圖象性質齊上陣

【摘要】最近幾年的中考試題出現了二次函數的多項選擇題，解這類題要熟悉二次函數的圖象與性質，善于捕捉圖象中的數量關系式．

【關鍵詞】二次函數；圖象性質；初中數學

二次函數中有這樣一類題：無圖象且含參數的多項選擇題．解這類題，要熟知二次函數性質，學會根據題意畫圖象，善于在圖象中捕捉數量關系式．以下是利用二次函數的圖象和性質來破解二次函數多選題的一些關鍵要點．

1二次函數的圖象性質

1.1二次函數的一般式為y=ax2+bx+c（a≠0）

a決定開口方向：當agt;0時，拋物線開口向上；當alt;0時，拋物線開口向下．

影響開口大?。簗a|越大，開口越?。?/p>

對稱軸：對稱軸公式為x =－b2a．

頂點坐標：把x =－b2a代入函數可求得頂點縱坐標y =4ac－b24a，所以頂點坐標為（－b2a，4ac－b24a）．

1.2分析多選題的常見考點及方法

（1）函數圖象的大致形狀

看開口方向：根據a的正負判斷開口向上還是向下，可排除不符合的選項．

觀察開口大?。喝艚o出幾個二次函數，通過比較|a|的大小來確定開口大小關系是否正確．

（2）對稱軸位置

先根據公式算出對稱軸x =－b2a．

然后看選項中關于對稱軸位置的描述，比如在y軸左側（即－b2alt;0，也就是a、b同號時），在y軸右側（－b2agt;0，即a、b異號時）等是否正確．

（3）頂點坐標

準確計算出頂點坐標（－b2a，4ac－b24a）．

核對選項中給出的頂點坐標數值是否與計算結果相符，包括橫坐標和縱坐標都要檢查．

（4）函數的增減性

當agt;0時，在對稱軸左側（xlt;－b2a）函數單調遞減，在對稱軸右側（xgt;－b2a）函數單調遞增．

當alt;0時，在對稱軸左側函數單調遞增，在對稱軸右側函數單調遞減．

依據這些性質來判斷選項中關于函數在某區間上增減性的描述是否正確．

（5）與坐標軸的交點

與y軸交點：令x = 0，則y = c，所以與y軸交點坐標為（0，c），檢查選項中此交點坐標是否正確．

與x軸交點：令y = 0，即求解方程ax2+bx+c= 0，其判別式△=b2－4ac．

當△gt;0時，函數與x軸有兩個不同交點；

當△= 0時，函數與x軸有一個交點（頂點在x軸上）；

當△lt;0時，函數與x軸無交點．根據△的值以及求出的具體交點（若有）來判斷選項相關內容正誤．

2二次函數多選題

例1（2024·江蘇連云港·中考）已知拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，alt;0）的頂點為（1，2）．小燁同學得出以下結論：①abclt;0；②當xgt;1時，y隨x的增大而減小；③若ax2+bx+c=0的一個根為3，則a=－12；④拋物線y=ax2+2是由拋物線y=ax2+bx+c向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到的．其中一定正確的是（）

（A）①②．（B）②③．

（C）③④． （D）②④．

分析根據拋物線的頂點公式可得－b2a=1，結合alt;0，a+b+c=2，由此可判斷①；由二次函數的增減性可判斷②；用a表示b、c的值，再解方程即可判斷③，由平移法則即可判斷④．

詳解略.答案選（B）.

點睛本題考查了二次函數的性質，二次函數的平移，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數與一元二次方程，一元二次方程的解的定義，拋物線的“三要素（開口方向、對稱軸和頂點）”與系數的對應關系；判定二次函數的增減性一看二次項系數的正、負；二看對稱軸的左、右兩側，“減參”法和分類思想蘊含其中．用a表示b、c的值是本題的關鍵．

例2（2024·四川宜賓·中考）如圖，拋物線y=ax2+bx+calt;0的圖象交x軸于點A－3，0、B1，0，交y軸于點C．以下結論：①a+b+c=0；②a+3b+2clt;0；③當以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形時，c=7；④當c=3時，在△AOC內有一動點P，若OP=2，則CP+23AP的最小值為973．其中正確結論有（）

（A）1個．（B）2個．（C）3個．（D）4個．

分析根據拋物線圖象經過點B1，0，當x=1時，y=a+b+c=0，據此可判斷①；根據對稱軸公式求出b=2a，c=－3a，則a+3b+2c=a+6a－6a=a，拋物線開口向下，即可判斷②；對稱軸為x=－1，則AC≠BC，求出AB=4，OC=c，再分當AC=AB=4時， 當BC=AB=4時，兩種情況，求出對應的c的值即可判斷③；當點P在線段CH上時，CP+PH的值最小，即此時CP+23AP的值最小，最小值為線段CH的長，利用勾股定理求出CH即可判斷④．

詳解略．①②④正確，正確的有3個，選（C）．

點睛本題考查二次函數圖象和性質，相似三角形的性質與判定，掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．

例3（2024·山東煙臺·中考）已知二次函數y=ax2+bx+c的y與x的部分對應值如下表：

下列結論：①abcgt;0；②關于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有兩個相等的實數根；③當－4lt;xlt;1時，y的取值范圍為0lt;ylt;5；④若點m，y1，－m－2，y2均在二次函數圖象上，則y1=y2；⑤滿足ax2+b+1x+clt;2的x的取值范圍是xlt;－2或xgt;3．其中正確結論的序號為．

分析本題考查了二次函數的圖象和性質，利用待定系數法求出a、b、c的值即可判斷①；利用根的判別式即可判斷②；利用二次函數的性質可判斷③；利用對稱性可判斷④；畫出函數圖形可判斷⑤；掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．

詳解略．答案為①②④．

點睛此題將二次函數的圖象性質與拋物線上點的坐標特征、一元二次方程根的判別式、根與系數的關系式融合一起．作函數的圖象，利用三個二次的相互轉化解題.

3結語

總之，破解二次函數多選題要熟練掌握二次函數的各項圖象特征和性質，仔細分析每個選項所涉及的內容，通過準確計算和對比來確定正確答案．