端齒同軸度誤差對雙錐度葉片-機匣系統加速特性分析

摘要： 在航空渦軸發動機裝配過程中，端齒同軸度誤差是一個重要的技術指標，對整機系統的性能和使用壽命有重要的影響。以航空渦軸發動機渦輪葉片?機匣為研究對象，考慮將端齒同軸度誤差（定位誤差和定向角誤差）引入到葉尖?機匣的間隙方程中，基于Hamilton能量原理和Galerkin方法建立了考慮雙錐度葉片?機匣系統的非線性動力學模型，通過ANSYS有限元方法驗證了理論模型的正確性。在此基礎上，運用Newmark?β數值求解方法分析了不同端齒同軸度誤差對系統在定值加速函數（函數1）與余弦波加速函數（函數2）下的瞬態響應的影響，數值計算結果表明：增加同軸度誤差，會進一步縮小葉尖與機匣之間的最小間隙，導致碰摩誘發的振幅更加嚴重；與函數1相比，采用函數2的加速度可以更快地通過系統臨界轉速，導致碰摩開始時間提前，當靠近目標轉速時，減速作用可以有效減少最大碰摩力和侵入量，以減緩系統的隆起現象和跳躍現象。

關鍵詞： 轉子動力學； 葉片?機匣碰摩；端齒同軸度誤差； 余弦波加速函數； 跳躍和隆起現象

中圖分類號： V231.96； V232.4""" 文獻標志碼： A""" 文章編號： 1004-4523（2025）02-0420-12

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.02.021

收稿日期： 2023-01-20； 修訂日期： 2023-06-26

基金項目："國家自然科學基金資助項目（52075554）；高性能復雜制造國家重點實驗室資助項目（ZZYJKT2021-07）；東北大學航空動力裝備振動及控制教育部重點實驗室研究基金資助項目（VCAME202006）；中南大學研究生創新基金資助項目（No.2019zzts256）

Acceleration characteristics of double taper blade?casing system considering the coaxiality errors of the curvic couplings

JIN Miao1，2， WANG Ailun2， WANG Qingshan2， Yin Yijun2， Chen Yaru2， HENG Xing2

（1.China North Vehicle Research Institute，Beijing 100072，China；2.State Key Laboratory of High Performance Complex Manufacturing， Central South University， Changsha 410083，China）

Abstract： In the assembly process of an aero-turboshaft engine， the coaxiality errors of the curvic couplings are an important technical index， significantly affecting the performance and service life of the whole system. This study takes the turbine blade-casing of an aero-turboshaft engine as an example. The coaxiality errors （including both positional and orientation errors） of the curvic couplings are introduced into the clearance function of the blade tip-casing， the nonlinear dynamic model of a rotating taper-blade casing system is then proposed based on the Hamilton variational principle and the Galerkin method. The effectiveness of the proposed model is verified using ANSYS software. Two different acceleration functions are proposed： Function 1 assumes a constant acceleration value， while Function 2 adopts a cosine wave form for acceleration. The effects of different coaxiality errors of the curvic couplings on the transient response during both acceleration functions are further investigated using Newmark-β numerical method. Simulation results show that an increase in the coaxiality error of the curvic coupling leads to a reduction in the minimum clearance between the blade tip and casing， resulting in a more serious amplitude amplification induced by blade-tip casing rubbing. Compared with Function 1， Function 2 enables the system to pass through the critical speed more quickly， which advances the start time of rubbing. In addition， the maximum rubbing force and penetration depth can be effectively reduced due to the effects of the deceleration， weakening the rising and jumping phenomena in the system.

Keywords： rotor dynamics；blade-casing rubbing；coaxiality errors of the curvic couplings；cosine wave acceleration function；rising and jumping phenomena

航空渦軸發動機是現代先進直升機的“心臟”［1?2］，含有端齒連接結構的轉子?雙錐度葉片系統是其重要的組成部分，其中端齒連接結構是系統的高精密定心元件，通過中心拉桿對端齒連接結構施加預緊力，使得多盤轉子連接成一體［3?4］。雙錐度葉片主要應用于渦軸發動機的渦輪葉片，其設計思想是通過寬度和厚度的錐度比來調節葉片的氣動載荷分布，從而降低葉片的彎曲應力和應力集中程度，提高葉片的承載能力和耐久性。端齒連接結構在裝配中或機器長期運行中，不可避免地需要經常拆卸，由于其具有多個齒嚙合，導致裝配工藝復雜，定位要求更高，需要高精度零點定位裝置分多工序完成裝配。因此，端齒連接結構在裝配過程中，難免會產生端齒同軸度誤差，包括定位誤差和定向角誤差，這會使得葉尖與機匣之間的間隙逐漸縮小。此外，根據航空渦軸發動機的設計要求，轉子系統需要快速通過前2階臨界轉速，因此轉子系統經常處于啟?；蛘呒訙p速的狀態，此時系統的加速度隨時間變化，導致高轉速旋轉的葉片在加速過程中與機匣系統之間發生碰摩的可能性增大。因此，對含有端齒同軸度誤差的轉子?雙錐度葉片系統的加速響應特性進行分析，對中國航空渦軸發動機的理論研究和安全運行具有重要的指導意義。

近年來，國內外學者對于連接結構的定位裝配進行了理論研究，發現定位精度不僅關系到轉子裝配質量，還影響轉子的動力學特性。關于定位誤差和裝夾誤差的相關研究，崔相武［5］以端齒連接結構為定位元件設計了一種可重復、高精度、適合回轉工況的隨行夾具，并對其進行了理論分析。王哲［6］以端齒連接結構作為高精度零點定位裝置，發現定位誤差中不僅存在端齒的加工誤差，還包括了裝夾過程的誤差。為了減少端齒裝配誤差的影響，CROCCOLO等［7?8］采用有限元軟件對端齒連接結構裝配過程中的定位誤差進行了仿真分析，并且推導了端齒裝配過程中的定位誤差與端齒角不對中之間的數學表達式，并通過實驗驗證了表達式的準確性。關于同軸度誤差的相關研究，WANG等［9］提出了一種間接測量端齒連接結構的定位和定向角誤差的方法，并在此基礎上，推導了一種快速測量端齒同軸度誤差的優化模型，通過實驗驗證了其效果。CHAI等［10］提出了一種非接觸式光學測量方案，可用于快速測量錐齒輪和花鍵之間的同軸度誤差。ZHANG等［11］提出了一種用于測量航空發動機裝配過程中多級轉子之間同軸度的方法，通過比較基于中心基準線、單一測量基準以及公共基準軸的三種測量模型，并結合實驗表明，基于公共基準軸的同軸度測試值比另外兩個方法的測量值更精確。關于端齒連接結構的加工誤差方面的研究，基于彈性平均原理，劉恒等［12］推導了端齒連接結構的軸向偏差和同心偏差的計算方法。孫帥等［13］基于端齒連接結構的加工原理，分析了關鍵結構參數（節距偏差和初始齒面間隙）對接觸狀態的影響規律，并通過優化安裝相位誤差，減少了初始齒面間隙的方差和均值。

國內外學者還對于轉子?葉片動力學建模展開了一系列的研究。關于碰摩方面的研究，靳玉林等［14］采用理論和實驗相結合的方法建立了含有葉片?機匣碰摩、滾動軸承游隙、聯軸器不對中及不平衡響應等因素的雙轉子?軸承非線性系統，并分析了其碰摩響應。張力等［15］考慮碰摩造成的約束作用，建立了碰摩約束條件的渦扇葉片?機匣的微分方程。基于小波轉換時?頻信號的分析方法，梁智超等［16］對轉子?支撐?機匣碰摩模擬試驗器的機匣振動響應進行了提取。太興宇等［17］采用理論和實驗的方法模擬了轉子?葉片?定子系統的碰摩響應，研究表明，由于定子的約束，系統的響應有明顯的“削峰”現象。基于多尺度攝動理論，李炳強等［18］模擬了不同法向碰摩力、圓盤偏心以及阻尼系數對轉子?葉片系統在主共振狀態下穩定性的影響規律。基于相似設計理論，趙璐等［19］和侯理臻等［20］搭建了含有葉片飛脫裝置的葉片?機匣碰摩實驗器模型，研究表明增大不平衡量會引發超次諧波。馬輝等［21］和郭旭民等［22］采用Timoshenko梁和圓柱殼理論，構建了旋轉葉片?柔性機匣動力學有限元模型，并分析了定加速度過程中，由于碰摩導致的葉片振動和機匣振動響應。關于雙錐度葉片方面的研究，MADI等［23］對比了錐形葉片和無錐度葉片在風機渦輪葉片中動力學特性的差異，結果表明錐形葉片在高轉速下具有更高的效率，能夠降低壓力損失和氣動損失。HU等［24］基于平均Navier?Stokes方程，建立了無人機旋翼系統的數值模型，并分析了長寬比和錐度比對系統懸停性能的影響。研究結果表明，適當的錐度比可以增加葉片的弦長，從而提高系統的效率。ZHANG等［25］研究了失諧量對葉片?輪盤?機匣碰摩特性的影響，并在建立旋轉葉片的有限元模型中考慮了雙錐度葉片的變截面特征和陀螺效應。

綜上所述，關于端齒連接結構裝配過程中同軸度誤差的研究，相關學者主要集中在連接結構的測量方法方面，目前尚缺乏端齒安裝過程中所產生的定位誤差和定向角誤差對動力學特性影響方面的研究。此外，針對轉子?葉片碰摩問題，雖然一些學者考慮了定加速過程中的振動響應，但是關于余弦加速函數下振動響應的研究仍然鮮有報道。特別地，端齒連接結構的設計、加工以及裝配等技術已成為新一代航空渦軸發動機的核心技術。然而，國內的相關研究相對薄弱，端齒連接結構的同軸度誤差對轉子系統的裝配精度和力學特性的影響尚不明確。此外，在直升機執行任務時，不同加速環境下的振動特性呈現明顯差異，這已成為中國亟待解決的科學難題。

基于上述研究背景，本文首先分析了端齒盤的定位原理，并推導出了端齒裝配過程中的同軸度誤差（包括定位誤差和定向角誤差）的數學表達式。然后，針對航空渦軸發動機中葉片的復雜形面特征，基于Hamilton能量原理和Galerkin法建立了含有變截面的雙錐度葉片?機匣系統模型，并通過有限元方法驗證了模型的有效性和正確性。最后，采用數值積分方法模擬了兩種加速函數下端齒同軸度誤差對葉片?機匣碰摩響應在瞬態過程中的影響規律。

1 動力學模型的建立

圖1為含有端齒連接結構的葉片?機匣示意圖，其耦合系統主要由雙錐度葉片、機匣、端齒連接結構、輪盤等組成， 其中圓弧段AD表示機匣弧長，弧長對應的角度為60°。

為了建模方便，本文在建立理論模型時采用了以下假設條件：

（1） 各結構的材料均為各向同性材料，其本構關系滿足胡克定律，受力狀態滿足不變性公理。

（2） 不考慮輪盤的柔性變形，將輪盤視為剛性盤。

（3） 葉片簡化為雙錐度懸臂梁，機匣簡化為集中質量模型，葉片?機匣碰摩采用點?點接觸來模擬接觸特征，碰摩范圍僅發生在圓弧段AD內。

（4） 忽略碰摩過程中的摩擦熱效應。

（5） 不考慮端齒連接結構嚙合過程中的接觸效應。

1.1 端齒同軸度誤差的模型

端齒連接結構的定位和裝配過程主要分為三個步驟：首先是端齒基準盤的定位；其次是旋轉工作轉臺與端齒下盤的嚙合（隨行夾具與端齒上盤的裝夾）；最后是端齒上齒盤和下齒盤的預緊裝配。在完成端齒定位和安裝過程中可能存在兩種裝配誤差：第一種誤差是端齒定位誤差，即端齒上、下齒盤在預緊嚙合過程中，由于加工誤差以及預緊滑移，會引起端齒下齒盤和上齒盤的形心與基準盤中心線之間存在軸向偏移Pmis，如圖2（a）所示；第二種誤差是端齒定向角誤差，即端齒的上齒盤和下齒盤在完成嚙合之前，端齒下齒盤和旋轉工作轉臺一起轉動N個齒，產生了旋轉角θm。由于軸向偏移的作用，導致旋轉角與轉動中心線之間存在角偏差γmis，如圖2（b）所示。

上述兩種誤差在端齒安裝過程中同時存在，因此將它們統稱為同軸度誤差Cmis，如圖3所示，根據幾何位置關系，預緊前、后的端齒基準半徑差和定向角誤差的數學表達式如下：

（1）

式中，Rm表示端齒圓盤的節圓半徑，Rm=（Ri+Ro）/2，Ri和Ro分別表示端齒圓盤的內半徑和外半徑；θm表示端齒下齒盤的旋轉角。

通過式（1）可知，端齒下齒盤與轉動中心線之間的定向度誤差呈90?對稱分布，并且在旋轉角θm=90?時，定向角誤差達到最大值。此外，為了滿足端齒連接結構的裝配條件，最大定向角誤差γmis?max必須小于端齒圓盤相鄰齒間的角度步長，因此，得到以下數學表達式：

（2）

式中，z表示端齒連接結構的齒數。

結合式（1）和（2），為確保正確安裝，可以計算出最大定位誤差Pmis?max的上限閾值需要滿足最大定向角誤差γmis?max （θm=90?）的情況，表達式為：

（3）

1.2 雙錐度葉片的建模

雙錐度葉片如圖4所示，其中Lb表示葉片的總長度，b1、b2分別為葉根和葉尖處的寬度，h1、h2分別為葉根和葉尖處的厚度。u、v、w分別表示雙錐度葉尖上任意位置Q點在徑向、橫向和擺動方向上的變形。Xb、Yb、Zb分別為雙錐度葉片在局部坐標系下的徑向、橫向、擺動方向上的位移。ξb為葉片上無量綱軸向位置（ξb=x/Lb），bb（ξb）和hb（ξb）分別表示葉片在軸向位置ξb上任意截面相對于葉根處的寬度和厚度，具體的表達式如下：

（4）

（5）

式中，ηb和ηh分別為雙錐度葉片沿著寬度方向、厚度方向的錐度比［26］，具體表達式為：ηb=1-b2/b1和ηh=1-h2/h1。

假設軸向位置ξb處的變截面面積Ab（ξb）為具有兩個待定系數的函數模式，變截面慣性矩Ib（ξb）為具有四個待定系數的函數模式，其表達式如下：

（6）

（7）

式中，ε1和ε2為變截面面積的二次待定系數；γ1、γ2、γ3、γ4為變截面慣性矩的四次待定系數；Ab1、Ib1分別為葉根處的變截面面積、變截面慣性矩，表達式分別為：Ab1=b1h1和Ib1=（1/12）b1。

進一步，將式（4）和（5）代入到式（6）和（7）中，求得待定系數表達式為：

（8）

（9）

雙錐度葉片的總動能表達式如下［27］：

（10）

式中，ρb表示雙錐度葉片的密度；rQ表示固定坐標下的位移矢量，符號“·”表示時間的一階偏導，其具體的符號描述和表達式參見文獻［3，28］。

考慮到雙錐度葉片在旋轉過程中的離心載荷、旋轉軟化、葉片?機匣的碰摩特征，其勢能可以表示為：

（11）

式中，表示葉片在局部坐標系下的截面轉角；fc（x）、Fn、Eb、Gb、κb分別表示雙錐度葉片的離心載荷、葉片法向碰摩力、彈性模量、剪切模量、剪切因子，具體符號描述參見文獻［3］。

1.3 間隙函數

圖5為含有同軸度誤差的雙錐度葉片與機匣之間的間隙示意圖。圖中，O為端齒連接結構的中心，Ocasing為機匣中心，rg（rg=Lb+Rd）為靜態（轉速Ω=0）時葉尖軌跡半徑，其中Rd表示輪盤半徑，uL表示葉尖徑向位移，ec表示靜態平行不對中量，δn表示旋轉葉片和機匣之間的侵入深度，g0（g0=Rcasing-Rd-Lb）表示旋轉葉片與機匣之間的間隙函數，ucasing和Rcasing分別表示機匣徑向位移和機匣半徑，φ1為初始相位角，Kcasing和Ccasing分別表示機匣在徑向方向的剛度和阻尼。

根據碰摩發生前后的幾何位置關系，B點、C點、點三點構成了一個直角三角形，它們之間的關系式為：

（12）

因此，根據上式，得到以下表達式：

（13）

對上式求解，得到含有端齒同軸度誤差的葉片與機匣之間的間隙函數表達式為：

（14）

1.4 兩種加速度函數

為了考慮端齒同軸度對葉片?機匣系統在升速過程中的影響，本文在建立航空渦軸發動機的數學模型時，采用了兩種不同的加速度函數來模擬速度的變化率。其中，函數1是傳統的定加速度形式，適用于描述加速過程和穩態過程。這種方式簡單易行，但也有缺點。在飛行過程中，從加速過程到穩態過程，速度會突變，導致加速度理論上無窮大，容易產生剛性沖擊。函數2是余弦函數形式，適用于描述加速度的正弦波變化。這種方式可以使系統在加速過程到穩態過程中，轉速變化平緩，避免過大的沖擊力，保證發動機的穩定性和可控性。但也有風險，余弦函數使轉速先加速后減速的變化，可以短時間內達到最大推力，提高直升機的機動性能，但也可能導致壓氣機踹振或渦輪葉片損壞。

（1） 函數1：加速度函數、速度函數以及角位移函數分別為：

（15）

式中，Ωend、Ω0分別表示穩定后的目標轉速以及初始速度；tacc為加速時間；θ0表示初始角位移。

（2） 函數2：加速度函數、速度函數以及角位移函數分別為：

（16）

根據式（15）和（16），兩種函數的加速度變化曲線和速度變化曲線如圖6（a）和圖6（b）所示。

從圖6（a）和（b）可以看出，函數1和函數2分別用定值和余弦波來模擬加速度隨時間的變化，用固定斜率和正弦波斜率來模擬速度隨時間的變化。相比于函數1，函數2的速度變化剛開始緩慢，在時間歷程的1/3處，其加速度逐漸超過函數1，在時間歷程的1/2處，其速度開始超過函數1，在時間歷程的2/3處，加速度落后于函數1，在時間歷程為10.47 s時，速度最終減速達到目標轉速。

1.5 外力所做的功

葉尖與機匣之間外力所做的功為雙錐度葉片所承受的氣動載荷和葉尖與機匣接觸時產生的摩擦力所做的功之和：

（17）

式中，Fe為雙錐度葉片所承受的氣動載荷，其表達式為：

（18）

式中，F0為氣動載荷的常量；k1為葉片障礙數目；Fmj為單位面積的氣動載荷的幅值，j表示第j次的諧波分量。

葉片與機匣接觸時產生的摩擦力所做的功Wrub的表達式為：

（19）

式中，μc為葉片與機匣之間的摩擦系數。為法向碰摩力，表達式為：

（20）

式中，

αc=（Rd+Lb）/Rd，，

其中，ce為速度限制系數，本文取ce=0.9。

1.6 系統建模

將上述旋轉葉片?機匣系統的動能、勢能、外力所做的功代入到靜態Hamilton原理表達式中，得到：

（21）

式中，δ表示變分積分；t1和t2表示任意時間；、 分別表示機匣的動能和勢能。

可以通過Galerkin方法對旋轉葉片的葉片徑向位移u（x，t）、葉片橫向位移v（x，t）以及葉片擺動方向位移φ（x，t）進行離散化處理，其表達式為：

（22）

式中，pi（t）、qi（t）、wi（t）分別為葉片徑向、橫向以及擺動方向對應的正則坐標；1i、2i、3i分別為徑向、橫向、擺動方向位移的振型函數，其具體表達式為：

（23）

式中，αi=（2i-1）π/2，i=1，2，3，…，Nmod為模態截斷階數，本文取Nmod=4；λi為第i階振型函數的特征值，其值由以下特征方程來決定：

（24）

將式（22）和（24）代入到式（21）中，旋轉葉片?機匣系統離散后的運動微分方程為：

（25）

式中，MB、CB、GB、KB、qB、FB分別為雙錐度葉片的質量矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣、剛度矩陣、廣義坐標向量以及廣義外載荷。其中阻尼矩陣CB采用瑞利阻尼矩陣，其表達式如下：

（26）

式中，

，

，

其中，模態阻尼比為ξ1=0.01、ξ2=0.02，f（n1）和f（n2）為系統的第一階和第二階固有頻率。

在式（26）中，KB=Ke+Kcentrifuge+Kspin+Kacc+KF，其中Ke、Kcentrifuge、Kspin、Kacc、KF分別為雙錐度葉片的結構剛度矩陣、應力剛化剛度矩陣、旋轉軟化矩陣、加速剛度矩陣以及外力剛度矩陣。其中葉片結構剛度矩陣為：

（27）

式中，矩陣中各個元素表達式為：

葉片應力剛化剛度矩陣為：

（28）

式中，

葉片旋轉軟化矩陣為：

（29）

式中，矩陣中各個元素表達式為：

，

。

葉片加速度導致的剛度矩陣為：

（30）

式中，矩陣中各個元素表達式為：

，

葉片外力導致的剛度矩陣為：

（31）

式中，

假設機匣簡化為集中質量點，葉尖與機匣碰摩特征為靜態接觸過程，其運動微分方程為：

（32）

式中，Mcasing、Ccasing、Kcasing、Fcasing分別為機匣的質量矩陣、阻尼矩陣、徑向剛度矩陣以及葉尖對機匣的碰摩反力矩陣；為機匣的廣義坐標向量。本文旋轉葉片?機匣系統的材料參數和結構參數如不作特殊說明，具體數值如表1所示。

2 模型驗證

本文以端齒連接結構的葉片?機匣系統為研究對象，其具體幾何尺寸和材料參數分別如圖1和表1所示。葉片?機匣碰摩簡化為一個準靜態接觸過程，其中機匣假設為剛性結構，葉片被視為柔性結構。因此，碰摩過程可以看成是柔性葉尖與局部剛性機匣的接觸，其碰摩范圍發生在機匣圓弧段AD內，其弧長對應的角度為60°。該系統由端齒連接結構、雙錐度葉片、輪盤、機匣系統等部件組成，其中雙錐度葉片被視為懸臂梁結構，采用Timoshenko梁單元（ANSYS中的Beam188單元）進行模擬，其被劃分為4個單元，5個節點。機匣被視為剛性單元，采用集中質量單元（ANSYS中的Mass21單元）進行模擬。為了驗證本文建模方法的正確性和有效性，本文將理論模型與ANSYS有限元軟件獲得的系統固有頻率進行對比分析，圖7顯示了雙錐度葉片在Ω=0時的振型圖，表2給出了對應的固有頻率對比結果。從表2中可知，本文的理論模型與有限元軟件結果吻合良好，僅在一階振型存在最大誤差1.06%，這驗證了理論模型固有頻率的準確性。

為了驗證本文法向碰摩力模型的準確性，使用式（20）與文獻［29］中實驗測試結果進行對比驗證，實驗參數設置如下：轉速Ω=1000 r/min， 鋼制機匣徑向剛度Kcasing為3.5×107 N/m，葉片的彈性模量Eb為210 GPa， 密度ρb為7800 kg/m3， 泊松比為0.3，長度Lb為82 mm， 葉尖與機匣之間的摩擦系數μc為0.274，葉尖和葉根寬度為44 mm，葉尖和葉根厚度為3 mm。

圖8展示了在Ω=1000 r/min時，法向碰摩力隨侵入量的變化曲線。對于葉片和鋼制機匣而言，在侵入量∈（20，60） μm之間時，理論模型和實驗結果吻合較好。然而，在侵入量∈（60，80） μm之間時，實驗測試值大于理論值。理論模型和實驗方法都表明隨著侵入量的增加，法向碰摩力隨之增加，并且二者呈非線性變化。造成大侵入量存在誤差的原因可能是隨著侵入量的增加，機匣剛度發生了改變，另外一個原因是，隨著伺服進給量的增加，葉尖與機匣之間的摩擦系數也發生了改變。綜上所述，本文模型可為后續開展瞬態響應分析提供可靠的理論基礎。

3 數值模擬與討論

本節討論了雙錐度葉片在兩種加速函數和端齒同軸度誤差Cmis（包括定向角誤差γmis和定位誤差Pmis）下的瞬態響應。其中，靜態平行不對中量ec設置為1.975 mm，加速區間為0～10000 r/min，穩態轉速為10000 r/min。根據文獻［5］可知，國內外主流快速隨行夾具的定位精度為3～5 μm。為了更直觀地區分同軸度誤差的差異，本文分別選取5、10和15 μm三種同軸度誤差進行分析。葉片的幾何尺寸和材料參數與第2節相同，詳細的運行工況以及仿真參數如表3所示。需要說明的是k1=10表示氣動載荷的激振頻率為轉頻的10倍，用以模擬氣動載荷的影響。在本節中，氣動載荷Fe表示作用在葉片表面的壓力，并取氣動載荷的第一次諧波， 即Fe=Fm1sin（k1Ωt）。

圖9展示了不同端齒同軸度誤差下，系統在兩種函數下的葉尖徑向振動響應曲線。圖中，葉尖與機匣之間的最小間隙Cmin與初始間隙、不對中量和同軸度誤差有關，當葉尖徑向振幅超過最小間隙Cmin時，系統會發生碰摩現象，其對應的最小間隙Cmin的值已在圖中用紅色虛線表示。

由圖9可知，隨著端齒同軸度誤差Cmis的增加，最小間隙Cmin=g0-ec-Cmis減少，葉尖徑向位移的幅值放大現象變得更加明顯。當升速到5.2 s時，函數2的葉尖徑向位移超過了函數1的值，這表明此時函數2的速度開始超過函數1，因此函數2的碰摩開始時間將早于函數1。此外，隨著端齒同軸度誤差的增加，函數1和函數2的碰摩開始間距逐漸縮小，說明系統的碰摩程度隨著端齒同軸度誤差的提高而增強，碰摩力增加，碰摩加劇。從圖9中還可知，函數1與函數2的葉尖徑向振動響應與圖6（b）的速度變化趨勢相似。葉尖徑向位移在加速過程中逐漸增加，在10000 r/min達到最大，并且系統轉速達到10000 r/min時進入到穩態過程。此外，與函數2相比，函數1在目標轉速10000 r/min處時有明顯的隆起現象，這是一種典型的碰摩故障［30?31］，這主要因為函數1在升速過程到穩定過程中，其加速度由100 rad/s2直接降到0 rad/s2，加速度的變化有明顯的突變，導致機匣給予葉片一個明顯的反彈沖擊力，使系統出現隆起現象。這表明加速函數2采用的余弦函數在加速過程到穩態過程中可以起到有效的緩沖作用。圖9中的局部放大圖展示了不同同軸度誤差下的徑向振動響應。從局部放大圖中可以看出，隨著同軸度誤差的增加，葉片徑向方向的振幅會加劇，函數1的徑向位移在正、負方向都有明顯的幅值放大現象，而函數2的徑向位移僅在負方向有明顯的幅值放大現象，這歸因于函數2在從加速到穩態過程中有減速作用，因此函數1產生的隆起現象也更為突出。

為了更清楚地分析兩種函數下端齒同軸度誤差對葉尖彎曲方向振動特性的影響，考慮同軸度誤差（5 μm）下葉尖彎曲方向的振動響應曲線和三維瀑布圖如圖10和11所示。

從圖10中可以看出，函數2的共振峰之間的間隔時間Δt2要小于函數1的Δt1，這說明函數2可以更快地通過臨界轉速。因此，函數2的碰摩范圍比函數1的更長。

結合圖10和11可以看出，在氣動載荷作用下，系統在3300 r/min（此時轉頻fr=55 Hz）轉速處會出現葉片一階彎曲共振，這是因為氣動激勵頻率10fr接近于葉片第一階彎曲頻率（見圖11和表2）。在8823 r/min處出現幅值放大現象，這是因為3fr 與葉片一階彎曲振動f（n1）十分接近（見圖11和表2）。在9945 r/min（此時fr=166 Hz）轉速處出現了超諧波共振現象，這是由于18fr與葉片的二階固有頻率f（n2）相接近所致（見圖11和表2）。

通過對比兩種函數的葉尖彎曲振動響應，發現第二種函數的氣動幅頻引起的幅值放大現象比第一種函數略微降低，這主要是因為第二種函數通過臨界轉速的加速度值略大，使得加速度剛度矩陣Kacc增加，導致振幅較小。與函數1相比，函數2在9945 r/min時有更明顯的幅值放大現象，這是由兩個原因所造成：（1） 在加速到9 s時，函數2的加速度值小于函數1的值，使得加速度剛度矩陣Kacc減少，導致共振峰的振幅增加；（2） 在該轉速下，系統處于碰摩階段，由于函數2的轉速大于函數1的轉速，高轉速導致函數2的碰摩力大于函數1的碰摩力，這也導致了共振峰的幅值放大現象更加明顯。

圖12和13為在兩種函數下，不同端齒同軸度誤差對系統的侵入量和法向碰摩力的影響。從圖中可以看出，在加速過程中，兩種函數的侵入量δn和法向碰摩力Fn與葉尖徑向位移的變化趨于一致，均在10000 r/min時達到最大，并且在穩態過程中趨于平穩。

如圖12（a）和圖13（a）所示，函數1的侵入量δn和法向碰摩力Fn在加速過程中呈線性增加趨勢，其時域曲線呈鋸齒狀，在加速到10000 r/min時達到最大值。從圖中還可以發現，在進入穩態過程的瞬間，可以觀察到侵入量δn和法向碰摩力Fn均發生了顯著的幅值突變，表明系統在從加速度過程到穩態過程中出現了跳躍現象，并且隨著同軸度誤差的增加，跳躍現象愈加明顯。如圖12（b）和13（b）所示，函數2的侵入量δn和法向碰摩力Fn在加速過程中剛開始呈線性增加趨勢，其增長速率超過函數1。但是當升速接近于8900 r/min時，其侵入量和法向碰摩力增長速率開始減緩，其時域曲線呈背鰭狀。這是由于函數2的加速度逐漸減小，因此每次發生碰摩后，葉片振動都會衰減，導致幅值出現反復回彈現象。此外，在通過最大轉速10000 r/min時，函數2的跳躍現象明顯低于函數1，這主要因為函數2的加速度采用余弦函數形式，在靠近最大轉速時，其加速度值趨近于零，使得跳躍現象程度減弱。

在葉片?機匣系統中，引入一個與碰摩力和碰摩時間相關的沖量來表征碰摩程度，其數值大小表示每個旋轉周期內最大法向碰摩力與最小碰摩時間的乘積。對于端齒同軸度誤差為Cmis=5、10和5 μm，函數1的沖量分別為0.3255、0.5058和0.6930 N?s，表示函數1的沖量與端齒同軸度誤差之間存在線性關系。函數2的沖量分別為0.3089、0.4572和0.6084 N?s，表明隨著端齒同軸度誤差的增加，函數2的沖量逐漸減緩，這也說明在相同端齒同軸度誤差下，函數2的最大沖量明顯小于函數1，因此函數2的碰摩程度更小。

4 結" 論

本文以含有端齒同軸度誤差的轉子?葉片系統為例，對端齒連接結構在裝配過程中產生的端齒同軸度誤差（包括端齒定位誤差和端齒定向角誤差）進行了定量描述，基于Timoshenko梁理論和Galerkin方法，建立了雙錐度葉片?機匣動力學模型，并通過ANSYS商用軟件驗證了模型的有效性，分析了端齒同軸度誤差對雙錐度葉片?機匣系統在兩種加速函數下的瞬態響應的影響規律，并得出了以下結論：

（1） 通過比較函數1和函數2，函數2的共振峰間隔時間Δt2明顯小于函數1的共振峰間隔時間Δt1。這表明與函數1相比，函數2可以更快地通過臨界轉速，從而導致碰摩開始時間提前。

（2） 隨著端齒同軸度誤差的增加，葉尖與機匣之間的間隙減少，葉尖碰摩區域逐漸增加。在升速過程中，轉子共振現象在3fr、18fr處出現明顯的幅值放大現象，其中3fr引起的超諧波共振現象最為明顯。

（3） 端齒同軸度誤差的增加會導致葉尖碰摩范圍增大，碰摩時間延長，碰摩加劇，系統的侵入量和法向碰摩力在最高轉速處出現明顯的跳躍現象，并伴有明顯的隆起現象，函數2可以有效地減少高轉速時的跳躍現象和隆起現象。

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第一作者：金" 淼（1989—），男，博士研究生。E-mail： jinmiao_mechanical@163.com通信作者："王青山（1989—），博士，副教授，博士生導師。" E-mail： qingshanwang@csu.edu.cn