小學數學圖形與幾何的知識結構及教學建議

【摘 要】新課標倡導核心素養的教學價值取向。文章選取“圖形與幾何”領域的知識，圍繞圖形的認識與測量、圖形的位置與運動這兩個主題，從圖形的認識、圖形的度量、圖形的位置和圖形的運動四個方面，闡述相應的知識結構、關聯的核心素養和對應的教學建議等，為核心素養視域下開展小學數學教學研究提供參考。

【關鍵詞】核心素養 圖形與幾何 教學研究 實施建議

新課標在課程總目標中指出，通過義務教育階段的數學學習，學生逐步會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界；在課程實施中提出明確的要求，為實現核心素養導向的教學目標，不僅要注重教學內容的結構化，而且要注重教學內容與核心素養的關聯。本文圍繞圖形的認識與測量、圖形的位置與運動這兩個主題，從圖形的認識、圖形的測量、圖形的位置和圖形的運動四個方面，討論核心素養視域下小學數學圖形與幾何的教學問題。

一、“圖形的認識”知識結構、核心素養及教學建議

圖形的認識屬于“圖形的認識與測量”這一主題第一板塊的教學內容，圖形認識是圖形測量的重要基礎，包括平面圖形和立體圖形，封閉的平面圖形主要有三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形和圓，立體圖形主要有長方體、正方體、圓柱、圓錐、球，具體如圖1。在數學學習中，圖形的認識一般分為初步認識和再認識兩個階段，在圖形的初步認識中，主要認識圖形的名稱和組成；在圖形的再認識中，主要認識圖形的分類、特征、性質。從本質上看，“圖形認識”是一個由淺入深的過程、從表面到實質的過程、從感性認識到理性認識的過程，圖形的理性認識本質上是圖形的一個量化過程。

關于圖形認識關聯的核心素養，可以從以下三個維度分別進行分析。第一，從“數學眼光”的維度分析，在圖形的名稱和組成中，關聯核心素養的主要表現是“空間觀念”。新課標指出，空間觀念主要是指對空間物體或圖形的形狀、大小及位置關系的認識。因此，在圖形初步認識的教學中，教師不僅應該讓學生經歷從實際物體到幾何圖形的抽象過程，而且應該讓學生經歷從幾何圖形到實際物體的想象過程，將實際物體和幾何圖形及“形狀”和“名稱”建立起一一對應關系，讓學生看到“形狀”就能想到“名稱”，看到“名稱”就能想到“形狀”，對空間物體或幾何圖形的形狀具有初步的直觀認識，從而發展學生的空間觀念，為后續圖形的測量奠定重要基礎。第二，從“數學思維”的維度分析，在圖形的分類、特征、性質中，關聯核心素養的主要表現是“推理意識”，在這里，圖形的分類蘊含演繹推理，圖形的特征、性質蘊含歸納推理。新課標指出，推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟。因此，在圖形分類的教學中，教師應該讓學生經歷從一般到特殊的過程，體會演繹推理的思維過程，積累演繹的經驗；在圖形的特征、性質的教學中，教師應該讓學生經歷從特殊到一般的過程，體會歸納推理的思維過程，積累歸納的經驗，從而發展學生的推理意識。第三，從“數學語言”的維度分析，圖形的名稱、組成、分類、特征、性質等知識，成為幾何學中的特有語言，用這些語言可以從“形狀”的角度表達現實世界，關聯核心素養的主要表現是“應用意識”。新課標指出，應用意識主要是指有意識地利用數學的概念、原理和方法解釋現實生活中的現象與規律，解決現實生活中的問題。因此，教師要通過聯系生活，讓學生感悟到現實生活中蘊含著大量與圖形有關的問題，這些問題可以用圖形的知識加以解釋或用幾何的方法進行解決，從而發展學生的應用意識。

二、圖形測量的知識結構、核心素養及教學建議

圖形的測量屬于“圖形的認識與測量”這一主題第二板塊的教學內容，圖形測量是圖形認識的進一步發展，包括一維幾何量的測量（周長）、二維幾何量的測量（面積）和三維幾何量的測量（體積）。其中，周長計算公式主要有長方形、正方形和圓的計算公式，面積計算公式主要有長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓的計算公式，體積計算公式主要有長方體、正方體、圓柱、圓錐的計算公式。圖形的測量是圖形理性認識中量化的結果，周長是圖形一維量化的結果，面積是圖形二維量化的結果，體積是圖形三維量化的結果。從本質上看，周長、面積、體積都是積分的結果，周長是點無窮累積的結果，面積是線段無窮累積的結果，體積是面無窮累積的結果。周長公式、面積公式、體積公式從本質上看都是一種函數關系，比如，C=2πr是一個一元函數，說明圓的周長C與一個變量（半徑r）有關；S=a×b是一個二元函數，說明長方形的面積S與兩個變量（長a、寬 b）有關；V=a×b×c是一個三元函數，說明長方體的體積V與三個變量（長a、寬b、高c）有關。

對于圖形測量關聯的核心素養，可以從以下三個維度分別進行分析。第一，從“數學眼光”的維度分析，在度量單位（包括長度單位、面積單位、體積單位）的教學中，關聯核心素養的主要表現是“量感”。新課標指出，量感主要是指對事物的可測量屬性及大小關系的直觀感知。因此，在度量單位的教學中，教師不僅要讓學生知道度量的意義，感知長度、面積、體積可以測量，理解統一度量單位的必要性，而且要幫助學生直觀建立度量單位中一個標準量的大小，并能用一個標準量去估測物體的大小，會在真實情境中選擇合適的度量單位進行度量，并能進行不同度量單位的換算，從而發展學生的量感，為圖形的測量奠定重要基礎。第二，從“數學思維”的維度分析，在周長、面積、體積公式的推導中，關聯核心素養的主要表現是“推理意識”。比如，長方形周長公式可以憑借歸納推理進行推導，正方形是特殊的長方形，因此，正方形的周長公式可以憑借演繹推理進行推導；長方形面積公式可以憑借歸納推理進行推導，正方形是特殊的長方形，因此，正方形的面積公式可以憑借演繹推理進行推導；平行四邊形、三角形、梯形和圓的面積公式都可以運用轉化思想、憑借演繹推理進行推導；長方體體積公式可以利用長方形面積公式、憑借類比推理進行推導，也可以借助正方體密鋪、憑借歸納推理進行推導，正方體體積公式可以憑借演繹推理直接進行推導；圓柱體積公式可以利用圓面積探索經驗、憑借類比推理和演繹推理進行推導，圓錐體積公式可以通過動手實驗、憑借演繹推理進行推導。因此，教師在公式推導的教學中，應該讓學生經歷“從特殊到一般”“從一般到特殊”“從特殊到特殊”的過程，體會歸納推理、演繹推理和類比推理的思維過程，積累數學思考的經驗，從而更好地發展學生的推理意識。第三，從“數學語言”的維度分析，周長公式、面積公式、體積公式等，成為幾何學中的度量語言，用這些語言可以從“大小”的角度表達現實世界，關聯核心素養的主要表現是“模型意識”。新課標指出，模型意識主要是指對數學模型普適性的初步感悟。從本質上看，周長公式、面積公式、體積公式本身就是常見的數學模型。因此，教師在教學中要讓學生感悟到現實生活中物體的大小問題常常與周長、面積、體積有關，可以歸結為某個數學模型進行解決，同時，要讓學生知道一個數學模型（數學公式）不只是可以用來解決一個數學問題，而是可以用來解決一類數學問題，從而更好地發展學生的模型意識。

三、圖形位置的知識結構、核心素養及教學建議

圖形的位置屬于“圖形的位置與運動”這一主題第一板塊的教學內容，圖形位置是圖形運動的重要基礎，廣義上包括描述相對位置和描述精準位置兩種，描述相對位置主要采用方位詞表達的方式，新課標把這些內容移到“綜合與實踐”領域，描述相對位置的方位詞可以分成三類：一是前后、左右、上下，二是東、南、西、北，三是東北、東南、西北、西南。描述精準位置主要采用量化表達的方式，新課標把這些內容安排在“圖形與幾何”領域。描述精準位置的表達方式可以分成兩類：一是用有序數對表示平面上點的位置，二是用觀測點、方向和距離確定空間中物體的位置（圖2）。圖形的位置本質上是從定性描述走向定量描述，從描述相對位置走向描述精準位置，在三維空間中，描述物體相對位置的方位詞：前后、左右、上下——關鍵在于確定“前”，東、南、西、北——關鍵在于確定“東”。用有序數對描述平面上點的精準位置和用觀測點、方向與距離描述空間中物體的精準位置，這兩種描述位置的方式本質上是一致的，都是位置二維量化的結果。

在“圖形與幾何”領域，描述精準位置的兩種方式關聯的核心素養，可以從兩個角度進行分析。一是從“數學眼光”的維度分析，主要表現在空間觀念和符號意識上。新課標指出，符號意識主要是指能夠感悟符號的數學功能。因此，教學時不僅要讓學生通過動手操作和動腦思考的方式，學會用有序數對表達平面上點的位置，以及用觀測點、方向和距離表達空間中物體的位置，發展空間觀念，而且要讓學生通過自主嘗試和合作交流的方式，應用數學符號表示物體的位置，感悟符號的數學功能，發展符號意識。二是從“數學語言”的維度分析，有序數對及觀測點、方向和距離等知識，成為幾何學中精準表達物體位置的語言，用這些語言可以從“量化”的角度表達現實世界，關聯核心素養的主要表現是“應用意識”。因此，教師在教學時要通過舉例子的方式，讓學生感悟到現實生活中蘊含著大量與位置有關的問題，可以用有序數對或觀測點、方向和距離等知識進行解決，從而發展學生的應用意識。

四、圖形運動的知識結構、核心素養及教學建議

圖形的運動屬于“圖形的位置與運動”主題第二板塊的教學內容。圖形運動是圖形位置發生變化的過程，主要包括平移、旋轉和對稱，平移包括“點（頂點）的平移”“線（線段）的平移”“面（圖形）的平移”；旋轉包括“點（頂點）的旋轉”“線（線段）的旋轉”“面（圖形）的旋轉”；對稱從運動對象的角度看，包括“點（頂點）的對稱”“線（線段）的對稱”“面（圖形）的對稱”，從運動參照的角度看，包括“關于點（中心）的對稱”“關于線（軸）的對稱”“關于面（坐標平面）的對稱”。平移、旋轉、對稱從運動的角度看，本質上都是一種剛體運動，即圖形的位置變了，圖形內部任意兩點之間的距離沒有改變，即位置變了，形狀和大小不變。平移、旋轉、對稱從變換的角度看，本質上是一種恒等變換（全等變換），它與相似變換構成圖形變換的兩種主要方式。

在“圖形與幾何”領域，平移、旋轉和對稱這三種圖形運動方式關聯的核心素養，可以從兩個角度進行分析。一是從“數學眼光”的維度分析，主要表現在空間觀念上，在三種圖形運動方式中，“點（頂點）”的平移、旋轉和對稱是教學的基礎，“線（線段）”的平移、旋轉和對稱是教學的關鍵，“面（圖形）”的平移、旋轉和對稱是教學的目標。因此，教師在教學時要通過動腦想象和動手操作的方式，由淺入深、深入淺出，讓學生經歷“點（頂點）”“線（線段）”“面（圖形）”的運動過程，感悟圖形運動的本質——位置變了，形狀、大小不變，發展學生的空間觀念。二是從“數學語言”的維度分析，平移、旋轉、對稱等知識是描述圖形運動的語言，可以用這些語言從“運動”的角度表達現實世界，關聯核心素養的主要表現是“應用意識”。因此，教師在教學時要通過列舉生活例子的方式，引導學生從平移、旋轉、對稱的角度欣賞生活中美麗的圖案，通過借助方格紙，引導學生利用基本圖形的平移、旋轉、對稱設計精美圖案，感受數學的美，從而發展學生的應用意識。

注：本文系福建省“十四五”規劃課題“協同理論視域下UGSS合作職前職后教師職業能力整體性發展模式研究”（課題編號：FJJKBK22-062）的階段性研究成果。