一道線段相等證明題的解法探究

【摘要】線段相等問題是初中數學平面幾何部分的核心內容之一，不僅要求學生能夠靈活運用相應的性質進行推理和證明，還要有較強的幾何想象能力.為幫助學生鞏固和拓展相應知識，本文列舉一道典型例題的多種解法，以供讀者參考.

【關鍵詞】初中數學；線段相等；解題技巧

例題呈現" 如圖1所示，已知點C是以AB為直徑的半圓上的一點（AClt;BC），點D在BC上，BD=AC，F是AC上一點，BF交AD于點E，且∠BED=45°.求證：AF=CD.

圖1

問題分析" 分析題目條件可知一個基本結論：△ACB是一個直角三角形.由此思考：

①“BD=AC”中的兩條線段應該如何建立聯系？

②對于條件“∠BED=45°”，應該如何運用？

解法展示

視角1" 找到橋梁，借助“隱形圓”證明線段相等.

從幾何圖形的角度出發，當遇到兩條線段不在同一個三角形或四邊形中時，通過構造等腰直角三角形、平行四邊形、正方形等尋找第三條線段搭起橋梁，然后找到圖形中的“隱形圓”，結合圓的性質定理證明線段相等.

解法1" 如圖2所示，分別過點A，B作BC，AC的平行線，交于點H，過點D作DG⊥AH于點G，連接GE，GB，GF.

因為AB是圓的直徑，

所以∠ACB=90°.

因為AH⊥AC，BH⊥AH，

所以四邊形AHBC為矩形.

因為DG⊥AH，

所以四邊形DGHB是矩形.

因為AC=BH，AC=BD，

所以BD=BH，矩形DGHB是正方形，

∠DGB=45°.

因為∠BED=45°，

所以B，D，E，G四點共圓，

∠GEB=∠GDB=90°.

因為∠FAG=90°，

所以A，G，E，F四點共圓，

圖2

∠FGA=∠FEA=45°.

所以△AFG是等腰直角三角形，AF=AG .

因為四邊形AGDC是矩形，

所以AG=CD，所以AF=CD.

解法2" 如圖3所示，分別過點D，A作AC，DC的平行線，交于點H，連接HB，HE，HF.

因為AB是圓的直徑，

所以∠C=90°.

因為AC∥DH，CD∥AH，

所以四邊形AHDC是矩形，

所以AH=CD，AC=DH=DB.

所以△DHB是等腰直角三角形，

所以∠DHB=∠BED=45°.

所以E，H，B，D四點共圓，

HE⊥FB.

因為HA⊥AC，

所以A，H，E，F四點共圓，

∠AHF=∠AEF=45°.

所以△AHF是等腰直角三角形，

AF=AH，所以AF=CD.

圖3

評析" 這兩種解法都是通過添加輔助線，構造矩形、正方形、等腰直角三角形等基本圖形，將線段建立起聯系，從而利用四點共圓證明角度的大小.

視角2" 構造三角形，借助全等或相似證明線段相等.

當遇到兩條線段不在同一個三角形或四邊形中時，還可以利用全等三角形和相似三角形將線段聯系起來，利用45°角構造等腰直角三角形證明線段相等.

解法3" 如圖4所示，過點D作AD的垂線，過點B作BC的垂線，兩條垂線交于點G，連接AG.

因為∠CAD=90°－∠CDA=∠BDG，∠ACD=∠DBG=90°，AC=DB，

圖4

所以△ACD≌△DBG，

CD=BG，AD=DG.

所以△DAG是等腰直角三角形，

所以∠DAG=45°，∠DAG=∠DEB，AG∥BF.

因為AF∥BG，

所以四邊形AGBF是平行四邊形.

所以AF=BG=CD.

解法4" 如圖5所示，延長AD，交半圓于點G，連接BG，作CH⊥AD于點H.

圖5

因為AB是半圓的直徑，

所以∠BGA=90°，

即∠G=∠CHA=90°.

因為BD=AC，∠CAD=∠DBG，

所以△ACH≌△BDG.

設DG=a，BG=b，

則CH=a，AH=b.

因為∠GEB=45°，

所以EG=BG=b，AE=HG.

由射影定理得DH=CH2AH=a2b，

所以GH=a+a2b=AE.

作FI⊥AD于點I，

因為∠FEI=45°，

設EI=x，則FI=x.

因為FI∥CH，

所以△AFI∽△ACH.

所以AI=bax，x+bax=a+a2b，

解得x=a2b，即FI=DH.

所以△AFI≌△CDH，AF=CD.

評析" 相似三角形是平面幾何問題中的一個重要基本圖形，利用其相似比的性質可以解答許多問題.而全等三角形作為一類特殊的相似三角形，則注重于等量關系的運用，從而證明線段相等.

結語

通過對上述解法的分析可知，解答線段相等問題的關鍵在于建立已知條件和待證條件之間的聯系，并綜合運用諸如相似三角形、隱形圓等平面幾何模型來進行求解.