基于參數化概率盒模型的系統可靠性分析方法

摘要：針對機械系統存在的一類隨機和認知不確定性混合的問題，提出一種基于參數化概率盒（probability box， p-box）模型的系統可靠性分析方法. 基于序列迭代解耦方法獲得單失效模式的最小可靠度指標；針對隨機與認知不確定性混合的多失效模式問題，建立基于參數化p-box不確定性的系統可靠性分析模型；考慮各失效模式之間的相關性，通過線性相關度分析方法計算得到各失效模式間的相關系數矩陣；提出串聯系統和并聯系統可靠性求解方法，與傳統雙層蒙特卡羅采樣方法相比，本文方法具有較高的系統可靠性計算效率，能夠滿足實際工程需求.

關鍵詞：參數化概率盒；可靠性；最大失效概率；多失效模式

中圖分類號：TB114.3 文獻標志碼：A

實際工程中廣泛存在著與環境載荷、物理特性、幾何特性和邊界條件等有關的各種不確定性［1］，針對機械結構不確定性的研究，人們多采用概率模型［2］、模糊模型［3］、非概率凸集模型［4］等來描述系統的不確定性，并根據各自的理論建立相應的可靠性分析方法. 然而，隨機可靠性和模糊可靠性方法都是以概率為基礎的，在樣本數據不足或樣本無法獲得的情況下，則難以構建變量的概率分布函數. 非概率凸集模型雖然只需要不確定性變量的上下界限，并能在一定程度上解決概率方法無法解決的不確定性問題，但會導致過于保守的分析結果. 因此，鑒于概率模型和非概率凸集模型各自的優缺點，近年來發展出了一種新的可靠性分析模型—概率盒（p-box）模型［5-6］. 相比于概率模型和非概率凸集模型，p-box模型既不需要太多的樣本點，也不會浪費相關的不確定性信息，即使在概率信息不充分的條件下也能構建由上下邊界函數所構成的累積分布函數. 因此，p-box模型在結構可靠性分析領域具有重要的工程應用價值，并受到國內外研究人員的關注和重視.

目前，基于p-box模型的不確定性量化與可靠性分析研究已取得了一定的成果. Zhang等［7］提出了一種直接區間蒙特卡羅采樣法，并將該方法應用于含p-box不確定變量的結構有限元分析. Xiao等［8］針對含參數化p-box不確定性的結構可靠性問題，開發了基于頂點分析的采樣方法. Chen等［9］針對參數化pbox不確定均質材料結構-聲場耦合系統的可靠性分析問題，提出了基于一階矩陣分解攝動有限元的區間蒙特卡羅方法. Wei等［10］提出了擴展蒙特卡羅采樣方法進行p-box 可靠性分析及全局敏感性分析.上述采樣類可靠性分析方法往往需要大量重復的采樣計算以獲得可靠的計算結果. 為避免重復耗時的采樣分析，提高p-box可靠性分析的計算效率，Cre?spo等［11］提出一種基于Bernstein多項式展開和區間算法的p-box可靠性分析方法，用于計算結構失效概率的變化范圍. 劉鑫等［12］針對不確定因素對載人空降氣囊座椅防護性能的影響，提出一種基于概率-概率盒混合模型的氣囊座椅防護特性可靠性分析方法. 黃洪鐘等［13］基于多變量函數降維技術和通用生成函數法則，提出p-box不確定性條件下機床主軸可靠性建模與分析方法. Wang 等［14］基于線性規劃理論，提出一種結構p-box可靠性窄界限求解方法. 丁家滿等［15］基于概率盒模型和笛卡兒運算法則，提出一種新的不確定性信息條件下系統可靠性分析方法. 項涌涌等［16］針對參數p-box不確定性情況的模型確認問題，提出面向響應準確度的模型確認方法.Liu等［17］基于最大熵準則，提出了一種p-box不確定性建模及混合可靠性分析方法. Zhang等［18］基于序列優化可靠性評估策略，提出了一種自適應Kriging參數化p-box可靠性優化設計方法. Xie等［19］針對非參數化概率盒的不確定性傳播問題，提出了一種基于降維積分和最大熵的響應函數概率邊界計算方法. Xiao等［20］提出了一種計算模型概率邊界的協同區間擬蒙特卡羅方法. 但是實際工程結構往往復雜多樣，通常涉及多種失效模式或者多個元件的失效狀態，如航空發動機渦輪葉片的失效，可能同時存在蠕變、疲勞和磨損等失效模式，因此結構可靠性實際上是系統可靠性.

相比單一失效模式的可靠性問題，結構系統的可靠性問題通常十分復雜，對于含參數化p-box不確定性的結構可靠性問題目前已有少量研究［21-22］，主要是針對簡單的線性失效模式. 然而在實際工程問題中，失效模式往往是多樣相關且非線性的，直接假設線性失效模式則會導致較大的計算誤差，故發展能解決非線性失效模式的含p-box不確定性的系統可靠性分析方法具有重要的工程意義.

本文用參數化p-box變量來表示系統中的隨機與認知混合不確定參數，并提出了一種新的基于參數化p-box模型的系統可靠性分析方法，可以獲得多個非線性失效模式下系統可靠度的區間. 首先，基于序列迭代解耦方法計算單個失效模式下的結構參數化p-box可靠度；再針對多失效模式問題，建立基于參數化p-box不確定性的系統可靠性分析模型；考慮各失效模式之間的相關性，通過線性相關度方法計算各失效模式間的相關系數；最后分別提出了串、并聯系統可靠性計算方法. 3個數值算例表明，本文方法可以實現含參數化p-box不確定性的多個非線性失效模式下系統可靠度的計算，具有較高的計算效率和精度，能夠滿足工程需求.

1 單失效模式下系統可靠性分析

結構的可靠概率是一個與隨機變量數目有關的高維積分，且極限狀態方程通常是非線性函數，因此給實際工程的應用與分析帶來了較多困難. 為了計算方便，研究者提出了多種計算方法，其中一階可靠性方法［23］（the first order reliability method， FORM）因其方便有效性而得到廣泛應用. 下面對其主要思想進行簡單介紹.

若系統的輸入為隨機變量，且變量之間相互獨立，則單失效模式下結構的失效概率為：

式中：Pr {?} 表示概率；g （X ） 為功能函數；X =（X1，X2，…，Xn ）表示n 維隨機變量；fXi （xi ）是隨機變量Xi 的概率密度函數，i = 1，2，…，n. FORM 方法可以簡化式（1），近似求解結構的可靠度. 首先要對隨機變量開展全概率變換，將原始空間中的隨機向量X映射到標準正態空間中，得到新的標準正態向量U =（U1，U2，…，Un ）T，其映射關系為：

Ui = Φ-1[FXi （xi ） ] （2）

式中：FXi （?）為隨機變量Xi 的累積分布函數；Φ-1 為標準正態變量累積分布函數的逆函數.可進一步獲得如下功能函數映射表達式：

g （X） = g[T （X）] = G （U） （3）

式中：T （X ） 為轉換函數. 如果隨機變量Xi 累計分布函數FXi （xi ） 中存在區間值的分布參數向量θ =（θ1，θ2，…，θm ）T， m 為分布參數的數量，則變量Xi 的參數化p-box形式可以表示為：

F PXi = {FXi （xi，θ）：θ ∈ （θL，θU ）} （4）

式中：F PXi 的上標代表參數化的p-box；FXi （xi，θ ） 為其累計分布函數；上標 L 和 U 分別表示區間的下界和上界，在實際工程中通常采用區間估計方法獲得分布參數的區間. 在式（2）全概率變換過程中，不可避免地將參數化p-box的參數θ 引入標準正態空間中的極限狀態方程中，此時式（3）中的轉換關系為：

g （X） = g[T （X，θ）] = G （U，θ） （5）

若沒有θ 的存在，極限狀態曲線映射到標準正態空間中能得到唯一的一條曲線及其唯一對應的可靠度指標β. 然而在p-box模型中，由于分布參數區間化，原空間中的功能函數映射到標準正態空間后構成的極限狀態曲面不再是一條曲線，而是由兩個邊界面max θG （U，θ） = 0和min θG （U，θ） = 0構成的極限狀態帶［24］，如圖1所示.

極限狀態帶的兩條邊界上最大概率點（mostprobable point， MPP）對應的β 不再是確定值，而是一個變化區間：

β = [ βL，βU ] （6）

式中：βL 為可靠性指標最小值；βU 為可靠性指標最大值.基于FORM方法，可構造如下兩個優化問題［25］，獲得上述極限狀態帶可靠度指標的上、下邊界：

式（7）和式（8）為雙層嵌套優化問題，可采用高效的序列迭代解耦方法［24，26］進行求解，每次迭代過程中依次進行概率分析和區間分析，經過多次迭代最終達到穩定解.

下面以求解最小可靠度指標βL 為例，給出詳細的求解過程. 令第i 步迭代計算得到Ui 和θi，在下一步迭代計算中，固定區間分布參數向量θi，再利用改進的HL-RF迭代法，即iHL-RF［27］求得Ui + 1：

通過上述步驟多次迭代，假如滿足Ui + 1 -Ui /Ui ≤ ε1且| G （Ui + 1，θi + 1 ）| ≤ ε2，其中εi （i = 1，2）為給定收斂誤差，則迭代停止，獲得最小可靠性指標βL = Ui + 1 ；否則，i = i + 1進入下一次迭代；根據pfmax = Φ（-βL ）求得最大失效概率. 同理，類似上述過程求解式（8），并由pfmin = Φ（-βU ）計算出最小失效概率. 在實際工程中，最大失效概率通常是人們最為關心和重視的指標，因此，本文后續將以最大失效概率來分析含參數化p-box不確定性的系統可靠性.

2 多失效模式下系統可靠性分析

第1節中可靠度計算方法解決了單一失效模式問題，但在實際工程中，結構的失效模式通常不止一個，如航空發動機渦輪葉片的失效，可能同時存在蠕變、疲勞和磨損等失效模式；各失效模式因受相同的輸入載荷、幾何和物理參數等因素影響而具有一定的相關性［28］. 實際上，系統可靠性模型一般可分為以下3類［29］：串聯、并聯和混聯系統模型，如圖2所示.

圖2中，Bi （i=1，2，…，a1）和Bj （j=1，2，…，b1）分別為串聯系統和并聯系統中的失效模式.為方便后續理論推導，串聯、并聯和混聯系統的失效概率可統一記為：

式中：a1和b1分別表示串聯和并聯單元數目，當a1=b1 = 1時，式（14）表示串聯系統失效概率；當a1 gt; 1，b1 = 1時，式（14）表示并聯系統失效概率；當a1 = 1，b1 gt; 1時，式（14）表示混聯系統失效概率. 實際上，串聯系統和并聯系統是用來建立任何系統的兩個基本系統，而在混聯系統中，一般可將一個并聯系統作為一個失效模式看待，并可以建立與其對應的功能函數，從而可將并聯-串聯系統可靠性簡化為串聯系統可靠性計算［30-31］，這里不再贅述.

計算含參數化p-box不確定性的系統可靠度的主要困難在于需要考慮存在區間分布參數向量的各失效模式之間的相關性.

2.1 多失效模式間的相關性分析

設含有參數化p-box不確定性的系統具有Ka 個失效模式，各失效模式對應的功能函數為：

gi （X ） = g （X1，X2，…，Xn ）， i = 1，2，…，Ka （15）

基于式（5），將式（15）進行全概率變換，得：

Zi = gi（X） = gi[T （U，θ）] = Gi （U，θ） （16）

為計算各功能函數之間的相關性，可在Zi 的最大概率點（U*，θ* ） 處固定區間分布參數向量θ*，將式（16）對隨機向量U 進行一階Taylor級數展開：

ZLi = ?G i （U*，θ* ） （ β Li - αTU，iU ） （17）

式中：β Li 為對應于功能函數ZLi 的最小可靠度指標，可通過式（9）～式（13）求得；αTU，i 為第i 個失效模式的單位梯度向量，表示為：

由式（18）可進一步計算第i 個和第j 個功能函數間的相關系數［30］.

式中：Cov（ZLi，ZLj ）表示ZLi 和ZLj 的協方差；σZLi 和σZLj分別表示ZLi 和ZLj 的標準差.

2.2 串聯系統可靠性求解

系統極限狀態帶邊界如圖3所示.分析含有參數化p-box不確定性的串聯系統（包含a1 個失效模式），由于存在區間分布參數，原空間中的極限狀態方程映射到標準正態空間后將生成極限狀態曲面“帶”，如圖3（a）所示.

串聯系統曲面帶的下邊界和上邊界可分別表示為：

因此系統失效概率Pf為一區間，其邊界可通過求解如下兩個優化獲得：

本算例考慮了單元1與單元2失效模式相關的并聯系統結構可靠度指標. 懸臂梁可靠度指標如表2所示. 采用雙層采樣方法（double loop sampling，DLS）的計算結果作為參考解，表2中括號內的數為本文方法與DLS計算結果的相對誤差. DLS內外層蒙特卡羅采樣次數分別為105 次和103 次，由表2可知，本文獲得的最小可靠度指標與DLS計算結果的偏差為1.17%.從計算效率來看，當對兩單元的并聯系統進行可靠度分析時，DLS對兩功能函數的調用次數為2×108 次，而本文方法的調用次數為280次.綜上所述，所提方法具有很高的系統可靠性計算精度和效率.

3.2 10 桿桁架

考慮10桿平面桁架結構［35］，如圖5所示. 豎直桿和水平桿的長度均為L = 9.144 m，密度ρ =2 768 kg/m3，彈性模量E = 68 948 MPa. 該桁架左端固定，受到兩個垂直力F1、F2 以及水平力F3 的作用.考慮13個不確定量，相應的分布類型及分布參數取值情況如表3 所示，其中桿件的橫截面積Ai （i =1，2，…，10） 以及節點處所承受的外載荷F1、F2 和F3均為參數化p-box變量.

節點2處的垂直位移dy 不能超過允許值dy max =50 mm，最大應力發生在7桿，構件7的許用拉應力為σmax = 250 MPa，所以結構的功能函數可表示為：

g1（X ） = dy max - dy （X ） （36）

g2（X ） = σmax - σ （X ） （37）

根據平衡方程及兼容性方程，各桿的軸向力Ni， i = 1，2，…，10分別為：

最大位移dy 和構件7的許用應力σmax 分別如下：

式中：N 0i 由式（38）令F1 = F3 = 0，F2 = 1求得.

考慮雙失效模式串聯系統的10桿桁架結構可靠度指標，如表4所示，表4中括號內的數為本文方法與DLS計算結果的相對誤差. 由表4可知，本文獲得的考慮位移失效模式、桿7應力失效模式串聯系統的最小可靠度指標與DLS 計算結果的偏差為1.54%. 此外，從計算效率來看，當對雙失效模式系統進行可靠性分析時，DLS對兩功能函數的調用次數為2×108 次，而本文方法的調用次數為198次，體現了本文方法具有很高的計算精度和效率.

3.3平板電腦

本算例考慮一個平板電腦的系統可靠性問題，如圖6 所示，該平板電腦主要包括如下構件：后殼體、主板、前殼體、觸摸屏、顯示屏、支架、電池. 涉及如下3種極限工況：環境溫度變化過程、自由跌落以及高溫環境.

工況1：在環境溫度變化過程（0～40 ℃）中，因各種材料熱膨脹系數不一致而引起的熱應力可能造成電子元器件失效，考慮電池的最大熱應力Γ BA 不應超過額定值Γ0BA =24 MPa，以保證電池在使用過程中的安全性.

工況2：平板電腦在自由跌落的撞擊過程中，觸摸屏上的最大應力Γ TL 不應超過其材料的破裂強度Γ0TL = 900 MPa；自由跌落的高度設定為0.5 m，平板電腦正面向下進行撞擊.

工況3：在高溫環境下，平板電腦的工作溫度設置45 ℃；主板上的芯片溫度T CH 不能超過其許用的工作溫度T0CH = 70 ℃.

平板電腦的不確定參數分布如表5所示，3種工況的有限元模型如圖7所示，平板電腦的有限元模型信息如表6所示. 為提升效率，對各仿真模型分別采樣60次用以建立二次響應面，平板電腦的功能函數響應面如表7所示.

表8為平板電腦可靠度指標.由表8可知，本文獲得的考慮3種工況下失效模式串聯的結構系統最小可靠度指標為2.432，與其DLS計算結果對比，相對誤差為0.61%.此外，從計算效率來看，當對失效模式串聯系統進行可靠度分析時，DLS方法對功能函數的調用次數為3×108次，而本文方法需要調用功能函數的次數為241次，體現了本文方法不僅能獲得較精確的計算結果而且具有很高的效率.

4 結 論

本文針對含參數化p-box不確定性的結構系統問題，提出了一種有效的系統可靠性分析方法. 首先，基于序列迭代解耦方法獲得單失效模式下結構的最小可靠度指標；然后建立了含參數化p-box不確定性的系統可靠性模型；考慮系統各失效模式之間的相關性，通過在最大可能失效點處固定區間分布參數并結合線性相關度方法計算各失效模式間的相關系數；最后提出了考慮參數化p-box不確定性的串聯系統和并聯系統可靠性計算方法. 本文方法能夠處理一類存在隨機和認知混合不確定性的復雜機械系統可靠性問題. 3個數值算例分析表明，通過對比傳統雙層蒙特卡羅采樣方法的計算結果，本文方法具有較好的計算精度和效率.

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基金項目：國家自然科學基金資助項目（52205263， 51975577）， National Natural Science Foundation of China（52205263， 51975577）； 中國博士后科學基金資助項目（2021M690988），China Postdoctoral Science Foundation（2021M690988）