靜電驅動微鏡參數激勵下的亞諧振動分析

摘要： 參數振動廣泛存在于多物理場耦合的微機電系統中。為研究靜電驅動微鏡系統中存在的參數共振非線性動力學問題，以一類靜電梳齒驅動微鏡為例，通過七次多項式擬合梳齒電容變化并建立微鏡動力學模型，研究不同因素下系統的參數共振響應變化。研究了靜態下微鏡結構參數變化對扭轉角度的影響規律；應用多尺度法分析了諧振狀態下系統參數對共振幅值變化的影響規律并對系統參數共振進行了數值驗證；最后利用Runge?Kutta法對系統亞諧參數共振的穩定性進行了分析與驗證。研究表明：微鏡系統存在亞諧參數共振，激勵電壓、電容擬合參數等因素會影響系統共振幅值；阻尼可以改變系統不穩定區域，提高失穩閾值，影響系統亞諧參數共振發生。

關鍵詞： 非線性振動； 參數共振； 微鏡； 多尺度法； 數值驗證

中圖分類號： O322""" 文獻標志碼： A""" 文章編號： 1004-4523（2025）02-0242-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.02.003

收稿日期： 2023-03-21； 修訂日期： 2023-05-29

基金項目："國家自然科學基金資助項目（12072233， 12072234）；天津市自然科學基金資助項目（20JCYBJC00510）

Analysis of subharmonic vibrations under parametric excitation of electrostatically driven micromirrors

LI Xu1，2， FENG Jingjing1，2， HAO Shuying1，2， HU Wenhua1，2

（1.Tianjin Key Laboratory for Advanced Mechatronic System Design and Intelligent Control， Tianjin University of Technology， Tianjin 300384， China； 2.National Demonstration Center for Experimental Mechanical and Electrical Engineering Education， Tianjin University of Technology， Tianjin 300384， China）

Abstract： Parametric vibrations are commonly observed in microelectromechanical systems （MEMS） coupled with multi-physical fields. To study the parametric resonance nonlinear dynamics problems in electrostatically driven micromirror systems， a class of electrostatic comb-driven micromirrors is used as an example to study the parametric resonance response variation of the system under different factors by fitting a seventh-order polynomial to the comb capacitance variation and establishing a micromirror dynamics model. The influence of changes in the micromirror’s structural parameters on the torsion angle under static conditions is investigated. The multi-scale method is applied to analyze how system parameters affect the variation in resonance amplitude during the resonance state， and numerical verification of system parameter resonance is performed. Finally， the stability of subharmonic parametric resonance in the system is analyzed and verified using the Runge-Kutta method. The results show that subharmonic parametric resonance exists in the micromirror system. Factors such as excitation voltage and capacitance fitting parameters can affect the system’s resonance amplitude. Damping can alter the system’s instability region， increase the instability threshold， and influence the occurrence of subharmonic parametric resonance in the system.

Keywords： nonlinear vibration；parametric resonance；micromirror；multiscale method；numerical validation

參數共振已經在許多領域得到了證實和研究，如船舶的穩定性［1］、搖擺運動［2］、橋梁［3］、生物系統［4］等。參數共振具有小激勵、大響應和參數放大等特點，因此在MEMS器件中有著廣泛的應用。NAJAR等［5］從分析和實驗上研究了面內夾緊引導淺拱微諧振器的參數共振現象。ZHENG等［6］介紹了使用三角形變面積電容器的MEMS振動陀螺儀的線性參數諧振問題。PALLAY等［7］研究了排斥力靜電諧振器的參數激勵問題，通過將建立的理論模型與Mathieu方程對應，驗證了參數共振的存在和位置。為了進一步闡述參數共振現象，在理論研究的基礎上，學者們對系統參數激勵下的非線性動力學問題進行了研究與分析。MORA等［8］研究了雙極板靜電驅動固支梁在非對稱極板間隙情況下的參數振動非線性特性。KAMBALI等［9］分析了直接及參數激勵下固支微梁的橫向非線性耦合振動。DICK等［10］研究了通過柔性懸臂進行彈性耦合和通過邊緣場進行靜電耦合的集體共振動力學，在激勵信號掃頻過程中，電壓參數有效耦合剛度的時間諧波調制激發了伴隨模式轉換的參數共振。隨著研究的深入，參數激勵下時滯控制方法對MEMS系統的影響也引發了學者們的關注。HILLER等［11］利用參數激勵產生的非線性振動，對一種靜電驅動微梁進行了反饋控制。JANI等［12］對反饋具有立方非線性特征的閉環系統中的參數激勵問題進行了研究，并將基于反饋的參數激勵用于傳感應用。尚慧琳等［13］分析了參數激勵下微陀螺系統驅動模態和檢測模態的振幅及分岔行為。

近年來，隨著對MEMS微鏡研究的興起，MEMS微鏡中參數共振現象不斷被觀察和證實。FRANGI等［14］證實了微鏡中存在參數共振現象，當驅動頻率是系統固有頻率兩倍時系統被激發，并通過大量實驗對此進行了驗證。ATAMAN等［15］表明了微鏡系統是一個參數激勵系統，具有滯后頻率響應、亞諧振蕩和多重參數共振等現象，并建立了小角度下系統的解析模型和數值模型，通過實驗結果驗證了解析模型和數值模型的正確性。FRANGI等［16］對面內靜電梳齒驅動微鏡的扭轉模態進行了研究，發現該微鏡的主要扭轉模態由參數共振控制，對于特定幾何特征的微鏡，參數共振同時激活了虛假偏航模態，并給出了耦合的實驗證據。然而，關于MEMS微鏡系統中參數共振非線性動力學問題的研究和分析卻少見報道。

微鏡梳齒間電容與轉動角度非線性相關，如何簡單合理地表示出電容變化，對微鏡靜電驅動力矩的表達具有重要意義。IZAWA等［17］利用分段函數描述了梳齒間重合面積的變化，并通過最小二乘法擬合電容變化，得到驅動力矩表達式。LI等［18］通過三次多項式擬合了小角度下梳齒間電容變化，得到微鏡梳齒間電容變化率。喬大勇等［19］利用有限元方法提取了不同角度的電容值，計算出電容變化率，并通過一個與角度相關的指數函數公式對此進行擬合獲得電容變化表達式。SHAHID等［20］使用了一個高斯函數公式來擬合電容變化。盡管眾多學者提出了多種電容表示方法，但依然存在擬合角度過小、擬合準確度不高等問題。

針對以上問題，本文以一類靜電驅動式MEMS微鏡為例，利用七次多項式擬合電容變化并建立系統動力學方程，揭示靜、動態下微鏡系統結構參數變化對其參數共振特性和工作性能的影響。首先，建立系統動力學方程，分析了微鏡結構參數與扭轉角度的關系；其次，研究了微鏡各參數對其亞諧參數共振響應的影響；最后，討論了系統亞諧參數共振的穩定性問題。

1 控制方程

1.1 方程建立

本文所研究的MEMS微鏡結構如圖1所示。施加交流激勵電壓，電場力會使交錯梳齒轉動，從而帶動鏡面發生扭轉。微鏡結構參數取值如表1所示。

微鏡結構在扭轉振動時的動力學方程可以寫為如下形式［15］：

（1）

式中，為微鏡轉動角度；為微鏡的轉動慣量；為空氣阻尼；為扭轉梁的扭轉剛度；為梳齒施加的驅動力矩。

對于圓形鏡面和矩形扭轉梁，和可表示為：

（2）

（3）

式中，為楊氏模量；為材料密度。

記為微鏡單側梳齒對數，為單對梳齒間電容，為激勵電壓信號，則微鏡的驅動力矩可以表示為：

（4）

通過仿真模擬可以獲得結構中梳齒在不同工況下的電容曲線和電容變化率曲線。為了準確且簡潔地描述微鏡所受到的非線性驅動力矩，本文采用七次多項式來擬合電容變化率：

（5）

式中，為七次多項式擬合系數。

圖2所示為不同參數下梳齒電容變化率擬合函數式（5）與實際數據的對比圖，可以看出七次多項式擬合結果較為準確。

由式（4）可知驅動力矩與激勵電壓成平方關系。為了將參數效應與諧波效應分開，設激勵電壓，可以建立實際工況下微鏡系統動力學方程如下：

（6）

式中，和分別為激勵交流電壓的幅值和頻率。

1.2 靜態分析

在一對梳齒間施加直流電壓時，微鏡會扭轉至某一恒定角度，此時梳齒間驅動力矩與扭轉梁回復力矩保持平衡。去掉式（6）中與時間相關的項，可以分析微鏡扭轉角度與結構參數之間的關系，則有：

（7）

式中，表示直流電壓。

圖3反映了微鏡結構參數對扭轉角度的影響。減小扭轉梁寬度wa、減小梳齒間隙g和增大梳齒間重疊長度l會使得扭轉角度變大。其中，梳齒間隙g、梳齒間重疊長度l、扭轉梁寬度wa對扭轉角度的影響較大。此外，還可觀察到仿真結果與理論結果的變化規律相同，誤差可能來自于梳齒邊緣靜電力、網格劃分等因素。因此，微鏡靜態轉動時，可以通過改變微鏡的結構參數來增大扭轉角度。

2 動力學分析

2.1 頻響方程

應用多尺度法可以研究微鏡小幅振動下的系統參數共振行為。為了方便分析，將實際工況下微鏡系統動力學方程（6）轉換為以下無量綱的形式：

（8）

其中，無量綱參數定義如下：

（9）

式中，為無量綱后的阻尼系數；為無量綱后七次多項式擬合系數；ω為無量綱后的頻率比值；m為梳齒齒尖到扭轉臂中心距離。

由于系統參數和相對較小，可引入小參數表示為，。則式（8）可寫為以下形式：

（10）

式（10）的一次近似解可以表示為：

（11）

式中，；O為小量符號。

將式（11）代入式（10）中，比較同冪次系數，可以得到：

（12）

（13）

式中，和分別表示對T0和T1求偏導。

式（12）的通解形式為：

（14）

式中，A表示求解該方程過程中的任意待定函數，為A的共軛復數。

微鏡扭轉是典型的參數激勵過程，存在亞諧參數共振，當激勵電壓信號頻率是系統固有頻率的2倍時，小的激勵會產生大的響應，因此，取：

（15）

式中，σ為與頻率相關的調諧參數。

將式（14）、（15）代入式（13）并消除永年項可得：

（16）

設，其中表示的相位，則=eiψ+eiψia。將φ=σT1-2ψ代入式（16）中，分離實部和虛部；再令，利用三角函數消去；代回式（9）無量綱參數可得如下幅頻響應方程：

（17）

2.2 動態特性

根據以上理論推導，可以分析各物理參數對系統亞諧參數共振響應曲線的影響。圖4反映了在不同的梳齒間隙和重疊長度下幅頻響應曲線的變化。如圖4（a）所示，梳齒間隙g增大，系統的共振幅值也相應增大，但幅頻響應曲線上、下兩條線之間的共振區域沒有發生改變。如圖4（b）所示，隨著梳齒重疊長度的增大，共振幅值減小。

圖5反映了空氣阻尼和激勵電壓幅值對系統亞諧參數共振響應的影響。由圖5可知，空氣阻尼會影響系統響應曲線范圍，改變系統共振區域；增大激勵電壓幅值，系統共振響應會減小。圖6給出了不同多項式擬合系數對系統亞諧參數共振響應的影響。圖6表明，β1、β3、β5、β7增大都會使系統的共振幅值減小，且減小的程度依次加強。

3 亞諧參數共振的數值驗證

微鏡的扭轉過程是一個參數激勵系統，扭轉共振時，會激發多階參數共振［15］。圖7為式（8）亞諧參數共振下幅頻響應曲線和主共振下幅頻響應曲線的對比。可以看出，亞諧參數共振的振動幅值遠大于主共振的振動幅值。這表明系統發生的是參數共振而不是主共振。為了進一步驗證系統存在亞諧參數共振，選取表1所示參數來進行詳細分析。即繪制圖5（b）中的A點（Ω=69781.7 rad/s）在V=30 V時的時域圖、相圖、傅里葉功率譜圖，如圖8所示。

從圖8可知，由于空氣阻尼的存在，系統的振動幅值會隨著時間的推移逐漸變小，最后在一定幅值區間內穩定振動。從傅里葉功率譜圖可以看出，在時系統頻域會出現峰值信號。這表明在時系統的振動幅值最大，這與亞諧參數共振的性質相符合，從而證明微鏡系統會發生參數共振。

4 亞諧參數共振的穩定性分析

參數激勵系統發生參數共振時，穩定性較差，產生的響應可能會趨于穩定，也可能激起劇烈的共振，這與參數共振系統的穩態響應零解穩定性有關。

為了研究系統穩態響應零解的穩定性，設：

（18）

式中，為求解該方程過程中的任意待定函數，q為p的共軛復數。

將式（18）代入式（16），分離實部和虛部可得到雅可比矩陣為：

（19）

雅可比矩陣的特征方程為：

（20）

式中，表示求特征值的運算符號。

由Routh?Hurwitz判據，式（20）的穩定性條件如下：

（21）

根據式（21），繪制出系統在平面上的穩定邊界如圖9所示。

圖9中曲線開口上側的區域為不穩定區域，系統產生參數共振，曲線開口下側的區域為穩定區域。隨著空氣阻尼的增大，穩定邊界曲線向上收縮，穩定區域增大，失穩區域減小。同時，對于相同的，空氣阻尼的增大也會提高失穩閾值。

在圖9中任意選取A（Ω=142355 rad/s， V=30 V）、B（Ω=147937 rad/s， V=30 V）兩點進行穩定性驗證。B點位于穩定區域內，即無論空氣阻尼如何變化它始終處于穩定區域內。A點位置與空氣阻尼相關，當時處于不穩定區域內，當時處于穩定區域內。

為了判斷系統的穩定性，分別繪制處于A和B兩點所對應的物理參數下，系統具有不同空氣阻尼時的時域圖和相圖，如圖10和11所示。可知，無論B點空氣阻尼如何變化，系統振動最終都會趨于穩定。A點在空氣阻尼時，系統振動處于不穩定狀態；當時，系統為穩定狀態。這與圖9系統亞諧參數共振穩定邊界的變化相符合。這表明，空氣阻尼和激勵電壓可以影響亞諧參數共振的發生。

5 結 論

本文以一類諧振式靜電梳齒驅動微鏡為例，通過七次多項式對不同尺寸參數梳齒電容變化進行擬合并建立系統動力學方程。應用多尺度法和Runge?Kutta法對微鏡系統下的參數共振非線性特性問題進行了理論分析和數值驗證。分析了系統亞諧參數共振下的穩定性問題。主要結論如下：

（1）改變扭轉梁長度、寬度等結構參數，減小扭轉梁扭轉剛度，增大驅動力矩有利于增大微鏡扭轉角度。

（2）微鏡扭轉時，系統會發生亞諧參數共振，調整激勵電壓、梳齒間隙、空氣阻尼、電容擬合等因素可以改變共振幅值。

（3）增大空氣阻尼，系統不穩定區域會縮小，失穩激勵電壓閾值變大，亞諧參數共振更不容易被激發，空氣阻尼可以改變參數共振發生條件。

（4）七次多項式可以合理準確地表示大角度下梳齒電容變化，可用于描述實際靜電驅動力矩。

參考文獻：

［1］"""" RUBY L. Erratum：“Applications of the mathieu equation”［J］. American Journal of Physics， 1996， 64（5）： 655.

［2］"""" BURNS J A. More on pumping a swing［J］. American Journal of Physics， 1970， 38（7）： 920-922.

［3］"""" RAFTOYIANNIS I G. Parametric resonance of steel bridges pylons due to periodic traffic loads［J］. Archive of Applied Mechanics， 2012， 82： 1601-1611.

［4］"""" MARKEVICH N I， SEL'KOV E E. Parametric resonance and amplification in excitable membranes. The Hodgkin-Huxley model［J］. Journal of Theoretical Biology， 1989， 140（1）： 27-38.

［5］"""" NAJAR F， OUAKAD H M， RAMINI A， et al. Parametric resonance of bi-directional axial loads shallow arch microresonators［J］. Journal of Micromechanics and Microengineering， 2022， 32（5）： 054004.

［6］"""" ZHENG X D， WU H B， LIN Y Y， et al. Linear parametric amplification/attenuation for MEMS vibratory gyroscopes based on triangular area-varying capacitors［J］. Journal of Micromechanics and Microengineering， 2020， 30（4）： 045010.

［7］"""" PALLAY M， TOWFIGHIAN S. A parametric electrostatic resonator using repulsive force［J］. Sensors and Actuators A： Physical， 2018， 277： 134-141.

［8］"""" MORA K， GOTTLIEB O. Parametric excitation of a microbeam-string with asymmetric electrodes： multimode dynamics and the effect of nonlinear damping［J］. Journal of Vibration and Acoustics， 2017， 139（4）： 040903.

［9］"""" KAMBALI P N， PANDEY A K. Nonlinear coupling of transverse modes of a fixed-fixed microbeam under direct and parametric excitation［J］. Nonlinear Dynamics， 2017， 87： 1271-1294.

［10］""" DICK N， KRYLOV S. Parametric resonance and pattern selection in an array of microcantilevers interacting through fringing electrostatic fields［J］. Nonlinear Dynamics， 2022， 107： 1703-1723.

［11］""" HILLER T， LI L L， HOLTHOFF E L， et al. System identification， design， and implementation of amplitude feedback control on a nonlinear parametric MEMS resonator for trace nerve agent sensing［J］. Journal of Micr-oelectromechanical Systems， 2015， 24（5）： 1275-1284.

［12］""" JANI N， CHAKRABORTY G. Feedback based par-ametric actuation with sensor nonlinearity and mass sensing［J］. Journal of Vibration Engineering amp; Technologies， 2021， 9（7）： 1619-1634.

［13］""" 尚慧琳， 張濤， 文永蓬. 參數激勵驅動微陀螺系統的非線性振動特性研究［J］. 振動與沖擊， 2017， 36（1）： 102-107.

SHANG Huilin， ZHANG Tao， WEN Yongpeng. Nonlinear vibration behaviors of a micro-gyroscope system actuated by a parametric excitation［J］. Journal of Vibration and Shock， 2017， 36（1）： 102-107.

［14］""" FRANGI A， GUERRIERI A， CARMINATI R， et al. Parametric resonance in electrostatically actuated micromirrors［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2017， 64（2）： 1544-1551.

［15］""" ATAMAN C， UREY H. Modeling and characterization of comb-actuated resonant microscanners［J］. Journal of Micromechanics and Microengineering， 2006， 16（1）： 9.

［16］""" FRANGI A， GUERRIERI A， BONI N， et al. Mode coupling and parametric resonance in electrostatically actuated micromirrors［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2018， 65（7）： 5962-5969.

［17］""" IZAWA T， SASAKI T， HANE K. Scanning micro-mirror with an electrostatic spring for compensation of hard-spring nonlinearity［J］. Micromachines， 2017， 8（8）： 240.

［18］""" LI X Y， JIN Q， QIAO D Y， et al. Design and fabrication of a resonant scanning micromirror suspended by V shaped beams with vertical electrostatic comb drives［J］. Microsystem Technologies， 2012， 18： 295-302.

［19］""" 喬大勇， 楊璇， 夏長鋒，等. 梳齒分布結構對靜電驅動二維微掃描鏡機械轉角的影響［J］. 傳感技術學報， 2014， 27（2）： 172-177.

QIAO Dayong， YANG Xuan， XIA Changfeng， et al. Influence of comb distribution on the twisting amplitude of two-dimensional microscanner actuated electrostatically［J］. Chinese Journal of Sensors and Actuators， 2014， 27（2）： 172-177.

［20］""" SHAHID W， QIU Z， DUAN X Y， et al. Modeling and simulation of a parametrically resonant micromirror with duty-cycled excitation［J］. Journal of Microelectromechanical Systems， 2014， 23（6）： 1440-1453.

第一作者："李 徐（1995—），男，碩士研究生。

E-mail：lixu3618@163.com

通信作者："馮晶晶（1986—），女，博士，教授。

E-mail：jjfeng@tju.edu.cn