角平分線的拓展探究

角平分線是初中階段學習的最基本的圖形，它在后面學習的三角形、四邊形、圓等幾何圖形中都有廣泛的應用.因此，在角平分線的教學過程中，有必要展開對角平分線的拓展探究.

1 角平分線與角的旋轉

當一個角繞其頂點在平面內旋轉，如果角平分線所平分的角不變，那么某些角之間的數量關系有時保持不變，有時卻隨之變化.這就告訴我們，要用發展的眼光看待事物的發展變化，解題思路可以借鑒，但結論可能要隨之變化.

例1 已知O為直線AB上的一點，∠COE是直角，OF平分∠AOE（圖中所說的角都是小于平角的角）.

（1）如圖1，若∠COF＝28°，則∠BOE＝_______°；若∠COF＝m°，則∠BOE＝_______；∠BOE與∠COF的數量關系為_______.

（2）將∠COE繞點O逆時針旋轉到如圖2所示的位置時，（1）中∠BOE和∠COF的數量關系否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，求出∠BOE與∠COF的數量關系.

（3）當∠COE繞點O順時針旋轉到如圖3所示的位置時，（1）中∠BOE和∠COF的數量關系是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請求出∠BOE與∠COF的數量關系.

解析：（1）若∠COF＝28°，因為∠COE是直角，所以∠EOF＝62°.又OF平分∠AOE，

所以∠AOF＝∠EOF＝62°，從而∠BOE＝180°-2∠EOF＝180°-2×62°＝56°.

若∠COF＝m°，

因為∠COE是直角，所以∠EOF＝90°-m°.又OF平分∠AOE，所以∠AOE＝180°-2m°，從而∠BOE＝180°-∠AOE＝180°-（180°-2m°）＝2m°.所以∠BOE＝2∠COF.

（2）存在.理由如下：因為OF平分∠AOE，所以∠EOF=1/2∠AOE=1/2（180°-∠BOE）=90°-1/2∠BOE，從而∠COF＝90°-∠EOF＝90°-（90°-1/2∠BOE）=1/2∠BOE，即∠BOE＝2∠COF.

（3）因為∠EOF＝90°-1/2∠BOE，所以∠COF＝90°+∠EOF＝90°+（90°-1/2∠BOE），于是可得∠BOE+2∠FOC＝360°，所以（1）中∠BOE和∠COF的數量關系不成立.

點評：本題中分別討論了∠COE在直線AB上方，在直線AB左邊及在直線AB右邊三種情形，實際上還有∠COE在直線AB下方這種情形，這種情形與∠COE在直線AB上方屬于同一種情形，所以沒有討論.

2 角平分線的同質類比

線段中點是將線段分成兩條相等的線段，角平分線是將角分成兩個相等的角，這兩個概念有許多相似之處，將它們放在一起比較，發現它們有相同的規律.如，一條線段被線段上一點分成兩條線段，這兩條線段中點之間的距離等于原線段長的一半；一個角被一條射線分成兩個角，這兩個角的角平分線之間的夾角等于原角度的一半；等等.

例2 如圖4，已知線段AB＝20 cm，CD＝2 cm，線段CD在線段AB上運動，E，F分別是AC，BD的中點.

（1）當線段CD在線段AB上運動時，試判斷EF的長度是否發生變化？如果不變，請求出EF的長度；如果變化，請說明理由.

（2）我們發現角的很多規律和線段一樣，如圖5，已知∠COD在∠AOB內部轉動，OE，OF分別平分∠AOC和∠BOD，若∠AOB＝142°，∠COD＝38°，則∠EOF＝_______.由此，你猜想∠EOF，∠AOB和∠COD會有怎樣的數量關系，并說明理由.

解析：（1）EF的長度不變.因為E，F分別是AC，BD的中點，所以EC=1/2AC，DF=1/2DB，從而EF＝EC+CD+DF=1/2AC+CD+1/2DB=1/2（AC+BD）+CD=1/2（AB-CD）+CD=1/2（AB+CD）.因為AB＝20 cm，CD＝2 cm，所以EF=1/2×（20+2）＝11（cm）.

（2）∠EOF=1/2（∠AOB+∠COD）.

理由：因為OE，OF分別平分∠AOC和∠BOD，所以∠COE=1/2∠AOC，∠DOF=1/2∠BOD，則∠EOF＝∠COE+∠COD+∠DOF=1/2∠AOC+∠COD+1/2∠BOD=1/2（∠AOC+∠BOD）+∠COD=1/2（∠AOB-∠COD）+∠COD=1/2×（∠AOB+∠COD）.所以∠EOF=1/2（142°+38°）=90°.故答案為：90°.

點評：本題中規律的發現過程，經過了將一個角轉化為三個角的和，再將其中兩個角利用角平分線轉化為所在角的一半，然后提取公因式1/2，再將兩角和轉化為兩角差，最后化簡得出結論.

3 角平分線中的新定義

對于新定義問題，首先要明晰新定義的本質含義，然后把新定義問題轉化為已學過的舊知識，進而實現問題的突破.

例3 定義：從一個角的頂點出發，在角的內部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內半角.如圖6①，若∠COD=1/2∠AOB，則∠COD是∠AOB的內半角.

（1）如圖6①，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝25°，∠COD是∠AOB的內半角，則∠BOD＝_______.

（2）如圖6②，已知∠AOB＝60°，將∠AOB繞點O按順時針方向旋轉一個角度α（0＜α＜60°）至∠COD，當旋轉的角度α為何值時，∠COB是∠AOD的內半角.

（3）已知∠AOB＝30°，把一塊含有30°角的三角板如圖6③疊放，將三角板繞頂點O以3°/s的速度按順時針方向旋轉如圖6④，問：在旋轉一周的過程中，射線OA，OB，OC，OD能否構成內半角？若能，請求出旋轉的時間；若不能，請說明理由.

解析：（1）依題意，∠COD是∠AOB的內半角，∠AOB＝70°，所以∠COD=1/2∠AOB＝35°.又因為∠AOC＝25°，所以∠BOD＝70°-35°-25°＝10°.

（2）因為∠AOC＝∠BOD＝α，所以∠AOD＝60°+α.因為∠COB是∠AOD的內半角，則∠BOC=1/2（60°+α）＝60°-α，解得α＝20°，所以旋轉的角度α為20°時，∠COB是∠AOD的內半角.

（3）在旋轉一周的過程中，射線OA，OB，OC，OD能構成內半角.

理由：設按順時針方向旋轉一個角度α，旋轉的時間為t.

如圖7，若∠BOC是∠AOD的內半角，又∠AOC＝∠BOD＝α，則可以得∠AOD＝30°+α，于是有1/2（30°+α）＝30°-α，解得α＝10°，則t=103 s.

如圖8，若∠BOC是∠AOD的內半角，又∠AOC＝∠BOD＝α，則有∠AOD＝30°+α，所以1/2（30°+α）＝α-30°，所以α＝90°.故t=903=30（s）.

如圖9，若∠AOD是∠BOC的內半角，∠AOC＝∠BOD＝360°-α，則有∠BOC＝360°+30°-α，可得1/2（360°+30°-α）＝360°-α-30°，所以α＝270°.故t＝90 s.

如圖10，因為∠AOD是∠BOC的內半角，∠AOC＝∠BOD＝360°-α，所以∠BOC＝360°+30°-α，所以1/2（360°+30°-α）＝30°+30°-（360°+30°-α），解得α＝350°，所以t=3503 s.

綜上所述，當旋轉的時間為103s或30 s或90 s或3503 s時，射線OA，OB，OC，OD能構成內半角.

點評：對于新定義問題，首先要明確新定義的本質含義，然后要把新定義問題轉化為已學過的舊知識.本題的內半角就要根據圖形轉化角之間的和差倍分關系，另一方面，本題的第（3）小題有四種情況，解答時不要漏解.

以上通過三個方面對角平分線進行拓展探究，延展了角平分線知識的廣度和深度，有利于促進學生深度掌握角平分線知識，為后期的學習奠定基礎，同時拓寬了學生的思維路徑，促進了學生思維的發展.