關(guān)于中點弧綜合模型的舉例探究

【摘要】中點弧綜合模型的教學(xué)中，建議設(shè)置探究專題，圍繞具體模型進行深入探索.整個環(huán)節(jié)可設(shè)置三個模塊，包括模型解讀、解題示例和解后反思.本文針對中點弧與旋轉(zhuǎn)模型、中點弧與內(nèi)心模型進行教學(xué)構(gòu)建探索.

【關(guān)鍵詞】中點弧；初中數(shù)學(xué)；解題方法

與中點弧相關(guān)的綜合模型較多，在解題時也十分常見，教學(xué)時建議設(shè)置探究專題，深入解讀模型，總結(jié)模型結(jié)論及構(gòu)建方法，并指導(dǎo)學(xué)生解題，下面舉例探究三種中點弧綜合模型.

1中點弧與旋轉(zhuǎn)

模型解讀點P是優(yōu)弧AB上的一個動點，且點C是AB的中點，則可以構(gòu)建旋轉(zhuǎn)相似模型，如圖1所示，即圖中△PBC≌△P′AC.

由于對角互補，即∠PBC＋∠PAC＝180°，顯然PAP′共線，且PC＝P′C，通過導(dǎo)角不難得出相似.即解析的基本思路為：鄰邊相等+對角互補→旋轉(zhuǎn)全等模型，可用于推導(dǎo)圓中三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.

例1如圖2-（a）所示，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，已知AB=6，AD=10，∠BAD=60°，點C為弧BD的中點，則AC的長為.

思路構(gòu)建本題目中設(shè)定點C為弧BD的中點，顯然為與中點弧相關(guān)的模型，解析時可以關(guān)注其中的等線段、等角條件，構(gòu)建圓中旋轉(zhuǎn)全等模型來推理求解.

（a） "（b）

如圖2-（b）所示，過點C作CE⊥AB，CF⊥AD，設(shè)垂足為點E，點F，則可得∠E=∠CFD=∠CFA=90°.

可推知BC=CD，CE=CF，∠CDF=∠CBD.

在△CBE和△CDF中，有∠CBE=∠CDF∠E=∠CFDCE=CF，則△CBE≌△CDF，進而可推知BE=DF.

而在△AEC和△AFC中，

有∠E=∠AFC∠EAC=∠FACAC=AC，

所以△AEC≌△AFC，則AE=AF.

可設(shè)BE=DF=x，可得AE=AF=x+6=10-x，

可解得x=2，則AE=8，

所以AC=AEcos30°=1633.

解后反思上述探究弧中點與旋轉(zhuǎn)模型，表象為圓背景下的三角形旋轉(zhuǎn)，實則為三角形的全等構(gòu)建，問題探究要關(guān)注其中的線段、角度關(guān)系，提取其中的特殊關(guān)系.教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從動態(tài)視角來審視問題，關(guān)注圖形運動.

2中點弧與內(nèi)心

模型解讀在圖3中，圓O是△ABC外接圓圓心，I是三角形ABC的內(nèi)心，延長AI交圓O于D，可證DI＝DC＝BD.對于該結(jié)論，可按如下思路證明：∠1＝∠4＋∠5，∠4＝∠3，∠2＝∠5，所以∠1＝∠2＋∠3.

因此對于給定三角形外接圓與內(nèi)心的復(fù)合圖形問題，破解的基本思路為：外接圓+內(nèi)心→得等腰，即構(gòu)造等腰三角形，利用三角形特性來分析.

例2如圖4所示，⊙O是△ABC的外接圓，點I是△ABC的內(nèi)心.現(xiàn)延長AI，與BC交于點E，與⊙O交于點D，再連接BD、DC、BI．求證：DB＝DC＝DI．

思路構(gòu)建本題目中明確設(shè)定了三角形外接圓和內(nèi)心，需要證明線段相等，可以借助弧中點與內(nèi)心模型來分析推理.

證明因為點I是△ABC的內(nèi)心，

則∠BAD＝∠DAC，∠ABI＝∠IBC.

又知⊙O是△ABC的外接圓，因為∠BAD＝∠DAC，則BD=CD，BD=CD.

而CD=CD，可得∠CAD＝∠CBD，結(jié)合等角代換可得∠DBI＝∠BID，

所以DB＝DI，從而可證DB＝DC＝DI．

解后反思中點弧與內(nèi)心模型構(gòu)建的核心是圓心角與圓周角定理，依托圓的特性來開展角度推導(dǎo)，最終構(gòu)建等腰三角形.教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注內(nèi)心特性，結(jié)合圓來構(gòu)建特殊三角形模型.

3結(jié)語

總之，對于弧中點綜合模型的教學(xué)探究，建議按照“模型解讀→解題示例→思路構(gòu)建→解后反思”的流程來開展.“模型解讀”環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注模型特征及構(gòu)建方式，總結(jié)破題策略；而“解題示例”環(huán)節(jié)，則需注意思路引導(dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生整合問題條件，提取或構(gòu)建模型，并反思解題過程，總結(jié)解題經(jīng)驗.