考慮參數不確定性和相關性的電動汽車動力總成懸置系統穩健性優化

摘要： 針對電動汽車動力總成懸置系統（PMS）參數同時具有不確定性和相關性的復雜情形，本文開展了考慮參數不確定性和相關性的電動汽車PMS穩健性優化設計研究。基于Nataf變換和蒙特卡羅抽樣提出了一種概率參數相關情形下的PMS固有特性響應不確定性和相關性分析的Nataf?蒙特卡羅（NMC）方法；結合Nataf變換和任意多項式混沌展開推導了一種高效求解PMS響應不確定性和相關性的Nataf?任意多項式混沌展開（NAPCE）方法；基于NAPCE方法和相關系數賦權法提出了一種考慮響應不確定性和相關性的PMS穩健性優化設計方法；通過算例驗證了所提方法的有效性，并對系統進行了穩健性優化。結果表明，以NMC方法作為參考，NAPCE方法在求解PMS固有特性響應的不確定性和相關性方面具有良好的計算精度和效率；提出的優化方法能夠合理配置系統參數，提高系統穩健性。

關鍵詞： 電動汽車； 動力總成懸置系統； Nataf變換； 任意多項式混沌展開； 穩健性優化

中圖分類號： U469.72； U463.33""" 文獻標志碼： A""" 文章編號： 1004-4523（2025）02-0375-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.02.016

收稿日期： 2023?03?07； 修訂日期： 2023?04?27

基金項目："國家自然科學基金資助項目（51975217）；廣東省自然科學基金資助項目（2023A1515011585）

Robustness optimization for the powertrain mounting system of electric vehicle considering parametric uncertainty and correlation

LYU Hui1， ZHANG Jiaming1， HUANG Xiaoting2， SHANGGUAN Wenbin1， XIAO Guoquan1

（1.School of Mechanical and Automotive Engineering， South China University of Technology， Guangzhou 510641， China； 2.School of Automobile and Traffic Engineering， Guangzhou City University of Technology， Guangzhou 510800， China）

Abstract： This study addresses the complex scenario where the parameters of the powertrain mounting system （PMS） of an electric vehicle exhibit both uncertainty and correlation. A robust design optimization method for the PMS， considering parametric uncertainty and correlation， is investigated. Firstly， based on Nataf transform and Monte Carlo sampling， the Nataf-Monte Carlo （NMC） method is proposed for the uncertainty and correlation analysis of PMS inherent characteristics， where the probabilistic parameters are correlated. Then， an efficient method， the Nataf-arbitrary polynomial chaos expansion （NAPCE） method， is derived for PMS response analysis by integrating Nataf transformation with arbitrary polynomial chaos expansion. Next， based on the NAPCE method and correlation coefficient weighting method， a robust design optimization method for PMS is developed， accounting for the uncertainty and correlation of responses. Finally， a numerical example is used to verify the effectiveness of the proposed method， and the robust optimization of the system is carried out. The results show that， compared to the NMC method， the NAPCE method offers good computational accuracy and efficiency for analyzing uncertainty and correlation in PMS responses. The proposed optimization method can configure the PMS parameters reasonably and improve the robustness of system.

Keywords： electric vehicle；powertrain mounting system；Nataf transformation；arbitrary polynomial chaos expansion；robustness optimization

電動汽車動力總成懸置系統（powertrain mounting system，PMS）是電驅動總成和車架之間的彈性連接系統，具有支承、限位和隔振等功能。受制造工藝、裝配技術及工作環境等因素影響，汽車PMS參數存在廣泛的不確定性［1?2］。在汽車PMS中，電動汽車普遍采用的隔振元件是橡膠懸置。受結構、材料和制造工藝等因素影響，橡膠懸置相比其他類型懸置（如液壓懸置），其參數具有更明顯的不確定性和相關性。即電動汽車的振動噪聲特性更容易受到PMS懸置參數不確定性的影響。此外，由于電動汽車沒有發動機的掩蔽效應，其PMS引發的整車振動噪聲問題更為突出。優化PMS固有特性響應的穩健性可有效提高不確定情形下電動汽車的駕乘舒適性。

工程上常基于概率模型和非概率模型進行PMS不確定性分析與優化。基于概率模型，LYU等［3］將懸置剛度參數處理為具有區間分布的概率變量，提出了一種PMS固有特性優化方法；隨后，進一步將懸置剛度參數處理為具有不精確分布的概率變量，基于證據理論提出了一種PMS不確定性分析和優化方法［4］。吳杰等［5］將懸置剛度分別處理為均勻分布和正態分布變量，建立了PMS固有特性優化設計模型，提高了PMS解耦布置和頻率配置的可靠性。陳劍等［6］根據懸置剛度的正態分布特性，結合穩健設計與多目標優化，提出了一種基于6Sigma的多目標穩健優化方法。

上述研究均將PMS不確定參數視為獨立變量，然而，工程中PMS參數之間往往存在相關性［7］。目前，考慮參數相關性的不確定性分析主要基于非概率模型，如橢球模型［8］和多維平行六面體模型［8］。文獻［7?10］將含相關性的不確定參數分別采用橢球模型和多維平行六面體模型進行描述，對PMS固有特性的響應邊界進行了非概率不確定性分析，獲得了比傳統區間方法更合理的響應范圍。

可以看出，基于非概率模型的PMS不確定性研究已取得一定進展，然而，基于概率模型開展考慮參數不確定性和相關性的PMS研究尚不多見。此外，PMS是多響應系統，不確定響應之間往往也具有相關性。現有研究在進行PMS不確定性優化設計時，很少將響應相關性納入優化設計建模中，使得優化模型缺乏一定的真實性和客觀性。

針對上述問題，本文采用概率模型和相關系數分別描述系統參數的不確定性和相關性，在同時考慮PMS響應的不確定性和相關性的基礎上，開展電動汽車PMS固有特性響應的穩健性優化設計研究，以期為該復雜情形下的電動汽車PMS優化設計提供理論基礎和參考。

1 PMS參數的不確定性和相關性

1.1 電動汽車動力總成懸置系統

對集中式驅動電動汽車PMS固有特性進行分析時，常將電驅動總成視為剛體，懸置簡化為具有三向剛度的彈性元件［11］并分別建立電驅動總成坐標系G0?XYZ和描述懸置參數的局部坐標系gi?uiviwi。其中，G0為電驅動總成坐標系的原點，坐標系X軸方向與汽車前進方向相反，Z軸方向垂直指向上方，Y軸方向根據右手定則確定。建立某電動汽車PMS六自由度模型如圖1所示。

由運動學方程得到電動汽車PMS自由振動的特征方程為：

（1）

式中，M為系統質量矩陣；K為系統剛度矩陣；為第i階固有頻率對應的圓頻率；為第i階振型。第i階固有頻率為：

（2）

當系統以第i階固有頻率振動時，第k個廣義坐標上的振動能量為：

（3）

式中，和分別為的第k和第j個分量；為的第k行、第j列元素。第i階模態對應的解耦率定義為：

（4）

當解耦率等于100%時，系統第i階振動的能量全部集中在某廣義坐標上，該階振動完全解耦。

1.2 參數不確定性和相關性

在不確定因素影響下，可認為PMS不確定參數服從某種概率分布，且不確定參數之間可能存在相關性或彼此獨立。假設系統中存在n個具有相關性的不確定變量，采用向量描述。對于變量，其均值和標準差分別記為和；對于變量，其均值和標準差分別記為和。不確定變量和之間的相關系數為：

（5）

式中，l為每個變量標量觀測值的個數；和分別表示變量和的第i個觀測值。

設為具有相關性的標準正態向量。根據Nataf理論［12?13］，相關系數還可以表示為：

（6）

式中，為標準正態分布函數；和分別為和的累計分布函數的逆函數，且有，；為變量和的聯合概率密度函數。

式（6）的求解相對繁瑣，可根據經驗公式進行計算：

（7）

式中，為經驗系數，與和的具體數值無關，由變量的分布類型確定。

根據協方差的定義以及變量的標準差和相關系數，協方差矩陣可以表示為：

（8）

矩陣C為半正定矩陣，矩陣內元素為對應變量直接的協方差，可對其進行如下分解，得到下三角矩陣L：

（9）

矩陣L可將獨立標準正態向量變換為向量h：

（10）

綜上所述，相關向量x可以表示為獨立標準正態向量u的響應函數：

（11）

式中，表示向量x和向量u之間的變換過程。

2 PMS響應不確定性和相關性分析

2.1 NMC方法

蒙特卡羅抽樣是應用最為廣泛的一種不確定性分析技術，計算精度隨抽樣次數的增加而提高。本文首先基于Nataf變換和蒙特卡羅抽樣，提出一種求解概率參數相關情形下PMS固有特性響應不確定性和相關性的Nataf?蒙特卡羅（Nataf?Monte Carlo，NMC）方法，其主要步驟為：

（1）根據n維隨機向量x中各變量的標準差以及變量之間的相關性，通過式（7）～（9）計算得到下三角矩陣L。

（2）根據標準正態分布概率密度函數進行抽樣，得到一個維獨立樣本矩陣=［" … ］T，通過式（10）將獨立樣本矩陣轉化為相關樣本矩陣。

（3）根據不確定變量累計分布函數的逆函數，將樣本矩陣進行變換，變換后的樣本矩陣具有相關性，記為。

（4）將抽樣得到的第i組樣本數據代入PMS模型，計算第i組樣本對應的系統固有特性。

（5）重復步驟（4）l次，計算l組響應的均值、標準差以及響應之間的相關系數。

NMC方法可以作為參考方法，用于驗證其他分析方法的有效性。

2.2 NAPCE方法

NMC方法計算效率往往較低，因此進一步提出一種高效求解PMS響應不確定性和相關性的Nataf?任意多項式混沌展開（Nataf?arbitrary polynomial chaos expansion，NAPCE）方法。

以表示PMS固有特性響應函數，基于任意多項式混沌展開和式（11），可以表示為［14］：

（12）

式中，為多項式基的展開系數；為向量u的第i階多項式基。

系統響應可以通過任意多項式（arbitrary polynomical chaos， APC）展開截斷表示為：

（13）

式中，為變量的展開階數，其中n為不確定變量的個數；為多項式基的展開系數；為向量u的多項式基，可以表示為多項式基的乘積：

（14）

的任意多項式基滿足以下遞推關系：

（15）

式中，和為待求未知系數，且，。

變量的第i階統計矩計算公式如下：

（16）

式中，Ω為積分域；為變量的概率密度函數，如果變量相關性為0，則。

將的統計矩表示為如下Hankel矩陣形式：

（17）

對矩陣進行Cholesky分解，得到上三角矩陣，即，根據可確定未知系數ai和bi。然后，對Jacobi矩陣進行特征值分解，可以獲得對應的高斯積分節點向量和高斯積分權值向量，其中下標“”為的高斯積分節點數目。可以表示為：

（18）

將對應的高斯積分節點向量代入式（11），可以得到相關隨機變量對應的高斯積分節點向量。如果變量相關性為0，則不需要代入式（11）進行Nataf變換。

得到所有變量的高斯積分節點向量和高斯積分權值向量后，可以將多項式基的展開系數表示為：

（19）

式中，qn表示xn對應的高斯積分節點數目。基于多項式基的性質，可獲得的均值和標準差分別為：

（20）

計算APC展開系數的過程中，已獲得高斯積分節點處系統響應。通過式（5）可以計算響應和之間的相關系數為：

（21）

式中，和為響應和的第i個計算結果；和為響應和的均值；和為響應和的標準差；為高斯積分節點處系統響應個數。NAPCE方法的分析流程如圖2所示。

需要說明的是，在本文中表示電動汽車PMS固有特性響應函數。實際上，也可以用于表示其他概率參數具有相關性的不確定工程問題（如燃油汽車PMS設計問題，汽車制動噪聲問題等）的響應函數。因此，本文方法適用于參數具有概率不確定性和相關性這一大類工程問題的分析研究。

3 PMS的穩健性優化

3.1 優化子目標的權重

PMS的優化設計屬于多目標優化問題。在傳統的PMS優化中，各優化子目標的權重僅由主觀意識決定，缺乏客觀準則。本文采用相關系數賦權法［15］確定PMS各優化子目標的客觀權重。與其他響應相關程度的均值為：

（22）

式中，N為響應總個數。

一個響應與另一響應相關性越大，在權重體系中所占比重越小，權重與相關性關系如下：

（23）

進行歸一化處理，得到響應的客觀權重為：

（24）

式中，代表每個響應的權重。

主觀權重根據工程經驗或設計需求確定。響應的綜合權重由主客觀權重疊加得到：

（25）

3.2 穩健性優化模型

豎直（Bounce）方向和繞電機軸中心線的旋轉（Pitch）方向為電動汽車PMS的主要振動方向，本文重點關注這兩個方向的固有特性（豎直方向固有頻率fB、豎直方向解耦率dB、旋轉方向固有頻率fP和旋轉方向解耦率dP）。為避開路面激勵頻率，固有頻率不低于5 Hz。當電機激勵頻率為50 Hz時，取頻率比為2，固有頻率上限可計算為25 Hz。X、Y和Bounce方向上固有頻率的最小值和最大值分別為5和15 Hz，其余三個自由度方向上固有頻率的最小值和最大值分別為15和25 Hz。在穩健性優化設計中，不僅要優化響應均值還要最小化響應標準差。結合6Sigma準則，PMS穩健性優化模型為：

（26）

式中，vB和vP分別為響應dB和dP的綜合優化權重；和分別為響應dB和dP的均值；和分別為響應dB和dP的標準差；為di的最小值；和分別為fi的最小值和最大值；為第j個優化變量的名義值；、分別為取值的上、下界。

4 算例分析

4.1 PMS模型

以圖3中某集中式驅動電動汽車三點懸置PMS為例，電驅動總成重91 kg。表1為總成的轉動慣量和慣性積。

本文將懸置剛度參數處理為不確定參數。表2為各懸置三向剛度的分布類型、均值及標準差。表3為各懸置的安裝位置。

4.2 PMS不確定性分析

為探究研究變量對PMS固有特性響應的影響，保持懸置剛度的均值不變，將表2中各參數的標準差記為，分別考慮標準差為、、、、和時的6種不確定情形。分析過程中懸置剛度參數的相關系數為0.3。比較不同抽樣次數的計算結果發現，當抽樣次數達到106次時，NMC方法的計算結果已收斂。表4和5分別給出了Bounce和Pitch方向NMC與NAPCE方法求得的fB、dB、fP和dP的均值（、、、）及標準差（、、、）。

由表4可知，在各種情形下，fB的均值都滿足工程中的穩健性要求；dB的均值都不能滿足大于的穩健性要求。由表5可以看出，在研究參數標準差為時，fP的均值小于穩健性要求的下邊界，不滿足工程中的穩健性要求；dP的均值都不能滿足大于的穩健性要求。無論是固有頻率還是解耦率都存在不滿足穩健性要求的情況，因此需要進行PMS穩健性優化。

表6給出了NAPCE方法計算的相對誤差，其中dB和dP均值的相對誤差可忽略不計，因此不在表中給出。

由表6可以看出，以NMC方法作為參考，在計算響應固有特性的均值時，NAPCE方法的最大相對誤差為1.68%；在計算響應固有特性的標準差時，NAPCE方法的最大相對誤差為3.31%。這表明NAPCE方法的計算精度較高。

在同一臺計算機上，NMC方法求解PMS固有特性響應耗時118.20 s，需要調用系統響應方程106次；而NAPCE方法耗時0.66 s，僅需調用系統響應方程29次（即512次）。這表明NAPCE方法可以極大地降低系統響應方程的調用次數，節約計算時間，具有很高的計算效率。

綜上可知，提出的NAPCE方法能兼顧計算精度和效率，適用于后續分析研究。根據6Sigma準則，響應的邊界區間可以表示為。響應的邊界區間越小，系統的穩健性越好。圖4給出了NMC和NAPCE方法計算的Bounce和Pitch方向固有特性的響應邊界。

由圖4可以看出，NAPCE和NMC方法求得的PMS固有特性響應邊界具有很好的重合度。此外，NAPCE方法計算的最大相對誤差為1.93%，表明在參數含相關性的不確定情形下，NAPCE方法能很好地預測系統響應邊界。

4.3 PMS相關性分析

進一步探究不確定參數的相關性對PMS響應相關性的影響。令懸置剛度的相關系數分別為0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、0.9999，標準差為。圖5給出了NMC和NAPCE方法計算的fB、dB、fP和dP之間的相關系數。

由圖5可以看出，NAPCE方法求得各響應之間的相關系數曲線與NMC方法求得的參考曲線具有很好的一致性。其中fP和dP之間相關系數圖像的重合度較差，其最大相對誤差為1.73%。這表明NAPCE方法具有較高的計算精度。無論是在強相關還是弱相關的不確定情形下，NAPCE方法都能很好地預測系統響應之間的相關性。

此外，fP和dB、fP和dP之間的相關性為負，其余響應之間的相關性均為正。當輸入參數相關系數為0時，響應之間仍然存在相關性，這表明PMS響應的相關性受系統本身特性和系統參數相關性的共同影響。在輸入參數相關系數為0～0.9的范圍內時，fB和fP之間的相關性、fP和dB之間的相關性以及dB和dP之間的相關性均隨系統參數相關性的增加而增加。其余響應之間的相關性則隨輸入參數相關性的增加而降低。當輸入參數相關系數超過0.9時，輸入參數相關性的變化對dB和dP之間相關性的影響不再明顯，但對fP和dP之間相關性的影響更為顯著。

考慮懸置剛度的相關性對系統固有特性響應的邊界區間可能存在影響，進一步探究輸入參數的相關性對PMS固有特性邊界區間的影響。圖6給出了NMC和NAPCE方法求得的系統響應邊界。

由圖6可看出，NAPCE和NMC方法求得的PMS固有特性響應邊界具有很好的一致性。NAPCE方法的最大相對誤差為2.26%，這表明在不確定參數含相關性的情形下，NAPCE方法能很好地預測系統響應邊界。此外，fB的邊界范圍都滿足穩健性要求。fP、dB和dP的下邊界均低于工程中的最低要求，說明fP、dB和dP不滿足穩健性要求。

4.4 PMS穩健性優化

實際工程中，測量得到剛度參數的相關系數在0.3～0.55之間。因此，令懸置剛度參數的相關系數為0.3。取表2中懸置剛度的均值作為優化變量的初始名義值，標準差為，優化變量取值范圍為初始名義值的±40%。dB和dP的主觀權重都設置為0.5；考慮到dB和dP與其他響應之間的相關性，根據式（22）～（25）計算得到優化子目標的綜合權重分別為0.51和0.49。

表7給出了PMS優化后各懸置剛度的名義值。表8給出了優化前/后fB、fP、dB和dP的均值和標準差。圖7給出了優化前/后PMS響應的邊界范圍。

由表8可知，優化前/后fB和fP的均值和標準差變化不大，優化后fP的均值滿足穩健性要求。優化后dB和dP的均值由84.55%和85.38%分別提高至96.59%和91.61%，標準差由3.07%和1.23%分別降低至1.02%和1.01%。優化后解耦率均值相比優化前有了較大的提高，標準差有了明顯的降低。這說明系統參數不確定性對解耦率的影響顯著降低。

由圖7可知，優化前/后fB邊界均滿足穩健性要求。相比優化前fP、dB和dP的下邊界超出設計要求范圍，優化后fP、dB和dP的下邊界上移，滿足穩健性要求。此外，dB和dP的邊界范圍相比優化前明顯縮窄。分析表明，優化后各響應的邊界范圍均滿足穩健性要求。

5 結" 論

（1）在不確定性分析方面，PMS各響應邊界范圍均隨不確定參數標準差的增加而線性擴張；以NMC方法作為參考，NAPCE方法計算電動汽車PMS響應均值、標準差以及邊界范圍時具有較高的計算精度和效率。

（2）在相關性分析方面，PMS響應邊界范圍均隨不確定參數相關性的增加呈現先縮窄（相關系數為0～0.9）后擴張（相關系數為0.9～0.9999）的現象；以NMC方法作為參考，NAPCE方法能很好地描述響應相關性的變化曲線，且具有較高的計算效率。

（3）在穩健性優化方面，考慮參數不確定性和相關性的PMS穩健性優化方法能在提高解耦率響應均值的同時降低解耦率響應的標準差，從而降低剛度參數的不確定性和相關性對PMS響應的影響，提高系統穩健性。

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第一作者："呂" 通信作者：輝（1986―），男，博士，副教授。E?mail： melvhui@scut.edu.cn

通信作者："肖國權（1978―），男，博士，副教授。E?mail： megqxiao@scut.edu.cn