新型慣質(zhì)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的安裝方法對優(yōu)化與性能的影響研究

摘要： 本文研究了新型慣質(zhì)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（novel tuned mass damper inerter， NTMDI）的安裝方法對其優(yōu)化設(shè)計與減振性能的影響。詳細介紹了NTMDI?R（反向安裝的NTMDI）的力學模型，并采用經(jīng)典固定點理論對NTMDI?R進行了優(yōu)化設(shè)計，得到了NTMDI?R最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)的解析式；對比研究了NTMDI?R與現(xiàn)有四種經(jīng)典調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（TMD、TMDI、VTMD和NTMDI）在簡諧激勵和隨機激勵下的減振效果，并探究了安裝方法對NTMDI?R減振性能的影響。結(jié)果表明：正、反向安裝的兩種減振器（NTMDI和NTMDI?R）優(yōu)化參數(shù)不同，安裝方法對其減振性能有較大影響。當表觀質(zhì)量比β小于0.1時，NTMDI?R的減振效果差于NTMDI；而β大于0.1時，NTMDI?R的減振效果與NTMDI基本一致，因此采用NTMDI進行結(jié)構(gòu)減振應明確其安裝方向。基礎(chǔ)加速度和荷載力分別作用下，NTMDI?R的減振效果相對于NTMDI分別降低了3.9%和4.7%。

關(guān)鍵詞： 振動控制； 調(diào)諧質(zhì)量阻尼器； 慣質(zhì)； 固定點理論； 安裝方法； 優(yōu)化設(shè)計

中圖分類號： TU352.1； TU311.3""" 文獻標志碼： A""""" 文章編號： 1004?4523（2025）02?0383?10DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004?4523.2025.02.017

收稿日期： 2023?07?03； 修訂日期： 2023?09?11

基金項目："國家自然科學基金面上項目（52378508）；廣東省基礎(chǔ)與應用基礎(chǔ)研究基金資助項目（2022A1515110709）

Effect of installation method of novel tuned mass damper inerter on optimization and performance

HE Shuyong1，2， LI Shouying1，2， LI Yafeng3， LUO Shuai1，2， CHEN Zhengqing1，2

（1.College of Civil Engineering， Hunan University， Changsha 410082， China； 2.Key Laboratory for Wind and Bridge Engineering of Hunan Province， Hunan University， Changsha 410082， China； 3.Earthquake Engineering Research and Test Center， Guangzhou University， Guangzhou 510006， China）

Abstract： This study investigates the influence of installation methods on the optimization design and vibration reduction performance of a novel tuned mass damper inerter （NTMDI）. Firstly， the mechanical model of NTMDI-R （reverse-installed NTMDI） is introduced in detail， and its optimization design of NTMDI-R is performed using classical fixed-point theory， resulting in analytical expressions for the optimal structural parameters of NTMDI-R. Subsequently， a comparative study is conducted to analyze the vibration reduction effects of NTMDI-R and four existing classical tuned mass dampers （TMD， TMDI， VTMD， and NTMDI） under harmonic and random excitations， while also investigating the influence of installation methods on the vibration reduction performance of NTMDI-R. The results demonstrate that the optimized parameters of the two dampers （NTMDI and NTMDI-R） differ， and the installation method has a significant impact on their vibration reduction performance. When the apparent mass ratio β is less than 0.1， NTMDI-R exhibits a lower vibration reduction effect compared to NTMDI. However， when β exceeds 0.1， the vibration reduction effect of NTMDI-R becomes similar to that of NTMDI. Therefore， when adopting NTMDI for structural vibration reduction， the installation direction should be specified. Under base acceleration and load force conditions， the vibration reduction effect of NTMDI-R is reduced by 3.9% and 4.7%， respectively， compared to NTMDI.

Keywords： vibration suppression；tuned mass damper；inerter；fixed?point theory；installation method；optimal design

調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（tuned mass damper， TMD）是安裝在運動主系統(tǒng)上用于減小非期望振動的輔助質(zhì)量系統(tǒng)，因其設(shè)計簡單、可靠性高而被廣泛應用于土木和機械工程領(lǐng)域［1?4］。為了使TMD達到最優(yōu)的減振性能，需對TMD進行優(yōu)化設(shè)計。OMIONDIUYD等［5］提出的固定點理論為TMD的優(yōu)化設(shè)計提供了方法，之后，該方法在結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計過程中被廣泛應用［6?8］。

慣容具有質(zhì)量放大效應，其概念最早由SMITH［9］提出。與物理質(zhì)量不同，慣容是一種兩節(jié)點單元，可由兩節(jié)點間的作用力與其相對加速度的比值求得。在數(shù)值上，可比其自身物理質(zhì)量大兩個數(shù)量級。實際應用中可通過齒輪齒條［10］、滾珠絲杠［11］、液壓形式［12］和流體形式［13］等來實現(xiàn)慣容。在“慣容”的概念被提出之前，ARAKAKI等［14］已經(jīng)開始在土木工程領(lǐng)域中利用滾珠絲桿機構(gòu)進行耗能增效，但當時在土木工程領(lǐng)域中并未對慣容進行系統(tǒng)地研究，而是在機械領(lǐng)域中得到了系統(tǒng)性的發(fā)展［15］。

為了改善TMD的減振性能，REN［16］將TMD中的阻尼單元與大地連接，提出了變化調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（variant tuned mass damper， VTMD），結(jié)果表明：VTMD對應的主結(jié)構(gòu)頻響曲線同樣滿足固定點理論，并基于此理論推導了最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)表達式。但相較TMD而言，VTMD的減振效果并未有顯著的提升。為了提高減振器的性能，國內(nèi)外研究人員借鑒慣容在汽車和機械領(lǐng)域中的應用，將具有質(zhì)量放大機制的慣容引入到土木工程領(lǐng)域中，提出了多種形式的慣容減振（震）系統(tǒng)［17］。SAITO等［18］將慣容引入旋轉(zhuǎn)黏滯阻尼器，提出了土木工程領(lǐng)域首個具有完整意義的慣容減振（震）系統(tǒng)，即調(diào)諧黏滯質(zhì)量阻尼器（tuned viscous mass damper， TVMD）。

如圖1所示，MARIAN等［19?20］將TMD的質(zhì)量與大地通過慣質(zhì)連接，提出了慣質(zhì)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（tuned mass damper inerter， TMDI），并采用H∞和H2方法對TMDI進行參數(shù)優(yōu)化；PIETROSANTI等［21］采用三種不同的優(yōu)化目標（位移最小化、加速度最小化和阻尼裝置耗散能量與主結(jié)構(gòu)總輸入能量之比最大化）對TMDI進行優(yōu)化設(shè)計，并與TMD進行對比分析。結(jié)果表明：TMDI比經(jīng)典TMD具有更好的減振效果和魯棒性；ZHANG等［22］和GIARALIS等［23］分別利用TMDI對風力機葉片和高層建筑風致振動控制進行了研究，并與TMD進行對比，研究結(jié)果同樣表明TMDI比TMD具有更好的減振效果。為了提高阻尼器的頻帶寬度，CAO等［24］將兩個慣質(zhì)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（TMDI）的質(zhì)量單元通過阻尼單元連接，提出了串聯(lián)慣質(zhì)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（tuned tandem mass dampers‐inerters， TTMDI），并基于單自由度結(jié)構(gòu)?TTMDI系統(tǒng)對TTMDI的減振性能進行評價，發(fā)現(xiàn)TTMDI在控制效率和控制頻帶范圍方面優(yōu)于TMDI。之后，CAO等［25］基于多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（MTMD）可拓寬有效頻帶的原理，設(shè)計了多重慣質(zhì)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（MTMDI），研究發(fā)現(xiàn)，MTMDI在控制效果、調(diào)諧質(zhì)量沖程和魯棒性方面均優(yōu)于MTMD。

LI等［26］將TMDI中的阻尼單元調(diào)整為與慣質(zhì)并聯(lián)，然后再與大地和調(diào)諧質(zhì)量串聯(lián)，提出了新型慣質(zhì)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（novel tuned mass damper inerter， NTMDI），如圖2所示，并進行了參數(shù)優(yōu)化分析，結(jié)果表明，NTMDI比TMDI有更好的減振效果。然而，目前還沒有關(guān)于NTMDI的安裝方法對其優(yōu)化設(shè)計與性能影響的研究。本文將NTMDI與主結(jié)構(gòu)和大地之間的安裝方向調(diào)換引入了反向安裝的NTMDI（即NTMDI?R）。建立了附加NTMDI?R的SDOF無阻尼主結(jié)構(gòu)的力學模型，并基于固定點理論對NTMDI?R進行諧波激勵下的優(yōu)化設(shè)計，得到其優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)解析式；通過與現(xiàn)有四類經(jīng)典的減振系統(tǒng)（TMD、VTMD、TMDI和NTMDI）進行比較，評估了NTMDI?R在簡諧激勵和隨機激勵下的振動控制效果。

1 NTMDI?R的理論模型

圖3分別為荷載力和基礎(chǔ)加速度激勵下附加NTMDI?R的單自由度無阻尼主結(jié)構(gòu)模型。其中，ms和ks分別為主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度系數(shù)；mi、md、kd和cd分別為NTMDI?R的表觀質(zhì)量、物理質(zhì)量、剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)。ms和md均具有水平方向的自由度，可分別由相對大地的水平向位移xs和xd表示。f和分別為荷載力和基礎(chǔ)加速度。由D’Alembert原理可得附加NTMDI?R系統(tǒng)的主結(jié)構(gòu)運動微分方程如下式所示：

（1）

其中，

或 """""" （2）

式中，對應圖3（a）中的力激勵；對應圖3（b）所示的基礎(chǔ)加速度激勵。

以加速度激勵為例進行NTMDI?R的最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)與主結(jié)構(gòu)響應的詳細推導。

假設(shè)圖3（b）中的基礎(chǔ)加速度為簡諧荷載，有如下形式：

（3）

式中，ω為外激勵的圓頻率。

將式（3）代入方程（1）和（2）中，可得到：

（4）

其中，

（5）

式中，μ為調(diào)諧質(zhì)量比，即md與ms的比值；β為慣容比，也稱表觀質(zhì)量比，即mi與ms的比值；ωs和ωd分別為主結(jié)構(gòu)和NTMDI?R的固有頻率；ξd為NTMDI?R的阻尼比。

設(shè)方程（4）中解的形式如下式所示：

，""" （6）

將式（6）代入方程（4）中，可得主結(jié)構(gòu)響應幅值Xs：

（7）

式中，

（8）

引入如下參數(shù)：

（9）

式中，λ為激勵頻率比，即ω與ωs的比值；λd為調(diào)諧頻率比，即ωd與ωs的比值；xst為外激勵幅值在主結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生的靜位移。

則NTMDI?R對應的主結(jié)構(gòu)動力放大系數(shù)為：

（10）

式中，

（11）

2 NTMDI?R的結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化

式（10）和（11）是以5個結(jié)構(gòu)參數(shù)μ、β、λ、λd和ξd為變量的函數(shù)方程，其中質(zhì)量比μ和β需根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點、減振目標等因素確定；λ為外激勵頻率比，是人為確定的，為已知條件；在μ、β和λ三個參數(shù)已知的前提下，對調(diào)諧頻率比λd和調(diào)諧阻尼比ξd進行優(yōu)化設(shè)計。圖4分別給出了六種調(diào)諧阻尼比ξd（0、5%、10%、20%、50%和∞）情況下主結(jié)構(gòu)的頻率響應曲線。其中，μ=0.01、β=0.1和λd=1.0。從圖4中可以發(fā)現(xiàn)，附加NTMDI?R的主結(jié)構(gòu)頻率響應曲線均經(jīng)過與阻尼比無關(guān)的兩個固定點P和Q，這一現(xiàn)象與NTMDI一致［26］。

根據(jù)固定點理論，為了獲得最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)，必須使主結(jié)構(gòu)的最大響應值最小，即兩固定點處的縱坐標相等，需要Ds在ξd=0和ξd→∞時的值相等，即，則有：

（12）

公式（12）可轉(zhuǎn)化為：

（13）

上述方程的兩個根對應圖4中兩個固定點的橫坐標，由韋達定理可得到下式：

（14）

當ξd趨于無窮大時，式（10）可轉(zhuǎn)化為：

（15）

根據(jù)固定點理論，在最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)下兩固定點處的響應值相等。將兩個固定點的橫坐標λP和λQ代入式（15）可得：

（16）

式（16）可簡化為：

（17）

將式（14）和（17）聯(lián)立，即可得到NTMDI?R的最優(yōu)頻率比λdopt：

（18）

將最優(yōu)頻率比λdopt代入方程（13）可得P和Q兩點的橫坐標為：

（19）

將式（18）和（19）代入式（15），可得兩固定點處的響應值，即最優(yōu)頻率比對應的最優(yōu)響應值為：

" （20）

根據(jù)式（18）得到的最優(yōu)頻率比λdopt可以滿足圖4中兩個固定點P和Q處的響應幅值相等。由圖4可知，附加NTMDI?R的主結(jié)構(gòu)頻響曲線與阻尼比無關(guān)，均會經(jīng)過P和Q兩個固定點，因此必須使附加NTMDI?R的主結(jié)構(gòu)頻響曲線在P和Q兩點取得最大值。根據(jù)極值條件，P和Q兩點成為極值點需滿足：

（21）

同時：

（22）

Ds和λ均大于0，因此：

（23）

將式（10）簡化為：

（24）

將式（24）代入式（23）得到：

（25）

式中，

（26）

式（25）可化為：

（27）

在最優(yōu)頻率比λdopt條件下，P、Q兩點滿足：

（28）

將式（27）代入式（28）中得到：

（29）

將λdopt、和代入式（29），即可得到兩個固定點處阻尼比的平方和。需要強調(diào)的是，無論如何選擇阻尼，均不可能使結(jié)構(gòu)的振幅比在P和Q兩點同時取得最大值。因此，取和的平均值作為最優(yōu)阻尼比，即：

（30）

在荷載力激勵下附加NTMDI?R減振系統(tǒng)的主結(jié)構(gòu)頻響曲線也滿足固定點理論。同理，根據(jù)上述式（1）～（30）的推導，同樣可以得到在荷載力激勵下NTMDI?R的最優(yōu)頻率比、最優(yōu)阻尼比以及最優(yōu)主結(jié)構(gòu)動力放大系數(shù)如下式所示：

（31）

（32）

"" （33）

圖5和6分別為基礎(chǔ)加速度和荷載力激勵下，NTMDI?R對應的結(jié)構(gòu)優(yōu)化參數(shù)（最優(yōu)頻率比、最優(yōu)阻尼比和最優(yōu)主結(jié)構(gòu)動力放大系數(shù)）隨調(diào)諧質(zhì)量比μ和表觀質(zhì)量比β的變化規(guī)律。從圖5和6中可以發(fā)現(xiàn)，兩種激勵作用下NTMDI?R的最優(yōu)頻率比λdopt均隨著調(diào)諧質(zhì)量比μ和表觀質(zhì)量比β的增加而不斷增加；在兩種激勵形式作用下，最優(yōu)阻尼比ξdopt均隨著表觀質(zhì)量比β的增加而增加，但隨著調(diào)諧質(zhì)量比μ的變化卻不一致。在加速度激勵下，當β小于0.35時，ξdopt隨著μ的增加不斷減小；當β大于0.35時，ξdopt隨著μ的增加呈先增加后減小的趨勢。而在荷載力激勵下，最優(yōu)阻尼比ξdopt隨著質(zhì)量比μ的增加呈不斷減小的趨勢。在兩種荷載形式作用下，最優(yōu)主結(jié)構(gòu)動力放大系數(shù)Dsopt均隨著β的增加而不斷減?。欢滦∮?.1時，Dsopt隨著μ的增加而增加；當β大于0.1時，Dsopt隨著μ的增加而減小。

與文獻［26］中的NTMDI相比，上述NTMDI?R的最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化趨勢，除最優(yōu)頻率比λdopt與NTMDI的變化趨勢一致外，最優(yōu)阻尼比ξdopt和最優(yōu)動力放大系數(shù)Dsopt的變化趨勢均與NTMDI不同。并且在基礎(chǔ)加速度作用下，NTMDI?R的最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)λdopt和ξdopt均大于荷載力作用下的最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)λdopt和ξdopt，而最優(yōu)動力放大系數(shù)Dsopt則相反，這一現(xiàn)象正好與NTMDI的結(jié)果相反。這些現(xiàn)象證明阻尼器的安裝方法對其性能有很大影響。

3 簡諧激勵下主結(jié)構(gòu)響應比較

經(jīng)過文獻［16，20，26?29］調(diào)查，在表1中分別匯總了荷載力和基礎(chǔ)加速度激勵下，四種經(jīng)典調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（TMD、VTMD、TMDI和NTMDI）的最優(yōu)參數(shù)表達式。并與本文中NTMDI?R對應的優(yōu)化參數(shù)表達式（λdopt、ξdopt和Dsopt）進行對比。

圖7和8分別給出了μ=0.01時，在兩種荷載作用下，附加最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)的5種調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（TMD、TMDI、VTMD、NTMDI和NTMDI?R）的最優(yōu)主結(jié)構(gòu)動力放大系數(shù)Dsopt隨表觀質(zhì)量比β的變化圖。從圖7和8中可以看出，在相同的表觀質(zhì)量比β下，NTMDI比TMD、TMDI和VTMD具有更好的減振效果。并且隨著表觀質(zhì)量比β的增加，其減振效果提高得越多。而NTMDI?R在表觀質(zhì)量較小時，其減振效果差于TMD、TMDI和VTMD。因此，并非在經(jīng)典的TMD和VTMD中添加表觀質(zhì)量就可以提高其減振性能，還需要考慮阻尼器安裝方法的影響。當β小于0.1時，NTMDI?R的減振效果差于NTMDI；而β大于0.1時，NTMDI?R的減振效果與NTMDI基本一致。當β等于0時（即反向布置的VTMD），可以看出反向布置的VTMD的減振效果差于VTMD，這再次說明阻尼裝置的安裝方法對其減振效果有影響。

圖9和10分別給出了μ=0.01、β=0.2時，在兩種激勵作用下，附加最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)的5種調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（TMD、TMDI、VTMD、NTMDI和NTMDI?R）的主結(jié)構(gòu)頻響曲線對比圖。其中，定義了減振率αi來評價NTMDI?R與其他4種調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的減振效果：

（34）

將兩種荷載作用下的減振率匯總在表2。從圖9和10可以看出：與TMD、TMDI和VTMD相比，NTMDI?R在兩種荷載作用下的減振效果均有較明顯提升。而與NTMDI相比，NTMDI?R在基礎(chǔ)加速度和荷載力作用下的減振效果則分別降低了3.9%和4.7%，說明荷載激勵方式也會對NTMDI?R和NTMDI的減振效果產(chǎn)生影響。

4 隨機激勵下主結(jié)構(gòu)響應比較

在實際工程中結(jié)構(gòu)更多是遭受像風和地震這樣的隨機荷載，因此本文進一步研究了在隨機荷載作用下附加上述5種減振系統(tǒng)（TMD、TMDI、VTMD、NTMDI和NTMDI?R）的主結(jié)構(gòu)響應，并進行對比分析。

采用狀態(tài)空間［21］方法，式（4）可表示為：

（35）

式中，

（36）

假設(shè)外荷載為平穩(wěn)白噪聲激勵，則狀態(tài)向量的穩(wěn)態(tài)協(xié)方差矩陣表示為：

（37）

式中，E［］為期望運算。

公式（37）中穩(wěn)態(tài)協(xié)方差矩陣Gzz可通過李雅普諾夫方程求得，如下式所示：

（38）

式中，S0為白噪聲激勵的均勻功率譜密度。

對李雅普諾夫方程求解可得到穩(wěn)態(tài)協(xié)方差矩陣，從而可求得附加NTMDI?R的主結(jié)構(gòu)響應均方根，如下式所示：

（39）

式中，

（40）

同理，改變狀態(tài)空間表達式（35）中的系統(tǒng)矩陣A和輸入矩陣B，即可得到附加TMD、VTMD、TMDI和NTMDI的主結(jié)構(gòu)響應均方根，其中隨機加速度作用下附加5種減振系統(tǒng)的主結(jié)構(gòu)響應均方根公式見文獻［26］，在此不贅述。而隨機荷載力作用下附加5種減振系統(tǒng)的主結(jié)構(gòu)響應均方根如下式所示：

（41a）

（41b）

（41c）

（41d）

（41e）

將表1中對應的優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)λdopt和ξdopt代入相應的公式中即可得到最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)下附加5類減振系統(tǒng)的主結(jié)構(gòu)響應均方根，如圖11和12所示。可以發(fā)現(xiàn)在兩種隨機荷載激勵下的主結(jié)構(gòu)響應均方根結(jié)果與兩種簡諧荷載激勵下的結(jié)果（即圖7和8）具有相同的規(guī)律，這說明激勵方式不影響減振器的響應變化規(guī)律。

5 結(jié)" 論

本文將NTMDI與主結(jié)構(gòu)和大地之間的安裝方向調(diào)換引入了NTMDI?R（反向安裝的NTMDI），并給出了諧波激勵下NTMDI?R優(yōu)化設(shè)計的解析式。將NTMDI?R與現(xiàn)有四種經(jīng)典調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（TMD、VTMD、TMDI和NTMDI）進行比較，進而評估NTMDI?R在諧波激勵和白噪聲激勵下的振動控制效果。本文研究得出以下結(jié)論：

（1） 附加NTMDI?R的主結(jié)構(gòu)頻響曲線同樣滿足固定點理論，基于固定點理論分別推導了簡諧基礎(chǔ)加速度和荷載力激勵下NTMDI?R對應的最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)解析式（最優(yōu)頻率比、最優(yōu)阻尼比和最優(yōu)主結(jié)構(gòu)動力放大系數(shù)）。

（2） 在表觀質(zhì)量相同時，NTMDI比TMD、TMDI和VTMD具有更好的減振效果。而NTMDI?R在表觀質(zhì)量較小時，其減振效果差于TMD、TMDI和VTMD。因此，并非在經(jīng)典的TMD和VTMD中使用表觀質(zhì)量就可以提高其減振性能，還需要考慮阻尼器安裝方法的影響。

（3） 正、反向安裝的兩種減振器（NTMDI?R和NTMDI）的優(yōu)化參數(shù)不同，則阻尼器的安裝方法對其減振性能有較大影響。當表觀質(zhì)量比β小于0.1時，NTMDI?R的減振效果差于NTMDI，而β大于0.1時，NTMDI?R的減振效果與NTMDI基本一致?；A(chǔ)加速度和荷載力分別作用下，NTMDI?R的減振效果相對于NTMDI分別降低了3.9%和4.7%。

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第一作者： 何書勇（1995—），男，博士研究生。E?mail： hsyong@hnu.edu.cn

通信作者： 李壽英（1977—），男，博士，教授。E?mail： shyli@hnu.edu.cn