考慮水?樁?土相互作用的海上風機單樁基礎橫向自振頻率計算

摘要： 采用Euler?Beroulli梁理論，提出一種考慮水?樁?土相互作用的連續變截面海上風機單樁基礎的結構簡化模型，運用微分變換法求解簡化模型橫向振動控制方程。基于塔筒直徑、連接段高度與水體附加質量、葉輪?機艙組件質量和三彈簧剛度對橫向自振頻率展開研究。研究表明，變截面塔筒底部直徑對自振頻率的影響大于頂部直徑對自振頻率的影響；水深較深時，水體附加質量對遠海風機結構自振頻率的影響不能忽略；風機橫向自振頻率隨葉輪?機艙組件質量的增大而減小；彈簧剛度對土體模量敏感性大小為：水平彈簧gt;耦合彈簧gt;旋轉彈簧；自振頻率對彈簧剛度敏感性大小為：耦合彈簧gt;水平彈簧gt;旋轉彈簧；土體模量發生變化時，主要通過水平彈簧和耦合彈簧影響自振頻率。

關鍵詞： 海上風機； 彈簧地基； 自振頻率； 大直徑單樁； 微分變換法

中圖分類號： TK83； TU473.1""" 文獻標志碼： A""" 文章編號： 1004-4523（2025）02-0331-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.02.012

收稿日期： 2023-06-13； 修訂日期： 2023-07-21

基金項目："甘肅省科技計劃資助項目（23JRRA854）

Calculation of the transverse natural frequency of single-pile foundation for offshore wind turbines considering water-pile-soil interaction

YU Yunyan1， TAO Jingyan1， KONG Jiale1， LI Yongpeng2

（1.School of Civil Engineering， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China； 2.Transport Bureau of Gannan Tibetan Autonomous Prefecture， Gannan 747000， China）

Abstract： This paper presents a simplified structural model for continuous variable cross-section single-pile foundations of offshore wind turbines， considering the water-pile-soil interaction， using the Euler-Bernoulli beam theory. The simplified model is solved using the differential transform method to obtain the transverse vibration control equation. The investigation focuses on the impact of tower diameter， transition section height， water-added mass， impeller-nacelle assembly mass， and the stiffness of three springs on the transverse natural frequency. The results show that the influence of the bottom diameter of the variable cross-section tower on the natural frequency is greater than that of the top diameter. In offshore wind turbine installations with greater water depths， the effect of water-added mass on the structural natural frequency cannot be overlooked. The transverse natural frequency of the wind turbine decreases as the impeller-nacelle assembly mass increases. The sensitivity of the soil modulus to the spring stiffness is ranked as follows： horizontal spring gt; coupling spring gt; rotational spring. Similarly， the sensitivity of the natural frequency to the spring stiffness is ranked as： coupling spring gt; horizontal spring gt; rotational spring. When variations occur in the soil modulus， the primary influence on the natural frequency is predominantly exerted by the horizontal spring and the coupling spring.

Keywords： offshore wind turbine；spring foundation；natural frequency；large?diameter single pile；differential transform method

海上風電由于其風速高、風向穩定、占地面積小以及噪聲低等優點，成為優質的可再生能源。截至目前，中國海上風機累計裝機容量約40 GW［1］，海上風電容量居全球第一。然而，中國海上風機開發技術總體滯后于歐洲，缺乏適用于中國海洋環境下的海上風機結構設計理論，因此，海上風機結構設計仍面臨嚴峻挑戰。

截至2020年，歐洲已建成的海上風機超過80%采用單樁基礎，中國已建或在建的海上風電項目，超過70%的風機也采用單樁基礎［2］。單樁基礎因維修便利、施工簡單、受力明確等原因，已成為海上風電場建設中應用最廣泛的基礎形式。

風機在運營過程中會受到渦輪機轉動產生的1P頻率和葉片掃掠塔筒產生的2P/3P頻率影響。一旦發生頻率偏移，系統自振頻率接近1P或2P/3P頻率，會導致結構動態響應放大，產生過大位移，將對結構穩定性產生不利影響。為了避免系統共振，通常采用“軟?剛”模式［3］使自振頻率介于1P和2P/3P頻率帶之間。因此，設計過程中需要對大直徑單樁基礎風機結構的橫向自振頻率進行精確計算。

在風機前期設計中，考慮樁?土相互作用可以準確求解結構橫向自振頻率。目前，單樁式風機結構的樁?土相互作用可以采用表觀固定法、耦合彈簧法和分布彈簧法模擬。其中，席義博等［4］通過有限元數值模擬，采用表觀固定法建立考慮基礎剛度弱化的等截面風機模型，并進行不同基礎剛度條件下風機的動力響應分析。ZAAIJER［5］推導了底端剛性固定模型、非耦合彈簧模型和耦合彈簧模型的結構動力特性，分析表明把樁?土相互作用等效為泥線處的耦合彈簧模型結果更精確。BHATTACHARYA等［6］、ADHIKARI等［7］和SHADLOU等［8］將上部結構考慮為集中質量和等截面桿系統，樁?土相互作用簡化為泥面處施加的水平和旋轉彈簧，建立柔性地基條件下計算風機結構自振頻率的解析公式，并與模型試驗和有限元計算結果進行對比。ARANY等［9?11］在BHATTACHARYA的理論基礎上將地基作用簡化為水平、旋轉和耦合彈簧模型，推導了海上風機自振頻率的閉合解。楊春寶等［12］采用多段均勻梁組合方式將風機塔筒等效為變截面梁，并將樁?土相互作用簡化為線性分布彈簧，基于傳遞矩陣和有限元模態分析方法分別計算有阻尼系統的風機自振頻率。

研究表明水對結構動力響應有一定影響［13］，部分學者對水?結構相互作用開展了一系列分析。其中，趙密等［14?15］發現在海上樁基設計中考慮水?樁?土相互作用是非常必要的，并基于楊春寶的理論，建立附加水質量的解析計算方法。許成順等［16］采用OpenSees有限元平臺，探討水體附加質量對鋼管樁自振頻率的影響，認為水體附加質量對鋼管樁自振頻率影響顯著。任文淵［17］采用ADINA進行數值模擬，建立風機、基礎、水、海床的三維計算模型，分析了風電基礎結構的靜力和考慮流固耦合的動力響應，結果表明水層顯著降低結構的高階頻率。田樹剛等［18］采用有限元方法，考慮流固耦合效應，對近海風機支撐體系的自振頻率和振型進行計算分析。

綜上所述，以往研究通常將風機塔桶截面簡化為等截面梁，忽略風機塔筒變截面特性，致使頻率計算結果不精確；或將風機塔桶結構劃分為多段均勻梁，此方法雖然能計算風機各階自振頻率，但求解過程中系數冗雜。針對上述問題，本文將風機塔筒簡化為連續變截面梁，引入微分變換法（differential transform method，DTM）將非線性控制方程變換成代數方程進行求解［19］，解決了四階變系數控制方程難以求解的計算難點。通過DTM建立質量塊?連續變截面梁?等截面梁組合模型，在考慮水?樁?土相互作用的基礎上，提出一種大直徑單樁海上風機系統橫向自振頻率的求解方法，并進一步研究塔筒直徑、連接段高度、葉輪?機艙組件質量和三彈簧剛度等參數對風機結構自振頻率的影響規律。

1 方程的建立與求解

1.1 地基模型簡化

由樁?土相互作用提供給樁頂的剛度簡化為水平，耦合和旋轉三個獨立彈簧，可用如下剛度矩陣表示：

（1）

式中，、和分別為柱頂的水平、耦合和旋轉彈簧剛度；和分別為柱頂的水平力和彎矩；和分別為柱頂的位移和轉角。對于均質土體、線性土體以及非線性土體的三彈簧剛度計算式均不相同，并且彈簧剛度大小與樁徑、樁長、樁的模量和土體泊松比、土體模量等參數有關。文獻［8］分別給出了柔性樁和剛性樁的彈簧剛度公式，結果如表1和2所示。

1.2 塔筒模型簡化與控制方程建立

風機單樁基礎結構簡化模型如圖1所示，考慮葉輪?機艙組件質量產生的軸向力作用，塔筒簡化為連續變截面梁，連接段考慮為等截面梁，水體附加質量添加至連接段上，基礎簡化為三彈簧模型。基于Bernoulli?Euler梁理論建立塔筒橫向振動方程［20］ ：

（2）

式中，為梁（即塔筒）橫向位移；為沿梁軸線坐標；為時間；和分別為截面處塔筒的慣性矩和面積；為塔筒高度；為連接段高度；為修正后的風機軸向力， ［9］，其中為風機轉子和輪轂集中質量，為質量矯正因子，取值為0.24，為塔筒質量；和分別為風機結構的彈性模量和材料密度。

建立連接段橫向振動方程：

（3）

式中，為梁（即連接段）橫向位移；和分別為連接段的截面慣性矩和截面面積；為水引起的附加質量。

圖1中為塔筒壁厚；為塔筒頂部截面直徑；為塔筒底部截面直徑，引入截面變化系數，則塔筒直徑、截面慣性矩和截面面積可分別表示為：

（4）

本文將結構?水相互作用產生的動水壓力視為部分水體質量與結構加速度的乘積，部分水體質量稱附加質量，表達式［14］如下：

（5）

式中，為結構剛性運動引起的附加質量；為連接段直徑；為水體密度。

根據力平衡和位移協調，連接段底部邊界條件表示為：

（6）

塔筒頂部邊界條件表示為：

（7）

式中，為塔筒頂部截面慣性矩。

1.3 微分變換法

引入DTM將式（2）和（3）這類變系數微分方程轉換為代數遞推方程，將式（6）和（7）等邊界條件轉化為代數方程組，通過求解代數方程的解來獲得微分方程的解，解決了數學求解問題。微分變換及微分逆變換分別表示為［21］：

（8）

（9）

式中，表示函數對自變量的求導階數；取為任何正整數。

表3列出了本文計算中用到的DTM變換定理。

1.4 頻率方程建立

當梁作自由振動時，其解有如下形式：

（10）

式中，為梁的橫向振動函數；為梁橫向自由振動圓頻率；。

引入無量綱系數和，并代入式（2）、（6）和（7）中，無量綱處理后有：

（11）

（12）

（13）

（14）

連接段頂部和塔筒底部邊界為：

（15）

式（11）～（15）中的無量綱參數為：

；；；；；；；；；；；；；；根據DTM變換法則，控制方程式（11）和（12）可轉換為：

（16）

（17）

連接段底部邊界條件表示為：

（18）

塔筒底部與連接段頂部邊界表示為：

（19）

式中，為泰勒級數的展開項數。

塔筒頂部邊界條件表示為：

（20）

式中，、、和分別為、、和的微分變換式。

根據邊界條件式（18），令：

，""" （21）

將式（18）和（21）代入連接段位移函數遞推式（17）中，所得結果代入連接段與塔筒的邊界條件式（19）中，得到塔筒位移函數初值并代入塔筒位移函數遞推式（16），最后將結果代入式（20）中，得到頻率特征方程為：

（22）

式中，、、和為迭代次求出的含有自振頻率的多項式，要使上式有非零解，則系數矩陣行列式為零，即

（23）

利用MATLAB求解式（23），得到梁自振頻率。

2 算例分析

2.1 有效性驗證

以文獻［11］和［22］中的風機規格為例，具體參數如表4所示，將參數代入上述模型中，求解風機系統一階橫向自振頻率。在DTM中，展開項數N的取值決定自振頻率的收斂性和精度，N越大計算精度越高，但計算耗時越長。為了在計算效率和精度之間取得平衡，繪制不同展開項數N下的頻率變化曲線，結果如圖2所示。由圖2可知，隨著展開項數增加，自振頻率在初始階段突然下降，隨后緩慢上升并逐漸趨于穩定；當時，Lely A2風機和Irene Vorrink風機的計算誤差均為0.5‰，小于容許誤差，即計算精度滿足要求；當時，頻率變化率基本為0，即自振頻率收斂。因此，本文取展開項數14次進行頻率計算。

為驗證算法正確性和地基模型簡化方法正確性，將本文計算頻率和ARANY計算結果［11］分別與實測頻率對比并計算相對誤差，結果見表5。由表5可知，本文三彈簧DTM算法自振頻率最大誤差為0.79%，與實測頻率基本吻合，而文獻［11］采用的傳遞矩陣法計算結果誤差較大，說明在求解風機橫向自振頻率問題上，采用DTM方法有效且精度高。對比表5中三彈簧模型頻率與固接模型頻率可知，三彈簧模型誤差小且精度滿足要求，故將地基簡化為三彈簧模型（柔性地基）的方式能有效模擬海上單樁風機系統的樁?土相互作用。

2.2 參數分析

在海上風機結構的設計和研究過程中，進行自振頻率敏感性分析有助于指導設計優化、評估系統穩定性，這對于確保風機安全運行至關重要。本文基于Lely A2風機尺寸，定量分析了塔筒直徑、連接段高度、葉輪?機艙組件質量和三彈簧剛度等因素變化對風機系統一階橫向自振頻率的影響規律。

2.2.1 塔筒直徑變化的影響

為定量分析塔筒直徑變化對自振頻率影響，定義塔筒頂部直徑與底部直徑比值為錐率，繪制塔筒直徑變化對自振頻率的影響曲線，如圖3所示。其中，0.59為Lely A2風機錐率，變化產生三種工況：工況一，塔筒頂部直徑保持1.9 m不變，塔筒底部直徑從3.2 m增加至4.4 m，即；工況二，塔筒頂部直徑和底部直徑分別以1.9 m和3.2 m為基準同時變化，即；工況三，塔筒頂部直徑從1.9 m增加至3.1 m，塔筒底部直徑保持3.2 m不變，即。

由圖3可知，工況一中風機自振頻率從0.639 Hz增加到0.955 Hz；工況二中風機自振頻率從0.639 Hz增加到0.862 Hz；工況三中風機自振頻率從0.639 Hz增加到0.655 Hz。對比三種工況可以看出，當其余參數保持不變，隨著底部直徑增大，自振頻率顯著增加；隨著頂部直徑增大，自振頻率變化幅度很小。在塔筒直徑兩個控制截面中，自振頻率對底部直徑十分敏感，而頂部直徑變化對自振頻率影響很小。因此，在風機設計時，只要確保塔筒頂部直徑滿足一定要求即可，關鍵在于選取塔筒底部直徑。

2.2.2 連接段高度的影響

隨著能源緊缺日益嚴峻，海上風機必將向深海和大型化方向發展，要求樁基礎和上部結構能在更深的水體環境中穩定運行［23］，這直接影響到連接段高度和水體附加質量的大小。當考慮水體附加質量時，隨連接段高度增加，水體附加質量增大，而連接段高度增加和水體附加質量增大均導致自振頻率降低，二者之間存在疊加效應。為厘清連接段高度和有無水體附加質量對自振頻率的影響，現繪制未考慮水體附加質量和考慮水體附加質量兩種情況下連接段高度變化對自振頻率的影響曲線，如圖4所示。

由圖4可知，以連接段高4.6 m為基準，逐漸增加至44.6 m。未考慮水體附加質量時，自振頻率減小了42.2%；考慮水體附加質量的情況下，自振頻率減小了49.5%。當連接段高度較小時，水體附加質量對自振頻率影響不顯著；而連接段高度超過20 m后，兩條曲線呈現分離趨勢，水體附加質量對系統自振頻率的影響逐漸顯現。因此，在風機設計階段，近海風機在水深較淺時可以忽略水體附加質量影響，但遠海風機需考慮水體附加質量對自振頻率偏移的影響。

2.2.3 葉輪?機艙組件質量的影響

考慮不同功率渦輪機質量，即葉輪?機艙組件質量大小對自振頻率的影響，結果如圖5所示。由圖5可知，隨著葉輪?機艙組件質量增大，自振頻率減小。當葉輪?機艙組件質量增大至50 t后，曲線斜率也逐漸減小，說明葉輪?機艙組件質量對風機自振頻率的影響程度逐漸降低。因此，在設計過程中為保證風機安全性，通過合理增重可以降低葉輪?機艙組件質量對自振頻率的影響。

2.2.4 三彈簧剛度的影響

本文采用三彈簧地基模型，樁?土相互作用通過改變三種彈簧剛度大小影響風機自振頻率，為厘清三彈簧剛度變化對自振頻率的影響機理，進行如下理論分析。現已知Lely A2風機場地最上層為軟黏土，其下為致密砂層，由文獻［24］可知土體模量在5～50 MPa之間。根據表1公式，計算出不同土體模量下三種彈簧剛度大小，由此繪制土體模量變化對彈簧剛度的影響曲線，如圖6所示。

由圖6可知，隨土體模量從5 MPa增加至50 MPa，水平彈簧剛度由0.27 GN/m增加到1.67 GN/m；耦合彈簧剛度由-1.17 GN減小到-3.71 GN；旋轉彈簧剛度從21.24 GN·m/rad增加到39.56 GN·m/rad。分析表明，土體模量對水平彈簧剛度影響最大，耦合彈簧剛度次之，旋轉彈簧剛度影響最小。

圖7描繪了風機橫向自振頻率隨三種彈簧剛度變化規律。當其他參數保持不變，隨著水平彈簧剛度增加，自振頻率迅速增加，當增加至0.95 GN/m后，自振頻率增長幅度基本保持不變。說明越小對自振頻率影響越大，而增大至一定程度后，對自振頻率影響不大。當其他參數保持不變，減小耦合彈簧剛度時，自振頻率先緩慢減小，當達到-2.63 GN后，自振頻率急劇減小，共減小了45.5%。說明較大時對自振頻率影響較小，隨減小頻率變化幅度急劇增大，耦合彈簧剛度對自振頻率有衰減作用。隨旋轉彈簧剛度增加，頻率從0.62 Hz增加至0.68 Hz，增大了9.7%，且增大至32 GN·m/rad后，自振頻率增大趨勢變緩慢；說明旋轉彈簧剛度較小時對自振頻率影響較大；相反，較大時對自振頻率影響較小。上述分析表明：耦合彈簧剛度對自振頻率偏移影響最顯著，其次是水平彈簧剛度，最后為旋轉彈簧剛度。

綜上，三種彈簧剛度對土體模量敏感性順序為：水平彈簧gt;耦合彈簧gt;旋轉彈簧；風機系統橫向自振頻率對三種彈簧剛度敏感性順序為：耦合彈簧gt;水平彈簧gt;旋轉彈簧。綜合分析可知，采用三彈簧地基模擬樁?土相互作用時，土體模量發生變化，主要通過三種彈簧中的水平彈簧和耦合彈簧影響風機系統橫向自振頻率。

3 結" 論

本文基于Euler?Bernoulli梁振動理論，采用微分變化法，充分考慮塔筒變截面特性和水?樁?土間的相互作用，提出單樁式海上風機的橫向自振頻率求解計算方法，進一步分析了塔筒直徑、連接段高度和水體附加質量、葉輪?機艙組件質量對單樁式海上風機橫向自振頻率的影響，并厘清地基模量通過三彈簧剛度對自振頻率的影響機理，得出以下結論：

（1）本文算法頻率計算結果與實測頻率吻合良好，說明采用DTM求解四階變系數微分方程原理簡單，結果精度高，適用性強，為解決此類問題提供了一種有效方法。

（2）底部直徑對橫向自振頻率影響程度更高；風機橫向自振頻率對連接段高度更敏感，當連接段高度超過20 m后，水體附加質量對風機自振頻率影響不能忽略；隨葉輪?機艙組件質量增大，風機自振頻率逐漸減小，當葉輪?機艙組件質量增加至50 t后，其敏感性逐漸下降。

（3）隨土體模量增加，水平和旋轉彈簧剛度增加，耦合彈簧剛度減小，其中土體模量對水平彈簧剛度影響程度最大，耦合彈簧剛度次之，旋轉彈簧剛度最小；風機自振頻率隨水平彈簧剛度和旋轉彈簧剛度增加而增大，隨耦合彈簧剛度減小而減小，其中耦合彈簧剛度對自振頻率偏移影響最顯著，水平彈簧剛度次之，旋轉彈簧剛度較小。綜上，土體模量變化主要通過水平彈簧和耦合彈簧影響自振頻率。

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通信作者： 余云燕（1968—），女，博士，教授。E-mail： yuyunyan@mail.lzjtu.cn