚴謹性.下面圖3是由形驗數環節的知識建構.

2.4 沉淀經驗，內化提升

問題6 類比一次函數的研究經驗，接下來你想繼續研究哪些內容？說說你的想法.

追問1：我們之前在材料題中遇到過絕對值函數，以后還可能遇到對勾函數，初三還會學習二次函數，那研究我們不熟悉、陌生的函數圖象時，你會采用什么方法呢？

追問2：除了利用描點法畫圖外，還有其他方法嗎？

設計意圖：通過總結反思，學生再次回顧整理知識的猜想、形成與驗證的數學活動過程，感悟數形結合思想和數學探究的嚴謹性，同時為圖象性質課的研究積累了寶貴的活動經驗.

3 教學后思

3.1 整體建構，拓展認知高度

本節課首先通過問題引領學生類比八年級一次函數的學習，建構反比例函數的整體研究框架，然后再具體研究特殊反比例函數的圖象和性質，這樣不僅為后續學習提供了研究方向和路徑，同時避免了知識的碎、散、淺，大大提高了知識的整體性、聯系性和深刻性.新知的探究過程要遵循知識發生發展和學生的認知規律，這樣，學生才可以在探索活動中形成數學基本思想，積累基本活動經驗，培養高階思維品質.

3.2 互動探究，提升課堂效度

本節課在探究反比例函數圖象及其性質的過程中，通過觀察“式”的結構分析出“數”的特點；在此基礎上由“數”想“形”，然后再用“描點法”畫圖，由“形”驗“數”，數形結合，從而歸納總結出結論.這種研究方法可以激發學生主動探索、深刻領悟，而不是機械模仿、不求甚解；通過探索活動，潛移默化地讓學生積累了類比、數形結合的研究經驗，并且課堂活動的設計引領學生細致認真地觀察，積極主動地思考，條理清晰地表達，從而提升核心素養.

3.3 問題引領，激發思維深度

在整個教學中，教師以環環相扣的問題串，引領學生自主探究.以學生的類比學習為主線，通過回顧、猜想、畫圖等環節建構路徑，歸納方法，感悟思想，進而發展核心素養.這節課充分地體現了學生學習的主體性、主動性.

通過一次函數學習經驗的遷移，確實可以大大提高學習效益，但是，也正是因為學習過一次函數，學生容易產生“負遷移”，學生會想當然地用直線段連接兩個點.“為什么是曲線而不是直線呢？”課堂中，教師要鼓勵學生自我追問、敢于質疑的精神，培養學生發現問題、提出問題的能力，從而發展學生思維的自覺性.在層層遞進的問題串的引領下，學生的思維才會走向深處.