旋轉預扭梁振動特性理論與實驗研究

摘要： 針對工程中的旋轉預扭梁振動問題，提出了一種有效的建模方法研究其振動特性，并設計了旋轉實驗驗證理論研究的準確性。通過調節(jié)邊界彈簧剛度模擬不同邊界約束，采用修正傅里葉級數(shù)法對位移場進行展開，利用瑞利?里茲法推導旋轉梁的運動方程。基于理論研究設計不同尺寸的旋轉直梁和預扭梁的振動實驗，將理論計算與有限元仿真、實驗結果對比驗證了本文方法的準確性，通過誤差分析驗證了存在彈性邊界的可能。結果表明：轉速和厚度增大使梁的固有頻率增大；預扭角增大對1階固有頻率影響較小，可顯著減小2階固有頻率。

關鍵詞： 旋轉梁； 彈性約束； 修正傅里葉級數(shù)； 旋轉實驗

中圖分類號： O327""" 文獻標志碼： A""" 文章編號： 1004-4523（2025）02-0232-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.02.002

收稿日期： 2023-03-28； 修訂日期： 2023-05-10

基金項目："國家自然科學基金資助項目（12272165，51805250）

Theoretical and experimental study on the vibration characteristics of rotating pre-twisted beams

XIONG Xingxing， SU Zhu， MA Xiaohu

（State Key Laboratory of Mechanics and Control for Aerospace Structures，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China）

Abstract： Aiming at the vibration problem of rotating pre-twisted beams in engineering， an effective modeling method is proposed to study their vibration characteristics. Rotating experiments are designed to verify the accuracy of theoretical research. By adjusting the boundary spring stiffness， different boundary conditions are simulated. The displacement field is expanded using the modified Fourier series method， and the motion equation of the rotating beam is derived using the Rayleigh-Litz method. Based on the theoretical research， vibration tests of rotating straight beams and pre-twisted beams with different sizes are designed. The accuracy of this method is verified by comparing the theoretical calculations with finite element simulations and experimental results. The possibility of elastic boundaries is also verified through error analysis. The results show that the natural frequency of the beam increases with the increase in rotating speed and thickness. The increase in pre-twist angle has a minimal effect on the first-order natural frequency but significantly reduces the second-order natural frequency.

Keywords： rotating beam； elastic constraint； modified Fourier series； rotation experiment

旋翼和葉片作為動力系統(tǒng)的組成部分在整個機械系統(tǒng)中起著至關重要的作用，若其損壞將導致事故的發(fā)生。因此，研究這類結構的振動特性具有重要工程意義。

很多旋轉梁的研究都建立在經(jīng)典邊界條件下。YOO等［1］通過一組混合變形變量考慮旋轉產(chǎn)生的離心力影響，推導了旋轉梁軸向、弦向和垂向的運動方程。基于von Karman非線性應變和相應的線應力，KIM等［2］利用Hamilton原理推導了旋轉梁的運動方程，通過將固有頻率與其他文獻進行比較證明了這種方法的可靠性。RAMESH等［3］研究了旋轉預扭曲功能梯度懸臂梁的振動固有頻率，系統(tǒng)地分析了系統(tǒng)參數(shù)對旋轉懸臂梁固有頻率的影響。但由于制造工藝和裝配技術的限制，且隨著長期服役，導致邊界約束弱化，工程上很難實現(xiàn)經(jīng)典邊界。這類邊界條件若等效為彈性邊界顯然更加合適。ADAIR等［4］引入阿德米安修正分解法（Adomian modified decomposition method）對在彈性邊界下水平旋轉歐拉梁的振動問題進行研究。SU等［5］基于Timoshenko梁理論，采用修正傅里葉級數(shù)法對功能梯度壓電曲梁進行了自由振動與瞬態(tài)振動分析，通過與現(xiàn)有文獻結果及有限元結果進行比較驗證了該方法的準確性。LI等［6］采用正交多項式作為容許函數(shù)，建立了一種具有彈性約束的變厚度預扭葉片的動力學模型，得到了旋轉預扭葉片的運動控制方程和模態(tài)。LI等［7］利用切比雪夫多項式理論推導了具有干摩擦支承邊界條件的旋轉梁的動力學微分方程。XU等［8］通過將容許位移函數(shù)統(tǒng)一擴展為雅可比多項式的形式，解決了旋轉梁在不同邊界條件下的自由振動問題。

在現(xiàn)有研究中涉及旋轉梁振動模態(tài)的實驗較少，旋轉實驗的一個難點在于對旋轉件的激勵方式，常見的激勵方式有力錘敲擊和激振器激勵。但一方面，敲擊高速旋轉的梁結構難度大、危險系數(shù)高。另一方面，由于旋轉產(chǎn)生的離心力，若直接與激振器連接極容易對梁結構造成損壞。因此，必須尋找一個更加安全可靠的激勵方式。祝發(fā)榮等［9］建立了一個簡單的旋轉懸臂梁實驗模型，從實驗結果可以看出隨著轉速的增大，耦合梁的振動頻率有增大的趨勢，但由于旋轉圓盤不固定和旋轉機械造成的非線性影響等因素，實驗結果并不明顯。MAHMOODI等［10］使用電磁慣性致動器對梁進行掃頻分析，使用激光位移傳感器獲得了梁的非線性振動頻率，實驗結果與多尺度法求得的理論結果吻合較好。QIAN等［11］利用基于相機的三維運動分析系統(tǒng)對旋轉軸進行了振動實驗，提出了一種共軛分解法對動態(tài)響應進行時頻分析。張春芳［12］基于雙目立體視覺原理和三維重構原理，用相機對懸臂梁的振動過程進行記錄并對圖片進行后處理，得到了梁上多個測點的位移曲線，相機測量結果與激光測振儀測量結果基本一致。景帥帥［13］用拉拽繩子的方式給旋翼實驗臺一個未知激勵，以測量鋁合金旋翼的固有模態(tài)。LEI等［14］通過揚聲器產(chǎn)生的正弦聲信號作用于微梁以獲取梁的共振響應，結果表明：隨著微梁厚度的減小，梁的無量綱固有頻率和無量綱彎曲剛度隨之增大。黃志誠等［15］設計了懸臂黏彈夾芯梁的振動實驗，從響應圖譜中直接讀出了梁的固有頻率，并利用半功率法獲得相應的損耗因子。柴玉陽等［16］設計了不同邊界組合下矩形板的振動實驗，通過調節(jié)理論模型中邊界約束彈簧的剛度模擬不同邊界，驗證其理論模型的正確性。

基于上述研究，本文建立一個彈性約束下的旋轉預扭梁模型，采用修正傅里葉級數(shù)法對梁的位移場進行展開，利用瑞利?里茲法推導旋轉梁的運動方程，求解運動方程可獲得不同邊界約束下旋轉梁的固有頻率及振型。通過調整虛擬彈簧剛度分析其對旋轉梁振動特性的影響。設計旋轉直梁和預扭梁的振動實驗，并將理論結果與有限元結果、實驗結果對比以驗證理論分析的準確性，通過誤差分析驗證了存在彈性邊界的可能。

1 理論模型

1.1 彈性邊界下旋轉預扭梁

圖1（a）為一預扭梁與旋轉輪轂彈性連接的示意圖，輪轂旋轉帶動梁旋轉，轉速為Ω，輪轂半徑為r。梁的原長為l，密度為ρ，材料楊氏模量為E，梁截面的弦向和垂向慣性矩分別為Iy和Iz，截面積為A，梁的預扭角隨著軸線方向均勻增大，最大預扭角為α。為便于表達在系統(tǒng)中建立了三個坐標系：輪轂坐標系XYZ、梁根部的坐標系xyz和端部的坐標系abc。軸X、x和a共線，Z軸是圓柱輪轂的中心軸，z軸與Z軸平行，c'軸和b'軸分別為c軸和b軸在yNz平面的投影。對于細長梁而言，彎曲與拉伸之間的耦合對系統(tǒng)的振動結果影響較小，所以在本文的研究中忽略與軸向運動相關的項。v和w分別表示梁中軸線上任一點P變形后在軸y、z上的投影。梁邊界的連接方式如圖1（b）所示，由兩個線彈簧kv和kw和兩個扭簧Kv和Kw表示彈性約束。

對于Euler?Bernoulli梁，旋轉預扭梁的應變能可表示為：

（1）

式中，I2、I3為梁任意界面的慣性矩；I23為梁任意界面的慣性積。與扭轉角的關系可表示為：

（2）

其中，θ為任意截面與根部截面的夾角，θ=αx/l。

將邊界等效為由彈簧支撐的彈性邊界，則產(chǎn)生的彈性勢能為：

（3）

由離心力引起的軸向收縮勢能可表示為：

（4）

其中，F(xiàn)s為離心力，表達式為：

（5）

則系統(tǒng)的總勢能為：

（6）

梁內任一點P的絕對速度為：

（7）

式中，i、j、k分別為x、y、z向的單位向量。則梁的動能可表示為：

（8）

1.2 修正傅里葉級數(shù)法

為解決彈性邊界問題，采用修正傅里葉級數(shù)法將位移函數(shù)展開為下列形式：

（9）

式中，M為截斷數(shù)；λm=mπ/l；Bm和Cm為傅里葉級數(shù)展開式的系數(shù)；P1、P2、P3和P4為輔助函數(shù)，所選輔助函數(shù)需在區(qū)間［0，l］內封閉，在梁內任意一點處三階可導且連續(xù)，以消除邊界上的不連續(xù)項；bn和cn（n=1、2、3、4）表示輔助函數(shù)的系數(shù)。本文可選擇以下形式的輔助函數(shù)：

（10）

對于自由振動分析，梁的拉格朗日函數(shù)可用系統(tǒng)的勢能和動能表示為：

（11）

將由修正傅里葉級數(shù)展開式表示的動能和勢能代入到式（11）中，對位移展開式中的未知系數(shù)求導并設為0：

（12）

可整理出共2（M+5）個方程，將上式整理為下列矩陣形式：

（13）

式中，表示梁的固有頻率；K為剛度矩陣；M為質量矩陣；G為所有傅里葉級數(shù)未知系數(shù)組成的向量：

（14）

通過求解式（13）的特征方程可以獲得彈性約束下旋轉預扭梁固有頻率以及對應的模態(tài)振型。

2 數(shù)值分析

2.1 彈性邊界的影響

為了便于比較，令所有等效邊界彈簧剛度相等，即kv =Kv=kw=Kw=K，數(shù)值結果采用無量綱參數(shù)的形式表示，無量綱參數(shù)如下：

（15）

通過調節(jié)邊界彈簧的剛度，可以實現(xiàn)任意邊界條件的約束。圖2給出了不同條件下旋轉預扭梁前4階固有頻率隨彈簧剛度的變化趨勢，從圖中頻率的變化趨勢可以看出，隨著彈簧剛度的增大，前4階固有頻率的變化可分為3個區(qū)間：第一區(qū)間各階固有頻率較小甚至為0，這時邊界約束較小，這一區(qū)間可以看作是自由邊界；第二區(qū)間各階固有頻率隨著彈簧剛度的增大而增大，這一區(qū)間可以看作是彈性邊界；第三區(qū)間即K≥108，這一區(qū)間隨著彈簧剛度的持續(xù)增大，固有頻率基本不變，說明這一階段彈簧剛度的變化對固有頻率影響不大，此時約束可近似看作固定邊界。

2.2 收斂性分析

為了驗證本文所建模型的穩(wěn)定性與準確性，進行收斂性分析。表1給出了當K=1010時，取不同截斷數(shù)M時旋轉預扭梁的前5階固有頻率，由表可知，隨著所取截斷數(shù)的不斷增大，固有頻率逐漸收斂，表現(xiàn)出良好的收斂性。考慮計算效率，截斷數(shù)M取為15。

3 實驗研究

3.1 實驗裝置

旋轉梁的振動實驗中由于梁在旋轉，其激勵方式一直是困擾學者的一個問題。傳統(tǒng)的激勵方式有力錘敲擊和激振器激勵，敲擊能夠高效地激發(fā)出梁的多階共振頻率，激振器激勵則能精準地確定梁的共振頻率。但這兩種方式在旋轉梁中運用都比較困難。

本文采用一種利用電磁鐵激勵的激振方式，將電磁鐵置于梁下方合適位置，當梁旋轉至電磁鐵上方時按下開關使磁鐵產(chǎn)生瞬時的吸力，梁受到吸力產(chǎn)生振動。多次實驗后證明這種方法能夠有效激起旋轉梁的各階共振頻率。圖3所示為旋轉梁實驗平臺，為了模擬邊界約束，設計了鋁合金夾具，并在梁上方固定另一根等質量的梁防止旋轉偏心以引起劇烈振動，在等質量梁與夾具間夾一層塑料以免夾具與試件發(fā)生耦合。

為了能取得較好的振動效果，所選取的梁試件必須有較大的剛度和相對小的阻尼，使梁在受激勵后振動的時間盡可能長。圖4分別為利用機加工和3D打印技術制作的直梁和預扭梁試件，直梁采用65Mn彈簧鋼材料，預扭梁采用MS1模具鋼材料，具體材料參數(shù)如表2所示。

表2"兩種梁試件的材料參數(shù)

Tab.2"Material parameters of two kinds of beam specimens

梁試件""" 材料名稱"""""" 密度/

（g·cm-3）""""" 楊氏模量/GPa"""""" 泊松比

直梁"""""" 65Mn彈簧鋼" 7.81 198.6""""" 0.26

預扭梁""" MS1模具鋼"" 8.00 170.0""""" 0.26

3.2 旋轉直梁實驗結果

在搭好實驗平臺和完成準備工作后，分別測量旋轉直梁在轉速為0、200、400和600 r/min時的固有頻率。為確保實驗的普適性和準確性，使實驗結果更加明顯，在理論分析的基礎上，直梁的旋轉實驗中選取梁長200 mm、寬20 mm，厚度分別為1和1.5 mm的梁作為對照實驗。

厚度為1 mm的直梁試件在不同轉速下的加速度信號和對應的頻響曲線如圖5和6所示。

厚度為1.5 mm的直梁試件在不同轉速下的加速度信號和對應的頻響曲線如圖7和8所示。

圖5和7分別為不同轉速下厚度為1和1.5 mm的旋轉直梁的時域信號，在開始記錄時有一個明顯的激勵信號，說明電磁鐵激勵有明顯且穩(wěn)定的效果，當轉速較高時可以發(fā)現(xiàn)加速度信號并沒有消失，由于實驗平臺的旋轉機械并不是完全同心的，旋轉引起的偏心問題帶動實驗臺振動，但這個振動頻率并不與旋轉梁發(fā)生共振且相對于共振響應較小，所以可以忽略它的影響。圖6和8分別為不同轉速下厚度為1和1.5 mm的旋轉直梁的前兩階固有頻率的頻響曲線，可以發(fā)現(xiàn)隨著轉速的加快會出現(xiàn)一些雜波，這是由旋轉偏心引起的，相較于共振波峰這些雜波較小且不穩(wěn)定。在實驗過程中進行多次測量以保證獲得準確的不同轉速下的旋轉梁固有頻率。結果表明：隨著轉速的增大，各階固有頻率增大；隨著厚度的增大，各階固有頻率增大。

表3和4分別為不同轉速下厚度為1和1.5 mm旋轉直梁的前兩階固有頻率實驗結果與本文基于固支邊界下旋轉梁的理論結果和COMSOL仿真結果的對比，理論結果是將邊界剛度調整為等效固支邊界條件（取K=1010）下獲得的，COMSOL仿真采用自由四面體網(wǎng)格，單元個數(shù)為42684個。理論結果（ft）與實驗結果（fe）之間的誤差計算公式如下式所示：

（16）

從表3和4中可以看出，理論結果與COMSOL仿真結果基本一致，最大誤差不超過0.55%，證明了理論結果的正確性；同時，理論和仿真結果都與實驗結果有一定誤差，最大可達4.35%，說明實驗中夾具并不能使邊界達到理想的固支條件，邊界約束弱化令旋轉梁固有頻率偏小，進一步證明了分析彈性邊界問題的必要性和本文理論方法的準確性。

3.3 旋轉預扭梁實驗結果

分別測量旋轉預扭梁在轉速為0、200、400和600 r/min時的固有頻率。為確保實驗的普適性和準確性，使實驗結果更加明顯，在理論分析的基礎上，預扭梁的旋轉實驗中選取梁長200 mm、寬20 mm，厚1.5 mm、預扭角15°，厚1.7 mm、 預扭角15°和厚1.7 mm、預扭角30°的三根梁作為對照試驗。

圖9～14分別為厚1.7 mm、預扭角30°，厚1.7 mm、預扭角15°和厚1.5 mm、預扭角15°的旋轉預扭梁在不同轉速下的時域信號和頻響曲線，通過多次測量以確保得到準確的不同轉速下的前兩階固有頻率。從結果分析中可以發(fā)現(xiàn)：隨著旋轉速度加快，各階固有頻率升高；隨著厚度的增大，各階固有頻率升高；預扭角增大對1階固有頻率的影響較小，使2階固有頻率明顯減小。

表5～7所示分別為不同轉速下厚1.7 mm、預扭角30°，厚1.7 mm、預扭角15°和厚1.5 mm、預扭角15°三根梁的前兩階固有頻率實驗結果與本文基于固支邊界旋轉梁理論結果和COMSOL仿真結果的對比，理論結果是將邊界剛度調整為等效固支邊界條件（取K=1010）下獲得的，COMSOL仿真單元設置和誤差定義與直梁一致。從表5～7中可以看出，理論結果與COMSOL仿真結果吻合良好，誤差不超過1.85%；理論結果與實驗結果最大誤差為8.69%。同時，實驗結果與理論結果相比普遍偏小，這是由于夾具并不能令旋轉梁系統(tǒng)的邊界條件達到固支條件。相對于直梁，預扭梁實驗與理論結果之間的誤差更大，說明對于預扭梁模型，彈性邊界對旋轉梁振動特性的影響更大。

根據(jù)前文分析可知，理論上在邊界虛擬彈簧剛度取無窮大時邊界可等效為固支，隨著剛度減小邊界變?yōu)閺椥赃吔缂s束，各階頻率降低。圖15為預扭梁邊界約束分別為彈性邊界和固支邊界時1階頻率的理論結果與實驗結果的誤差對比圖，圓點表示彈性邊界，方點表示等效固支邊界，通過將邊界彈簧剛度調至彈性邊界區(qū)間，1階頻率的絕對誤差可顯著減小，說明實驗中可能存在由于約束不完全，邊界處于彈性邊界區(qū)域的情況。

4 結" 論

本文采用修正傅里葉級數(shù)法對位移函數(shù)進行展開，建立了彈性邊界下旋轉梁的動力學模型，利用瑞利?里茲法推導了旋轉梁的運動方程。通過調節(jié)邊界約束彈簧剛度模擬不同的邊界條件，根據(jù)邊界約束條件將邊界分為自由、彈性、固支三個區(qū)間。數(shù)值計算結果表明該方法具有良好的收斂性。

在理論分析的基礎上設計了直梁和預扭梁的旋轉實驗，利用電磁鐵對梁試件進行激勵，能充分激起梁的前兩階固有頻率。將本文理論部分的邊界條件等效為固支邊界，直梁的理論結果與COMSOL仿真結果誤差不超過0.55%，與實驗結果的誤差最大為4.35%。預扭梁理論結果與COMSOL仿真結果誤差不超過1.85%，驗證了本文理論模型的準確性，但與實驗結果誤差達8.69%。可發(fā)現(xiàn)實驗結果與理論結果相比普遍偏小，且通過減小理論中邊界彈簧剛度可使1階頻率誤差明顯減小，說明實驗中可能存在由于約束不完全，邊界處于彈性邊界區(qū)域的情況，進一步證明了研究彈性邊界問題的必要性和本文理論方法的準確性。實驗結果分析表明：隨著轉速、厚度的增大，各階固有頻率增大；預扭角增大對1階固有頻率的影響較小，但能顯著降低2階固有頻率。

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第一作者：熊星星（1998—），男，碩士研究生。E-mail： 330927536@qq.com" 通信作者："宿" 柱（1988—），男，博士，副研究員。E-mail： suzhu@nuaa.edu.cn