“直角三角形”讓你想到了什么

摘要：“直角三角形”是初中數(shù)學(xué)幾何部分的內(nèi)容，既可與幾何部分其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，又可與代數(shù)部分知識(shí)點(diǎn)結(jié)合.因此，掌握直角三角形的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)解決與之有關(guān)的問(wèn)題非常重要，同時(shí)可幫助學(xué)生不斷完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò).本文中基于課堂實(shí)踐，以蘇科版教材為載體，利用過(guò)程演示、例題分析等方式，分享如何由“直角三角形”展開(kāi)去說(shuō)，如何構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

關(guān)鍵詞：直角三角形；知識(shí)網(wǎng)絡(luò)；例題分析

在實(shí)際教學(xué)中，為了讓學(xué)生梳理知識(shí)和鞏固所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，筆者經(jīng)常與學(xué)生開(kāi)展“知識(shí)接龍”游戲，即教師給定一個(gè)關(guān)鍵詞，然后由學(xué)生從該關(guān)鍵詞出發(fā)說(shuō)一說(shuō)與之有關(guān)的知識(shí)點(diǎn).這樣的活動(dòng)既活躍了課堂，又幫助學(xué)生梳理了知識(shí)網(wǎng)絡(luò).本文中結(jié)合蘇科版初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際，從“直角三角形”這一關(guān)鍵詞出發(fā)，談一談如何在課堂中開(kāi)展“知識(shí)接龍”游戲，并進(jìn)行相關(guān)例題的分析.

1 活動(dòng)前的準(zhǔn)備

“知識(shí)接龍”活動(dòng)主要是幫助學(xué)生梳理知識(shí)點(diǎn)，不斷構(gòu)建與完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，特別適合九年級(jí)學(xué)生.之所以如此，是因?yàn)榫拍昙?jí)學(xué)生已基本學(xué)完蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中的內(nèi)容，他們對(duì)代數(shù)、幾何部分的知識(shí)點(diǎn)都有了較深入的了解，這樣“知識(shí)接龍”的效果會(huì)更好，輻射的范圍更廣；另外，九年級(jí)學(xué)生的抽象思維、邏輯思維、語(yǔ)言表達(dá)能力等都比七、八年級(jí)的學(xué)生更好，更有利于開(kāi)展“知識(shí)接龍”活動(dòng).

筆者認(rèn)為，“知識(shí)接龍”活動(dòng)的主題可設(shè)計(jì)為“‘直角三角形’讓你想到了什么”，即教師給出的關(guān)鍵詞是“直角三角形”.

在確定活動(dòng)主題后，接下來(lái)就要約定活動(dòng)的規(guī)則.受時(shí)間的限制，教師可與課代表及學(xué)生代表在課前協(xié)商活動(dòng)規(guī)則，然后在課堂上公布.其中，主要的幾條規(guī)則如下：

第一，不能重復(fù)說(shuō)知識(shí)點(diǎn)；

第二，盡可能廣地輻射；

第三，可說(shuō)知識(shí)點(diǎn)，也可用例題加以分析；

第四，活動(dòng)最后寫(xiě)出活動(dòng)中出現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)并用圖表示它們之間的關(guān)系（嘗試用思維導(dǎo)圖表示）.

2 活動(dòng)進(jìn)行中

在活動(dòng)開(kāi)始之初，先公布“知識(shí)接龍”活動(dòng)的主題關(guān)鍵詞——直角三角形.然后宣布活動(dòng)規(guī)則，并強(qiáng)調(diào)活動(dòng)的“自愿性”“公平性”等原則.其目的在于維持課堂秩序和激發(fā)學(xué)生參與活動(dòng)的積極性.筆者建議，公布關(guān)鍵詞和宣布規(guī)則可由課代表及學(xué)生代表負(fù)責(zé).讓學(xué)生管理活動(dòng)過(guò)程，既尊重了他們的主體性地位，又鍛煉了他們的組織協(xié)調(diào)能力等，對(duì)他們的成長(zhǎng)極為有利.

課代表（學(xué)生代表）：同學(xué)們，本次活動(dòng)的主題是“‘直角三角形’讓你想到了什么”，關(guān)鍵詞是“直角三角形”（板書(shū)“直角三角形”）.下面，請(qǐng)同學(xué)們圍繞該關(guān)鍵詞進(jìn)行知識(shí)接龍.

生1：看到“直角三角形”這個(gè)關(guān)鍵詞，讓我想到了八年級(jí)上冊(cè)中的“勾股定理”，它是由直角三角形得到其三邊存在a²+b²=c²的數(shù)量關(guān)系.

生2：聽(tīng)到“勾股定理”，讓我想起了“勾股定理逆定理”，它與“勾股定理”互逆，是由三角形三邊的數(shù)量關(guān)系a²+b²=c²證得它是直角三角形，可作為直角三角形的判定方法.（“勾股定理”和“勾股定理逆定理”是八年級(jí)上冊(cè)第三章的主要內(nèi)容.）

生3：說(shuō)到直角三角形的判定方法，我腦海中出現(xiàn)了很多，比如勾股定理逆定理、兩銳角互余、兩直線斜率滿足k₁·k₂=-1、直徑所對(duì)的圓周角是直角等.

生4：兩銳角互余是從直角三角形的本質(zhì)出發(fā)，即有一個(gè)角是90°或兩邊互相垂直.“直徑所對(duì)的圓周角是直角”是與圓有關(guān)的性質(zhì)，在證明和計(jì)算中發(fā)揮著重要作用.

師：同學(xué)們都說(shuō)得非常好，還有想到其他與“直角三角形”有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)嗎？

生5：我想到一個(gè)，就是解直角三角形.

生6：我也想到一個(gè)，就是“HL”判定.

生7：還有九年級(jí)下冊(cè)的銳角三角函數(shù)，也是與直角三角形有關(guān)的知識(shí)點(diǎn).

師：同學(xué)們的思維真靈活，找到了這么多與直角三角形有關(guān)的知識(shí)點(diǎn).其實(shí)，與直角三角形有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)還有許多，如菱形的對(duì)角線互相垂直、垂直平分線的性質(zhì)、雙垂直模型等.

教師補(bǔ)充學(xué)生遺漏的知識(shí)點(diǎn)后，有必要出示一些例題讓學(xué)生思考，進(jìn)一步強(qiáng)化和鞏固與“直角三角形”有關(guān)的知識(shí)點(diǎn).

師：同學(xué)們，我們現(xiàn)在來(lái)看看與以上所說(shuō)知識(shí)點(diǎn)有關(guān)的例題，一起鞏固所學(xué).

例1 如圖1，公路l的同側(cè)有A，B兩個(gè)送奶站，C為公路l上一個(gè)供奶站，CA和CB為供奶站供奶路線，已知AC=8 km，BC=15 km，AB=17 km，∠1=30°.若某人從C處出發(fā)，沿公路l行走，速度為2.5 km/h.問(wèn)：多長(zhǎng)時(shí)間后此人距B送奶站最近？

【分析與自主探究】（1）△ABC的形狀如何？（2）送奶站B距離公路最近點(diǎn)在何處？（3）如何構(gòu)造圖形求點(diǎn)C到該最近點(diǎn)的距離？

【解決問(wèn)題】如圖2，過(guò)點(diǎn)B作l的垂線，垂足為D.易得△ABC是直角三角形，∠ACB=90°.由∠1=30°，得∠BCD=60°.在Rt△BCD中，可求得CD=7.5 km，所以7.5÷2.5=3，即3 h后此人距離B送奶站最近.

例2 如圖3所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=40°，P是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），連接AP.過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AP于點(diǎn)D，交直線AB于點(diǎn)E，設(shè)∠APC=α.

（1）若點(diǎn)P在線段BC上，且α=60°，寫(xiě)出∠PAB的大小.

（2）若點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)，求∠AED的大小（用含α的式子表示）.

（3）若點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，且α≠50°，寫(xiě)出∠AED的大小（用含α的式子表示）.

【分析與自主探究】要解決第（1）小題，則需利用“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”；第（2）小題中，思考∠APC與∠B，∠PAB存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？∠PAB與∠AED存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？（3）由“α≠50°可分α＞50°和α＜50°兩種情況分類(lèi)討論.

【解決問(wèn)題】（1）當(dāng)α=60°時(shí)，∠APC=60°，由于∠ABC=40°，則∠PAB=20°.（2）如圖2，∠PAB=α-40°，由于CE⊥AP，所以∠PAB與∠AED互余，于是求得∠AED=130°-α.（3）當(dāng)α＞50°時(shí)，如圖4，在△APC中得到∠CAP=90°-α，由于CD⊥AP，所以∠AED=α-50°.當(dāng)α＜50°，如圖5，方法同上求得∠AED=50°-α.

師：通過(guò)上述兩道例題，同學(xué)們將許多與直角三角形有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系了起來(lái)，不僅鞏固了知識(shí)，還不斷完善了知識(shí)網(wǎng)絡(luò).現(xiàn)在，同學(xué)們能否將本活動(dòng)中出現(xiàn)的與直角三角形有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)用思維導(dǎo)圖畫(huà)出來(lái)？

生：能.（學(xué)生畫(huà)，教師收集作品.）

師：現(xiàn)在讓我們一起來(lái)欣賞如圖6所示的這幅作品.

3 活動(dòng)后的反思

“知識(shí)接龍”游戲是筆者在課堂中開(kāi)展的學(xué)習(xí)活動(dòng)，是教學(xué)實(shí)踐的一部分.開(kāi)展這樣的活動(dòng)，將會(huì)對(duì)學(xué)生產(chǎn)生如下積極影響：

首先，有利于構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建與不斷完善，是學(xué)生數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)習(xí)慣形成的過(guò)程[1].在構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的過(guò)程中，學(xué)生要從某個(gè)關(guān)鍵詞出發(fā)聯(lián)想與之有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，所以可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.同時(shí)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)并不斷優(yōu)化，是一種良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，開(kāi)展“知識(shí)接龍”學(xué)習(xí)活動(dòng)有利于學(xué)生形成這一良好習(xí)慣，并作用于學(xué)習(xí).

其次，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，在“玩”中“學(xué)”，在“做”中“學(xué)”.學(xué)得開(kāi)心既能讓學(xué)生保持良好的學(xué)習(xí)心態(tài)，又能幫助學(xué)生不斷積累知識(shí).通過(guò)解題、畫(huà)思維導(dǎo)圖等過(guò)程，知識(shí)點(diǎn)在活動(dòng)中得到了體現(xiàn)，學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)能夠產(chǎn)生更深刻的理解.同時(shí)，畫(huà)思維導(dǎo)圖再現(xiàn)了課堂學(xué)習(xí)過(guò)程，是復(fù)習(xí)課堂所學(xué)的一種方式[2].

最后，體現(xiàn)學(xué)生的主體性地位，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性.由“直角三角形”想到了什么，充分激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)他們進(jìn)一步思考的積極性，讓他們獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力.

總之，給學(xué)生一個(gè)關(guān)鍵詞，讓學(xué)生從這個(gè)關(guān)鍵詞出發(fā)玩“知識(shí)接龍”游戲，既對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)或情緒起到了良好的調(diào)節(jié)作用，又豐富了課堂教學(xué)方法，讓教學(xué)更有效果.

參考文獻(xiàn)：

[1]張宏政.一葉一菩提 一圖一世界——直角三角形復(fù)習(xí)課的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（8）：15-17.

[2]顧建鋒.構(gòu)建開(kāi)放、自主、深刻的拓展課堂——以“直角三角形”拓展課教學(xué)為例[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2021（Z3）：25-28.