“雙減”背景下的小學數學建模實踐研究

【摘 要】源于真實情境的數學建模實踐，有助于學生模型意識的形成與發展，能幫助學生體驗數學在解決真實問題中的價值和作用，發展核心素養。文章論述“午休睡墊與桌椅擺放再優化”數學建模實踐項目的實施過程，為小學數學建模的開展提供參考。

【關鍵詞】“雙減” 小學數學建模 模型意識 核心素養

數學建模作為數學應用的一種方式，為學生提供了自主學習的空間，建立了數學與現實世界的雙向聯系，響應了數學課程改革的落地實施需求，貫徹落實立德樹人根本任務。在此背景下，筆者所在項目組選取“午休睡墊與桌椅擺放再優化”這一現實問題，在六年級開展了數學建模實踐活動。學生經歷了選題、開題、做題、結題四個階段，在建模實踐過程中開闊數學視野，形成思維習慣，提升數學水平，增強實踐意識。本項目設計思路具體如圖1。

一、源于真實生活情境的數學建模實踐

數學建模活動是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的過程。現實情境是問題的基礎。在小學階段進行數學建模實踐，更需要關注該學段學生在研究數學建模問題時對現實生活經驗和幾何直觀的高需求。在學生自主開展數學建模研究時，若情境與經驗脫離學生的認知，則研究是很難進行的。新課標提出，“引導學生在真實情境中發現問題和提出問題”，也同樣強調了真實情境的重要性。數學建模實踐的開展首先要創設真實的生活情境，在實際問題中提煉出需要研究的核心問題。

（一）真實的生活情境

自學校實行午休在班全面躺睡以來，每班在校參加午休的學生人數不等，班級中參加的人數最少的只有十幾個，人數多的甚至超過40個。高年級學生體型較大，在校午休人數較多，而教室內面積有限，按照目前的睡墊擺放方式進行躺睡，學生間較擁擠，容易相互影響，降低午睡質量。

（二）面臨的實際問題

在校午休的過程中，學生根據自己的生活體驗和現實需求，對能否在現有條件下進一步提高午休舒適度進行了思考，發現要想提高午休舒適度，最可行的方法是調整課桌椅和睡墊的擺放，提高教室的空間利用率，從而盡可能多地在教室內鋪設睡墊，讓每個人躺睡的位置變得更寬敞些。經過討論，學生將本次建模實踐活動的核心問題確定為“如何對午休時睡墊和課桌椅的擺放位置進行再優化”。

二、有別于問題解決的數學建模實踐

同樣源于真實生活情境、用數學方法解決問題，數學建模與問題解決既有聯系又有區別。常見的數學問題，是在現實情境基礎上進行提煉和加工，進而呈現出一個條件充分、一定有解的理想化問題。而數學建模要面對的現實生活情境往往還包含了一些非數學的現象，需要我們對問題發生的情境進行提煉，對問題的影響因素加以區分。建模過程中，如何獲得數學信息、形成解題思路，都需要學生自行探索、設計、思考和完成。在這個過程中涉及的知識點也可能是多元的，甚至未必存在明確的最優解。因此，數學建模的難度遠高于一般的問題解決。

為確保數學建模實踐活動的順利開展，在做題之前，學生需要對數學建模核心問題的影響因素進行全面分析，區分有關變量和無關變量，針對相應的影響因素進行合理假設。

（一）分析影響因素

學生對“如何對午休時睡墊和課桌椅的擺放位置進行再優化”這一問題的影響因素進行了討論。經討論和整理，明確本項目的影響因素如下：教室的長和寬，桌椅的長和寬，已有睡墊的長和寬，睡墊的數量，桌椅的數量，參加午休的男女生人數（需要分區安排躺睡），鋪睡墊后要留出人通過的走道寬度。

（二）提出合理假設

在研究解題方案的過程中，上述影響因素的變化會對解題方案的探索產生影響，為了凸顯問題本質，在正式開展研究前需要對其中的一些因素進行量化。學生在討論解題步驟時，進行了以下假設：

假設1：教室、課桌椅、睡墊都看作一個規則的長方形，教室講臺與地面的高度差不可忽略；測量課桌椅的長和寬時需要將書包的大小等考慮在內。假設2：每班男女人數比例為3∶2，躺睡區域應至少能滿足40人的躺睡需求。假設3：每個人躺睡的面積一樣多，以六年級學生中體型最大的人作為參考，每張睡墊可躺下4名學生。假設4：每班有50套課桌椅，午休時需要放置在教室內。假設5：睡墊的數量足夠多。

（三）討論實施步驟，形成解題思路

根據對問題的理解、對影響因素的把握和提出合理假設后對問題的進一步明確，學生在教師的指引下確定了后續的實施步驟（圖2）。

三、在檢驗中不斷完善的數學建模實踐

對于數學建模而言，檢驗模型是否符合實際是必須認真對待的，如果在檢驗的過程中發現與實際情況相差較大，則需要修改假設，從頭再來。經過反復檢驗數學模型，能大大提高其與現實情況的吻合度。

（一）初次建立模型

1.測量教室數據

學生經歷了測量、交流數據、復測確認后，根據實際測量數據和平面圖繪制用紙的大小，選擇了1∶50的比例尺，繪制了教室的平面圖。學生在測量過程中發現，教室前門角落處、后門角落處各有一根柱子，教室后方有一排儲物柜，均無法移動，規劃方案時不可將教室整體看作一個規則的長方形；與地面存在高度差的講臺部分是一個不規則的多邊形，規劃講臺的面積使用時可將其看作是長方形與三角形的組合，需要考慮兩個三角形轉角的位置能否利用。根據以上的發現，學生對假設1進行了修改。

2.測量桌椅數據

學生在測量桌椅的長和寬時，發現每個學生的書包厚度不一，會導致桌椅擺放在一起時的占地面積發生改變，書包內容物越多，所需要的占地面積越大。那么在設計方案時，是該按照平均值來計算桌椅的占地面積，還是按照最大值來計算呢？學生就此問題展開了進一步的討論和研究，并在研究過程中發現了將桌椅占地面積最小化的方法：午休需要挪動桌椅時，將書包放在桌面上，就能使得每一套桌椅的占地面積都一樣，并且占地面積最小。由此，學生確定了將每套桌椅的占地圖形看作是一個長60厘米、寬50厘米的長方形，并修改了假設1。

3.測量睡墊數據

睡墊是統一購買的180cm×200cm的墊子，經測量，數據無誤。在使用過程中，可以整張使用（一般可供4人躺睡）或拆分成兩個半張在位置較小的區域使用（每半張可安排1～2人躺睡）。

4.初次規劃優化方案

最初思考優化方案時，部分學生會將這個問題看作是鋪地磚問題，認為可以按照鋪地磚問題的解題方案，用“（教室面積－桌椅總占地面積）÷睡墊面積”來計算可以鋪多少張墊子，但這樣的計算方式忽略了桌椅和睡墊的整體性和可移動性。桌椅和睡墊都是完整的整體，長和寬都是固定的，并且50套桌椅可以分開擺放，睡墊也可以分開擺放。比起紙上談兵，在找不到思路的時候，動手擺一擺是更好的操作，但桌椅太多、太重，如果要用實物進行操作并不方便。因此，學生按照1∶50的比例尺將桌椅和睡墊等比例縮小，制作成可移動的紙片，在教室平面圖中嘗試擺放和移動，規劃優化方案。

方案一：將所有桌椅堆放于教室外側，講臺及教室內側空地用于擺放睡墊，教室內側共鋪設完整睡墊12張，每張睡3人；講臺鋪設2張半張睡墊，每半張睡2人，合計可滿足40人躺睡且比之前每張睡墊睡4人寬松。

方案二：將桌椅分別擺放于教室兩側，講臺及教室中間位置用于擺放睡墊，同樣擺放了12張整張睡墊和2張半張睡墊，教室中間共鋪設完整睡墊12張，每張睡3人；講臺鋪設2張半張睡墊，每半張睡2人，合計可滿足40人躺睡。比之前每張睡墊睡4人寬松。

方案三：將桌椅分別擺放于講臺上、教室兩側、教室中間（用于隔斷）。剩余空間共擺放了8張完整睡墊和2張半張睡墊。按照原來每張睡墊睡4人，僅能滿足36人躺睡，不滿足要求。

5.初稿匯報展示，互評提議

學生在各組匯報初稿設計模型后對呈現的方案進行了討論和分析，提出了一些修改建議。方案一和方案二的人均躺睡面積實現了優化，但在設計桌椅擺放時未考慮留出疏散的安全通道，將教室前后門堵住了，需要加以改進。方案三盡管利用了講臺的邊角位置，但走道留空太多，空間利用率降低了，方案僅適用于一些午休人數較少的班級，需要調整。除此以外，方案一和方案二在制作縮小模型時誤差較大，導致可擺放睡墊數據明顯偏大，與現實情況存在較大偏差，需要進行修正。

（二）再次建立模型

學生根據初稿的互評提議，對優化模型方案進行了調整，提出了如下方案：

方案一：講臺上放空間用于擺放桌椅，經實測，當所有書包放置于桌面上時可擺放兩排。其余桌椅靠墻擺放或用于隔斷分區。共能擺放10張完整睡墊和2張半張睡墊。

方案二：桌椅擺放于講臺上方、教室靠外側和用于隔斷，共能擺放11張完整睡墊和1張半張睡墊。學生認為午休時要脫鞋，可以光腳踩在睡墊上通行，因此走道預留空間較少。

方案三：桌椅擺放于教室前后兩側及中間隔斷，共能擺放9張完整睡墊和3張半張睡墊，并考慮用課桌桌面搭建二層區域，可再擺放3張半張睡墊。

以上方案經過實際測試，均能夠實現。每張睡墊能睡3～4人，方案一能滿足34～44人躺睡；方案二能滿足35～46人躺睡；方案三不考慮二層空間情況下能滿足32～42人躺睡。

四、總結反思，拓寬視野

經歷本次建模實踐后，學生真正感知到數學有“用武之地”，學生的數感、量感、運算能力和應用意識有了明顯的提高，對于數學模型解決問題的普適性也有了初步的感悟，形成了一定的模型意識，在數學學習的主動性和興趣方面也有了明顯的正反饋。本項目共經歷兩輪檢驗，得到了一個應用于學生生活實際的優化模型，學生在此過程中掌握了解決此類優化問題的方法和思路，獲得了較強的知識運用與實踐的能力。通過回顧情境和問題的特點，學生經過討論發現，本次建模實踐的方法還可用于解決其他布局問題，如體育館座位安排、停車場車位設計、校運會大本營安排等。學生從一個問題的解決思路看到了一類問題解決思路。

在本次數學建模實踐活動中，筆者從建模“新手”研究選題摸索前行到和學生一起完成本項目的所有活動，積累了很多彌足珍貴的實踐活動經驗，后續會將本次活動經驗投入更多的可以促進學生核心素養發展的活動中。

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注：本文系2022年廣州市教育科學規劃課題“‘雙減’背景下數學建模在小學中的實踐研究”（課題編號：202214286）的研究成果。