初中數學中動點問題的解題策略

【摘要】動點問題是初中數學中一種較為復雜的變換問題，蘊含多個數學知識點.教師需要引導學生根據題目給出的條件，正確找出“變量”和“不變量”，注重動點問題的解題策略傳授，加強解題指導，提高教學成效.

【關鍵詞】初中數學；動點問題；解題策略

初中數學中動點問題具有很強的綜合性特征，涵蓋二次函數、三角形、直角坐標系等諸多知識點，學生在解決動點問題時不僅要具備扎實的數學知識基礎，也需要具有一定的數學思維.動點問題對學生的邏輯思維能力、知識應用能力、信息處理能力要求較高，也是初中數學解題教學中的重點內容.因此，教師需要在充分把握學生認知水平的基礎上，結合動點問題特點，組織學生分析探討問題的核心要素，關注動點問題的分類教學，為學生提供針對性的解題指導.通過這種方式，不僅能夠有效提升學生解決難點問題的能力，也能夠對培養學生的綜合知識應用能力起到一定的促進作用.

1" 單一動點問題的解題策略

單一動點問題是動點問題的基礎類型，一般涉及幾何知識、一次二次函數等方面的內容，該類問題具有較強的綜合性，需要學生運用多種數學知識、數學思想和解題方法進行解題［1］.

例1" 如圖1中二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸相交于P（1，0），Q（4，0）兩點，與y軸相交于A（0，2）點，連接AP和AQ，求：

圖1

（1）二次函數表達式；

（2）如果M點是函數圖象對稱軸上的一個動點，求滿足∠AMQ=∠APQ條件的點的坐標.

解析" （1）利用待定系數法可求出表達式，為y=12x2－52x+2.

（2）由于M點為動點，在求坐標時需要分情況討論：

情況1" M點在直線AQ上方時.首先求B點坐標，過A點作PQ平行線AB，過Q點作AP平行線BQ使兩條線相于B點，可求出B點坐標為（3，2）.線段AB垂直平分線方程為x=32，可得出AQ的垂直平分線方程為y=2x－3，較易得出兩條直線的交點坐標C（32，0），點C是△ABQ外接圓的圓心，求出圓半徑為52，設M點坐標為（52，y），根據兩點距離公式可得y=212，因此M點坐標為（52，212）［2］.

情況2" M點在直線AQ下方時.參照圖2.根據題目給出條件，可求出圓心坐標C（52，2），圖2中兩條垂直平分線交點為△APQ外接圓的圓心，求出M點坐標為（52，12）.

圖2

單一動點問題的解題具有代表性，即學生在掌握單一動點問題的解題方法后，能夠對相關動點問題進行聯想，舉一反三進而形成有效的學習思維.教師可利用“畫輔助線”這一關鍵要素，幫助學生明確解題思路，能夠較為容易地求出動點坐標.因此，在動點問題解題教學中，教師需要關注學生畫輔助線的方法的合理性，并使學生形成綜合解題思維.

2" 雙（多）動點問題的解題策略

雙（多）動點問題可看作是單一動點問題的擴展或升級，因此在解題中需要遵循的基本策略是將雙（多）動點問題轉化為單一動點問題后再進行解決.在具體的問題解決過程中，需要分類討論，并綜合使用多種數學知識與數學思維［3］.

例2" 如圖3中拋物線y=ax2+bx-5與x軸相交于A（－1，0），B（5，0）兩點，與y軸相交于C點，求：

（1）拋物線的解析式；

（2）線段CD與x軸平行，M點為CD下面的一個動點，過M點作與y軸平行的線段MN，與CD交于F點，當M點在拋物線上運動到哪個位置時四邊形CMDN面積最大？求此時的M點坐標及四邊形面積.

圖3

解析" （1）用待定系數法可求出拋物線y=ax2+bx-5的表達式為y=x2－4x－5.

（2）在求解過程中，充分把握問題給出的已知條件，可將四邊形分成有一條邊是“橫平豎直”線段的兩個三角形，進而求出四邊形面積表達式.這樣就可以將四邊形面積的最值問題轉化為二次函數最值問題進行求解［4］.

根據已知條件可求得D（4，－5），CD=4，直線BC表達式為y=x－5.

假設M（x，x2－4x－5），N（x，x－5）的同時，0lt;xlt;4，進而可得出：

MN=－x2+5x，S四邊形CMDN=S△CDM+S△CDN=－2（x-52）2+252.

結合限制條件0lt;xlt;4可知，在x=52時，四邊形CMDN面積最大，為252，此時M點的坐標為（52，－354）.

雙（多）動點問題的解題關鍵在于把握多個動點之間的相互關系，結合問題所給出的條件，明確“不變量”因素，并弄清楚多個動點運動的先后順序，加強對關鍵因素的掌控，這樣能夠更清晰地明確解題思路.同時，多動點問題可以簡化為雙動點問題，雙動點問題也可以靈活轉化為單動點問題. 在解題時，需要具體問題具體分析，掌握相應的解題方法.

3" 結語

綜上所述，動點問題是初中數學中的關鍵內容，也是學生實際做題過程中遇到的較為棘手的問題，需要學生靈活使用多種數學知識和數學思想進行解決.在解決動點問題時，需要具備“轉化”思維，即將動點問題轉化為靜態問題，結合問題給出條件明確問題關鍵點，正確找出“變量”和“不變量”，運用多種數學思想方法解題.

參考文獻：

［1］趙玉葉.初中數學中“含有一個動點的線段和（差）的最值問題”的解題策略［J］.數學教學通訊，2021（32）：86-88.

［2］何華萍.畫圖轉化討論——例談初中數學“動點問題”的解題指導策略［J］.數學教學通訊，2020（05）：87-88.

［3］王秋葉.如何“以不變應萬變”——淺談初中數學“動點問題”單元教學設計［J］.數理化解題研究，2023（32）：8-10.

［4］鄒騰.運用“動靜結合”策略解初中數學平面幾何動點問題的探究［J］.數學學習與研究，2024（07）：149-151.