理清等量關系，巧解翻折問題

【摘要】翻折問題是中考數學的常考題型，幾乎三分之二的中考數學題中都有與翻折相關的問題.翻折問題的本質是圖形的對稱，其解題思路就是利用翻折的性質獲取同步信息，找出幾何圖形中的等量關系.理清翻折問題中的等量關系可以幫助學生找到解題的關鍵信息，從而得出最終結果.

【關鍵詞】翻折問題；中考數學；等量關系

例題如圖1，在菱形ABCD中，∠C=120°.點E在射線BC上運動（不與點B，點C重合），△AEB關于AE的軸對稱圖形為△AEF.若AB=6+63，⊙O為△AEF的外接圓，設⊙O的半徑r.

求r的取值范圍.

分析根據菱形的性質可得，∠B=60°，根據對稱得全等，可知∠AFE=∠B=60°，AF=AB=6+63，在△AEF的外接圓⊙O中，同弦所對的圓周角是圓心角的一半，連接AO，OE，可得∠AOE=2∠AFE=120°，此時AE=3r，點E在射線BC上運動（不與點B，點C重合），因此當AE⊥BC時AE取最小值，不存在最大值，且AE≠AB≠AC≠6+63，過點A作AH⊥BC于點H，在Rt△ABH中，

AH=ABsin∠B=9+33，列式得3r≥9+333r≠6+63，最終可得半徑r的取值范圍是r≥3+33且r≠6+23.

解析分別過點A作AH⊥BC于點H，過點O作OJ⊥AE于點J，連接AO，OE.在菱形ABCD中，∠C=120°，所以∠B=60°，因為△AEB關于AE的軸對稱圖形為△AEF，所以∠AFE=∠B=60°，AF=AB=6+63，在⊙O中，∠AOE=2∠AFE=120°，因為OE=OA=r，所以OAJ=OEA=30°，在Rt△AOJ中，根據勾股定理可得AJ=3r2，因為OJ⊥AE，OE=OA，所以AE=2AJ=3r.在Rt△ABH中，因為∠B=60°，所以AH=ABsin∠B=9+33.當AE⊥BC時，AE取最小值，因為點E不與點B，點C重合，所以AE≠AB≠AC≠6+63，列式可得3r≥9+333r≠6+63，解得r≥3+33r≠6+23，綜上所述，r的取值范圍是r≥3+33且r≠6+23.

評析本題是基于翻折條件下的一道幾何綜合題，根據題意可知△AEF是△AEB沿著AE翻折所得，處理翻折問題，首先要找尋圖形中的等量關系，進行信息同步，在此基礎上再利用圓周角與圓心角的關系，找到3r的取值范圍，進而得出半徑r的取值范圍.

（2）連接FD，直線FD能否與⊙O相切？如果能，求BE的長度；如果不能，請說明理由.

分析直線FD若與⊙O相切，則圓的半徑OF⊥FD，作出圖3，根據翻折的特性進行信息同步可得∠AFE=∠B=60°，AF=AB=AD=6+63，在等腰△ADF中，過點A作AG⊥FD于點G，已知OF⊥FD，可得OF//AG，根據獲取的信息我們可以發現，要想求得BE的長度，我們可以通過導角的方法找出邊角關系進行解題，設∠GAD=α，則∠FAG=∠OFA=∠OAF=α，∠AOE與∠AFE是同弧所對的圓心角與圓周角，因此∠AOE=2∠AFE=120°，∠EAO=∠AEO=30°，根據翻折的特性可得∠BAE=∠FAE=30°+α，而已知∠BAD=∠C=120°，可以解出α=15°，此時∠BAE=45°，看到∠BAE=45°，∠B=60°這兩個特殊角，我們可以迅速聯想到特殊角作垂線的解題思想，過點E作EH⊥AB于點H，作AG⊥FD于點G，設BH=a，根據三角函數找出等量關系AB=a+3a=6+63，解得a=6，BE=2BH=12.

解析分別過點A作AG⊥FD于點G，過點E作EH⊥AB于點H，連接OA、OE、OF.在菱形ABCD中，∠C=120°，所以∠B=60°，因為△AEB關于AE的軸對稱圖形為△AEF，所以∠AFE=∠B=60°，AF=AB=AD=6+63，在⊙O中，∠AOE=2∠AFE=120°，∠FAE=∠BAE，設∠GAD=α，因為OF⊥DF，AG⊥FD，所以OF//AG，所以∠FAG=∠OFA=∠OAF=α，在等腰△AOE中，因為∠AOE=120°，所以∠EAO=∠AEO=30°，因為∠BAE=∠FAE=30°+α，所以∠BAD=2×（30°+α）+2α=120°，解得α=15°，所以∠BAE=45°，AH=EH，設BH=a，在Rt△BEH中，EH=3a，BE=2a.所以AB=BH+AH=a+3a，解得a=6，所以BE=12.綜上所述，連接FD，直線FD能與⊙O相切，此時BE的長度為12.

評析本題同樣是基于翻折背景下的一道幾何綜合題，首先需根據相切畫出對應的圖形，結合圖形，我們還是利用翻折找出等量關心，進行信息同步，此時考查了學生幾何解題思維.學生要透過圓、翻折產生的等量關系，以及等腰三角形三線合一的性質想到利用導角進行突破，得出特殊角作垂直即可得出最終結果.

4結語

翻折問題是初中數學中的重要題型，它通過圖形的變換，讓學生在梳理等量關系的過程中，發展空間想象力以及邏輯思維力，進一步提高學生的數學解題能力.此外，從近幾年的數學中考真題中也可以發現，翻折問題的考查頻率非常高，在當前新課標、新教材、新中考的形勢下，加強對翻折問題的鍛煉，對中學生意義重大.