剖析見本質 策略促提高

摘要：在初中數學學習的旅程中，二次函數占據了核心地位，其中，最值問題尤為關鍵.它不僅考驗學生們將數與形巧妙結合的思維能力，還著重訓練他們對問題進行分類討論的技巧.這一知識點在初中數學中的應用極為廣泛，是學生必須掌握的重點內容.掌握求解二次函數最值的策略，能夠顯著提升學生的數學解題技巧，為其將來步入高中進一步探索更復雜更深奧的有關函數知識打下堅實的基礎.

關鍵詞：二次函數；數形結合；最值

1 對稱軸定且自變量范圍定

對于有些二次函數的最值求解，若該函數的解析式及定義域均已明確或可通過條件推導得出，則就需緊密結合二次函數的圖象與其性質.具體而言，就是要根據給定的自變量x的取值范圍，在二次函數的圖象上定位，并據此分析出該函數在此區間內的最大值或最小值.這一過程不僅要求學生熟練掌握二次函數的圖象特征，還需靈活運用數學分析的方法，以確保求解的準確性和解題效率的提高.

例1 （2024·河南周口初三聯考）在探討單向道路上汽車行駛的規律時，可以將車流視為一種連續的介質，利用流量、速度和密度這三個核心概念來描繪其基本特性.具體而言，車流量q（單位：輛/時）代表單位時間內穿越道路某一特定橫截面的車輛數目，而車流速度v（單位：千米/時）則反映穿越該橫截面車輛的行進速度，車流密度k（單位：輛/千米）則是指單位長度的道路上所存在的車輛數目.為了配合大數據技術在交通擁堵治理中的應用，我們針對某一路段進行了詳細的觀測，并記錄下某路段車流量q與車流速度v之間關系的部分數據，如表1.

（1）根據已知信息寫出q關于v的函數解析式（不用寫原因）.

（2）已知q，v，k滿足q=vk（v≠0）.

①求當車流量q取得最大值時車流密度k的值；

②若根據以往的路況統計信息，當42≤vlt;48時道路會有輕微擁堵現象，試求當車流密度k滿足什么條件時，該路段將出現輕微擁堵.

解析：（1）根據表中信息可知q與v滿足二次函數關系，

由拋物線過點（20，1 600），（40，1 600），可知其對稱軸是直線v=20+40/2=30，故可設拋物線為q=a（v-30）2+b.

把點（10，1 000），（20，1 600）代入q=a（v-30）2+b，可得a（10-30）2+b=1 000，a（20-30）²+b=1 600.

解得a=-2，b=1 800，所以q關于v的函數解析式為q=-2（v-30）²+1 800.

（2）①由q=-2（v-30）²+1 800可知，當v=30時，q取得最大值1 800.

因為q=vk，所以k=qv=1 800/30=60.

②當v=42時，q=1 512，此時k=36；

當v=48時，q=1 152，此時k=24.

故當24lt;k≤36時，道路出現輕度擁堵.

點評：本題是一道綜合應用題，主要考查二次函數的應用，特別是通過待定系數法求解二次函數的解析式，以及探索二次函數在固定區間內的最值問題.解題的關鍵在于深入理解二次函數的性質，包括其開口方向、對稱軸、頂點坐標等核心要素.為了找到二次函數在給定自變量取值范圍內的最值，學生首先需要準確繪制或構想該函數的圖象，隨后根據圖象信息，確定在指定區間內的最大值或最小值.

2 對稱軸動且自變量范圍定

“軸動區間定”問題，是在已知二次函數解析式的基礎上，針對題目給定的自變量的取值范圍，求解該函數的最值.這類問題的特點是，雖然自變量的取值范圍不變，但二次函數解析式中的參數變化會導致函數的開口方向和對稱軸發生變化，進而影響函數的最值.因此，解題時需要首先明確二次函數的解析式，然后仔細分析參數變化如何影響函數的開口方向和對稱軸，最后根據這些變化，結合給定的自變量的取值范圍，求解函數的最值.這就需要學生深入理解二次函數的圖象和有關，并具備解決二次函數有關較為復雜的問題能力.

例2 （2024·河北石家莊初三檢測）已知二次函數y=ax2-4ax+3a（alt;0）的圖象與x軸交于如圖1所示的兩點A，B，與y軸交于點C，且OB=OC.

（1）求二次函數的解析式；

（2）將該二次函數的圖象進行平移，使平移后的二次函數圖象的頂點坐標為（m，m²+2）（m≥0），若當-1≤x≤2時函數的最大值為7，求m的值.

解析：（1）由ax²-4ax+3a=a（x²-4x+3）=0時，

得x₁=1，x₂=3.

所以點A（1，0），B（3，0）.

當x=0時，y=3a.

所以C（0，3a）.

因為OB=OC，

所以-3a=3，解得a=-1.

故二次函數的解析式為y=-x²+4x-3.

（2）y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1.

因為將函數圖象平移后頂點坐標為（m，m²+2），

所以平移后的函數解析式為y=-（x-m）²+m²+2，

則平移后函數圖象的對稱軸為直線x=m.

若0≤mlt;2，則當x=m時函數取得最大值7，

即m2+2=7，解得m=-5或m=5，均不符合題意，舍去.

若m≥2，則當x=2時函數取得最大值7，

即-（2-m）²+m²+2=4m-2=7，解得m=9/4，符合題意.

綜上所述，m的值為9/4.

點評：在處理二次函數中的“軸動區間定”問題時，首要步驟是從函數解析式中提取關鍵信息，這些信息是繪制函數基本圖象的基礎.圖象繪制完成后，應根據題目要求畫出固定的自變量的取值范圍對應的區間.同時，

關注開口方向和對稱軸，因為它們是決定函數最值的關鍵因素.接下來，根據分類討論思想，要對參數變化導致的對稱軸位置的的不同情況進行詳細討論.通過這種方法，我們可以準確地求解出在不同參數下函數的最值.

3 對稱軸定且自變量范圍動

求解“軸定區間動”最值問題，常規思路是依據題目信息找出二次函數的解析式，同時根據題意和有關性質等確定自變量的范圍，然后繼續探索函數的最值問題.自變量的取值范圍具有不確定性，這意味著我們截取的二次函數圖象也會相應地發生變化.因此，解決這類問題的關鍵在于，對參數的不同取值進行分類討論，以確保能夠準確地找到在各種情況下函數的最值.這需要學生掌握有關二次函數基礎知識點，并具備靈活的數學解題方法和對問題的深入分析能力.

例3 （2024·浙江金華初三開學檢測）已知函數y=x2+bx+c（b，c為常數）的圖象經過點（0，3），（6，3）.

（1）求b，c的值；

（2）當-2≤x≤k時，求y的最小值（可用含k的代數式表示）.

解析：（1）因為函數y=x²+bx+c（b，c為常數）的圖象經過點（0，3），（6，3），則

c=3，3=62+6b+c，所以

b=-6，c=3.

（2）由（1）知y=x²-6x+3=（x-3）²-6.

若k≤3，則當-2≤x≤k時，y隨x的增大而減小.

故當x=k時，y有最小值，且最小值為y=k2-6k+3.

若kgt;3，則當-2≤x≤k時，拋物線的頂點處于最低點，

故當x=3時，y有最小值，且最小值為-6.

綜上所述，當k≤3時，y的最小值為k2-6k+3；當kgt;3時，y的最小值為-6.

點評：本題是一道綜合性較強的題目，主要考查二次函數的最值問題.解題的關鍵在于熟練掌握二次函數的特點，并運用分類討論思想進行分析和計算.在求解有關“軸定區間動”類型的二次函數最值問題時，需要采用數形結合的方法.首先，根據題目要求畫出固定的對稱軸對應的直線.其次，根據題目給出的二次函數信息，分析該函數隨自變量范圍的不同而最值的變化情況.這樣，就可以確定函數在動態區間內的最值.最后，通過分類討論，可以求解出各種情況下的函數最值.