計(jì)算能力我最強(qiáng)，一題多解顯神通

摘要：2023年云南中考數(shù)學(xué)第24題是困擾大多數(shù)學(xué)生的問題，尤其是一元二次方程中的含參問題成為很多學(xué)生的計(jì)算痛點(diǎn).本文中從三個(gè)思路解決計(jì)算問題，幫助學(xué)生提高計(jì)算能力和推理能力.

關(guān)鍵詞：一題多解；一元二次方程;含參運(yùn)算；計(jì)算能力

1 試題呈現(xiàn)

2 試題分析

2.1 立足常規(guī)，夯實(shí)“四基”

上述試題作為作為2023年云南省數(shù)學(xué)中考卷的壓軸題，突出考查了重點(diǎn)，并保持適當(dāng)?shù)奶荻龋尸F(xiàn)出一定的綜合性和跨越性，考生做題時(shí)較容易上手；在常規(guī)問題的基礎(chǔ)上，強(qiáng)調(diào)學(xué)生利用基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，體會(huì)基本思想，從而獲得基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).由于試題對(duì)學(xué)生的思維和推理能力要求較高，所以具有很好的區(qū)分度.

2.2 重視數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累和數(shù)學(xué)思想方法的滲透

“新課標(biāo)”提出“三會(huì)”素養(yǎng)：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累和數(shù)學(xué)方法的滲透被提到了新的高度.上述試題體現(xiàn)了這一理念，對(duì)學(xué)生思維的深度和廣度都有一定的要求.著重考查學(xué)生的推理能力、抽象能力和計(jì)算能力.同時(shí)，上述試題第（1）（2）問的解法不止一種，均存在一題多解的情況.每一種方式都需要學(xué)生親自動(dòng)手，全程參與，最終在多種方法中找出適合自己的方法，不斷地練習(xí)，并熟練運(yùn)用.這樣的設(shè)問方式不斷在提示學(xué)生，對(duì)數(shù)學(xué)是理解，而不是模仿.但凡模仿，都走不遠(yuǎn).

2.3 難點(diǎn)分析

（1）忽略函數(shù)為一次函數(shù)時(shí)的情況，不少學(xué)生直接根據(jù)根的判別式證明方程根的情況，默認(rèn)函數(shù)為二次函數(shù).這個(gè)屬于難點(diǎn)，同時(shí)亦是扣分點(diǎn).

（2）解含參的一元二次方程問題，很多學(xué)生看到參數(shù)就覺得很難，不愿意嘗試.系數(shù)含參也是本題的難點(diǎn)之一.

（3）第二問求整數(shù)解的問題，學(xué)生不會(huì)靈活運(yùn)用

分式轉(zhuǎn)化的技巧，不會(huì)熟練運(yùn)用分離參數(shù)法，導(dǎo)致第二問無從下手.

2.4 易錯(cuò)點(diǎn)分析

（1）沒有運(yùn)用分類討論思想，沒有考慮一次函數(shù)的情況，從而導(dǎo)致漏解.

（2）計(jì)算根的判別式時(shí)符號(hào)出錯(cuò)，對(duì)完全平方公式掌握不牢固，無法準(zhǔn)確識(shí)別一個(gè)二次三項(xiàng)式可以因式分解為完全平方公式，從而不能判斷根的判別式的正負(fù)情況.

（3）部分學(xué)生在第二問成功分離了常數(shù)，但在討論整數(shù)解時(shí)，遺漏了負(fù)數(shù)整數(shù)解，從而使第二問漏解.

3 教學(xué)功能

本題可用于二次函數(shù)章節(jié)的復(fù)習(xí)中，考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系；著重訓(xùn)練學(xué)生的計(jì)算能力和推理能力.尤其是對(duì)于含參的一元二次方程的求解是很多學(xué)生的難點(diǎn)，本題恰好可以作為訓(xùn)練的素材.本題亦可用于中考復(fù)習(xí)函數(shù)專題中，由于二次項(xiàng)系數(shù)含參，因此，需要對(duì)函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分類討論.此外，本題還可以在講解分離參數(shù)的專題時(shí)使用，第二問本身就是涉及分離參數(shù)討論整數(shù)解的問題，因此教師在訓(xùn)練學(xué)生使用分離參數(shù)法解決問題時(shí)，本題也是一個(gè)很好的選擇.

4 教學(xué)實(shí)施

4.1 第（1）問解決思路

教學(xué)說明：通過分析本題的難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)，筆者發(fā)現(xiàn)對(duì)于多數(shù)學(xué)生而言，本題最困難的地方在于含參數(shù)的一元二次方程的計(jì)算.本題的切入口并不難找到，基礎(chǔ)一般的學(xué)生也能將第（1）問的解答寫出一部分來，但是將根的判別式化簡(jiǎn)至完全平方式是非常考驗(yàn)學(xué)生的計(jì)算能力.因此，筆者提供了另外兩種方式，旨在幫助學(xué)生提高計(jì)算能力和推理能力.

4.2 第（2）問解決思路

教學(xué)說明：對(duì)于大部分學(xué)生來說，第（2）問已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了能力范圍.看到分式，不知如何討論整數(shù)解的問題.因此，筆者設(shè)計(jì)了兩種分離參數(shù)的方法以供學(xué)生學(xué)習(xí)，意在訓(xùn)練學(xué)生分類討論的能力.不少學(xué)生會(huì)漏解a的值，其原因就是沒有真正掌握分離參數(shù)的方法.分離參數(shù)法不僅僅在中考數(shù)學(xué)中有所涉及，對(duì)于高中數(shù)學(xué)而言，分離參數(shù)法也是一種非常重要的求值方法.因此，選擇兩種方式講解也可以達(dá)到初高銜接的作用和效果.

5 教學(xué)啟示

通過研究本題的解法和觀察學(xué)生的做題情況，筆者有一些感悟與讀者分享.第一，日常教學(xué)要夯實(shí)基礎(chǔ)，直擊數(shù)學(xué)本質(zhì).基本概念要講清，定理要顯示完整，法則要落實(shí)到位.尤其是運(yùn)用公式和定理計(jì)算時(shí)，不能僅僅局限于常數(shù)的教學(xué)，需要適當(dāng)加入?yún)?shù)的運(yùn)算，這樣才能真正提高學(xué)生的運(yùn)算能力，夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ).第二，強(qiáng)化基本技能，提升關(guān)鍵能力.典型題型需要練習(xí)到位，通性通法逐一落實(shí)，知識(shí)遷移訓(xùn)練一體.例如在一元二次方程中判斷根的情況，通法就是利用判別式，這是日常教學(xué)中反復(fù)強(qiáng)調(diào)的解法，需要在課堂中及課后作業(yè)中將其落實(shí)到位.第三，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的探索解決問題的過程，培養(yǎng)問題解決意識(shí)，形成基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和基本活動(dòng)思想.為什么很多學(xué)生不能獨(dú)立完整地解出根的判別式或者利用求根公式計(jì)算出方程的根，原因在于日常的計(jì)算都是教師“包辦”的，學(xué)生自己沒有完整地將習(xí)題全部計(jì)算一遍，所以在考試時(shí)就無法在規(guī)定時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)確算出結(jié)果.第四，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，形成核心素養(yǎng).讓學(xué)生經(jīng)歷從生動(dòng)直觀到抽象概括、再到發(fā)散探求、最終回歸本質(zhì)的思維過程，深耕厚植素養(yǎng)形成.注重一題多解的教學(xué)，讓每個(gè)題目的效用發(fā)揮到最大.