細高齒齒輪齒根動應變計算及測試方法研究

關鍵詞：細高齒齒輪；動態嚙合力；齒間載荷分配；有限元法；齒根動應變

0 引言

細高齒齒輪因具有傳動平穩、噪聲小等優點，被廣泛應用于汽車、航空等領域[1-2]。與常規直齒輪相比，細高齒齒輪齒高增大、齒厚減薄，同時參與嚙合的輪齒對數增多，使得其齒間載荷分配情況不同于常規直齒輪；且細高齒齒輪嚙合剛度突變程度較小，嚙合力波動幅值降低，導致其動態特性及齒根動應變與常規直齒輪存在較大差異。因此，研究細高齒齒輪在運行過程中的齒根動應變，對完善其強度設計方法、保證傳動系統的安全平穩運行具有重要意義。

目前，廣泛采用的齒根彎曲強度計算標準是基于材料力學理論得到的齒根應力計算公式[3]。在此基礎上，劉忠明等[4]對其危險截面模型進行了修正；周長江等[5]進一步計入了摩擦對齒根應力的影響。但該標準主要針對重合度小于2的常規直齒輪，細高齒齒輪重合度大于2，其齒形系數及應力計算載荷作用點等與常規直齒輪均存在差異，且細高齒齒輪嚙合剛度及動態嚙合力波動幅值均明顯低于常規直齒輪，若直接采用現有齒輪強度計算標準中的動載系數對齒根應力應變進行修正，將產生較大誤差。因此，許多學者對細高齒齒輪的齒根應力應變計算方法進行了研究。李發家等[6]對細高齒齒輪的齒形系數進行研究， 給出了危險截面處齒根應力的計算公式。SáNCHEZ等[7-9]給出了細高齒齒輪齒間載荷分配及齒根應力的近似求解公式，并據此分析了齒廓修形對外嚙合細高齒齒輪齒根應力的影響。WANG 等[10]利用有限元靜態接觸分析探究了不同修形量對細高齒齒輪齒根應力的影響。以上研究雖然對細高齒齒輪的齒形系數及雙齒嚙合區界點處的載荷分配情況進行分析，但主要是針對靜態條件下細高齒齒輪的齒根應力應變進行研究，未考慮系統動態特性對齒根應力應變的影響。為獲得齒輪運行過程中的齒根應力應變時域歷程，進一步提高計算精度，許多學者采用有限元動態接觸分析方法對其進行求解。ZHANG等[11]采用該方法對行星傳動系統內齒圈的齒根動應變進行了計算。唐進元等[12]采用相同方法研究了轉速及負載對準雙曲面齒輪動態嚙合性能的影響。

雖然有限元動態接觸分析方法具有較高的計算精度，但細高齒齒輪重合度及齒高均較大，導致輪齒從嚙入到嚙出的過程中，其實際嚙合線段長度明顯大于常規直齒輪，且同時參與嚙合的輪齒對數增多，若直接采用有限元動態接觸分析方法對細高齒齒輪的齒根應力應變時域歷程進行求解，將大幅增加工程計算量。此外，一些學者對系統動力學模型進行求解，得到動態嚙合力，并將其代入解析公式，得到齒根應力應變時域歷程[13-15]，但該方法無法精確計入輪體結構及齒間耦合等因素的影響。

綜上，目前廣泛采用的齒輪強度計算標準及有限元動態接觸分析方法在計算細高齒齒輪的齒根動應變時均存在一定的局限性。因此，本文將動力學分析、輪齒承載接觸分析及有限元瞬態分析相結合，提出一種細高齒齒輪齒根動應變的計算方法。采用該方法對細高齒齒輪的齒根動應變進行求解，對其嚙合過程及齒根應變時域歷程進行了分析；并將計算結果與常規直齒輪進行對比，分析了轉速及負載對二者齒根動應變的影響。

1 細高齒齒輪齒根動應變計算方法

齒根動應變計算流程如圖1所示。綜合考慮時變嚙合剛度、彈性支撐等因素的影響，采用集中質量法[16]建立齒輪系統動力學模型；通過Newmark-β 法求解系統動力學方程，得到齒輪副動態嚙合力。將上述動態嚙合力離散為若干沖擊載荷，同時將1個嚙合周期劃分為若干接觸位置，采用輪齒承載接觸分析方法，代入每一子步載荷，求解得到各嚙合位置處的齒間載荷分配關系；將接觸齒面離散為若干條接觸線，利用有限元法建立齒輪結構動力學分析模型，將離散后的動態嚙合力按上述齒間載荷分配關系施加到輪齒各條接觸線上，采用有限元瞬態分析求解得到齒根應變時域歷程。利用應變片電測法對細高齒齒輪的齒根動應變進行實測，并與仿真結果進行對比，以驗證上述動應變計算方法的有效性。

2 齒輪系統動力學模型構建

2. 1 齒輪傳動系統參數

以一對外嚙合細高齒齒輪副為研究對象，其參數如表1所示。為便于將細高齒齒輪的計算結果與常規直齒輪進行比較，通過降低齒頂高系數、增大壓力角及改變變位系數的方式得到相應的常規直齒輪副參數，如表2所示。根據以上參數建立兩齒輪副齒廓模型，如圖2所示?？梢钥闯觯c常規直齒輪相比，細高齒齒輪齒厚減小，齒高增高，且同時存在兩對以上輪齒參與嚙合。經理論計算可得，細高齒齒輪副和常規直齒輪副重合度分別為2. 14及1. 71。

2. 2 系統動力學模型

忽略嚙合齒面間的摩擦，將傳動系統中軸、軸承等支撐件簡化為彈簧，齒輪簡化為質量塊，并用具有時變嚙合剛度的彈簧來模擬輪齒之間的嚙合過程，最終得到的傳動系統動力學模型如圖3所示。其中，y為嚙合線方向；p代表主動輪；g代表從動輪。

2. 3 系統動態嚙合力提取

將圖4所示時變嚙合剛度代入系統動力學模型，采用Newmark-β 法求解式（6）， 得到輸入轉速為600 r/min、輸入轉矩為300 N·m工況下兩齒輪副動態嚙合力時域歷程，如圖5所示?？梢钥闯?，二者均以嚙合周期Tm呈周期性波動。其中，常規直齒輪副嚙合力均值為8 412. 5 N，波動幅值為324. 7 N；細高齒齒輪副嚙合力均值為8 311. 95 N，波動幅值為174. 9 N，與常規直齒輪副相比降低46. 13%。細高齒齒輪副嚙合剛度突變程度較常規直齒輪副明顯降低，因此，其嚙合力波動幅值較小，傳動更加平穩。

3 細高齒齒輪齒根動應變計算

3. 1 動態嚙合力離散及齒間載荷分配關系求解

將實際嚙合線長度劃分為n 等份，同時將動態嚙合力離散為n 個沖擊載荷Fi，每個Fi分別對應嚙合線上的1個嚙合位置，如圖6所示。其中，離散份數n可根據計算精度要求確定。代入每一子步載荷，利用輪齒承載接觸分析方法[18]確定各嚙合位置處的齒間載荷分配關系。以三齒嚙合狀態為例，設ti時刻對應嚙合位置下，3個輪齒所受載荷分別為Fi1、Fi2與Fi3，其合力為Fi，由力平衡關系得

式中，Fij為ti時刻輪齒j 所受載荷，如圖7所示；ηij為ti時刻輪齒j 的載荷分配率；Kij為ti時刻第j 對嚙合輪齒的剛度；Ki為ti時刻齒輪副嚙合綜合剛度。

由式（9）可得輸入轉速為600 r/min、輸入轉矩為300 N·m工況下兩齒輪副主動輪單對輪齒載荷分配率ηij與主動輪轉角的變化關系，如圖8所示。常規直齒輪載荷分配率在雙齒嚙合區內的變化范圍為0. 4～0. 6，且在單齒嚙合區內輪齒將承擔全部載荷。細高齒齒輪在三齒嚙合區內載荷分配率的變化范圍為0. 2～0. 45，在雙齒嚙合區內載荷分配率的變化范圍為0. 4～0. 6，且在第二個雙齒嚙合區起始點處，載荷分配率達到最大值0. 6。從以上結果可以看出，在相同負載下，細高齒齒輪的承載能力較常規直齒輪顯著提高。由作用力及反作用力間的關系可知，從動輪輪齒載荷分配率的變化規律與主動輪一致。

3. 2 齒輪結構動力學分析模型建立

利用有限元法建立齒輪結構動力學分析模型，如圖9所示。齒輪嚙合過程中，嚙合輪齒間可近似為線接觸狀態，因此，為提高計算效率、保證求解精度，在網格劃分過程中將嚙合齒面沿齒廓方向等分為n 條接觸線，同時對齒根部位網格進行適當加密。

式中，M 為齒輪結構質量矩陣；C 為齒輪結構阻尼矩陣，采用比例阻尼；K 為齒輪結構剛度矩陣；x（t）為節點位移列向量；F（t）為時變載荷列向量。

為等效齒輪嚙合過程，將離散后的沖擊載荷Fi按式（9）中的齒間載荷分配率ηij分別施加到ti時刻參與嚙合輪齒的各條接觸線上。從嚙入到嚙出的整個過程，每個沖擊載荷Fij的作用位置依次從進入嚙合首條接觸線，逐個更替直至過渡到退出嚙合，如圖10所示。最終采用有限元瞬態分析求解上述模型，得到齒根應變時域歷程。

4 齒根動應變計算結果分析

4. 1 齒根動應變時域歷程分析

采用前述動應變計算方法求解得到表1及表2參數所對應的常規直齒輪及細高齒齒輪在輸入轉速為600 r/min、輸入轉矩為300 N·m工況下從動輪齒根應變時域歷程，如圖11所示。可以看出，二者均由嚙合區與非嚙合區兩部分組成，且齒根應變呈周期性變化，周期為從動輪轉動周期Tn2。以拉應變為正，當輪齒參與嚙合時，齒根拉應變急劇增大，并在嚙合區內達到峰值。由于齒輪轉速較低且輪體本身剛性較大，在非嚙合區內并無明顯應變波動。主動輪齒根應變時域歷程與從動輪相似。

提取圖11（a）中常規直齒輪嚙合區齒根動應變，如圖12所示。圖12中各區域對應齒輪副嚙合狀態如圖13所示。其中，n1為主動輪轉動方向；n2為從動輪轉動方向。常規直齒輪重合度介于1和2之間。因此，輪齒從嚙入到嚙出的過程中，齒輪副先后經歷2次雙齒嚙合（區域b、d）及1次單齒嚙合（區域c）過程。

以圖13中從動輪輪齒3為例，可以看出，常規直齒輪齒根應變總體呈現出先增大后減小的變化趨勢。在區域a和e中，齒根部位在輪體及嚙合輪齒彈性變形的共同作用下，受到較小的拉應變或壓應變作用。在區域b中，輪齒3進入嚙合，齒輪副首次處于雙齒嚙合狀態；隨著嚙合過程的進行，輪齒3所處嚙合齒對的剛度Kij逐漸增加，使得其載荷分配率ηij逐漸增大，同時，輪齒3載荷作用點逐漸遠離齒頂，因此，在該區間內齒根應變無明顯變化。在區域c中，輪齒2退出嚙合，齒輪副進入單齒嚙合狀態，此時齒根應變驟增并達到最大值0. 002 07。在區域d中，輪齒4進入嚙合，齒輪副再次處于雙齒嚙合狀態，此時輪齒3載荷作用點逐漸接近齒根，同時其載荷分配率ηij逐漸下降，因此，在該區間內齒根應變呈下降趨勢。

提取圖11（b）中細高齒齒輪嚙合區齒根動應變，如圖14 所示。圖14 中各區域對應齒輪副嚙合狀態如圖15 所示。細高齒齒輪重合度介于2 和3 之間，輪齒從嚙入到嚙出的過程中，齒輪副先后經歷3次三齒嚙合（區域b、d、f）及2次雙齒嚙合（區域c、e）過程，因此，其嚙合區齒根動應變較常規直齒輪存在較大差異。

以圖15中從動輪輪齒3為例，可以看出，細高齒齒輪齒根應變共經歷兩次先增大后減小的變化過程。在區域b中，輪齒3進入嚙合，齒輪副首次處于三齒嚙合狀態，此時齒根應變迅速增大。在區域c中，輪齒1退出嚙合，齒輪副首次處于雙齒嚙合狀態，此時齒根應變繼續上升并在區域c與d的交界處達到峰值0. 001 77。在區域d的開始階段，輪齒4逐漸進入嚙合，齒輪副再次處于三齒嚙合狀態，此時輪齒3齒根應變迅速下降；在區域d的結束階段，輪齒2逐漸退出嚙合，此時輪齒3齒根應變有所上升但增幅較小。在區域e中，齒輪副再次處于雙齒嚙合狀態，此時載荷作用點逐漸接近齒根，且輪齒3所處嚙合齒對的載荷分配率ηij逐漸降低，因此，在該區域內齒根應變呈下降趨勢。在區域f中，輪齒5進入嚙合，齒輪副第3次處于三齒嚙合狀態，此時輪齒3逐漸退出嚙合，其載荷分配率ηij及齒根應變均大幅下降。

以50 N·m 為間隔，分別提取輸入轉矩在300～500 N·m范圍內兩齒輪副齒根應變峰值隨輸入轉矩的變化，如表3所示。可以發現，二者齒根應變峰值隨輸入轉矩的增加呈增大趨勢，且細高齒齒輪齒根應變峰值明顯低于常規直齒輪。當輸入轉矩為500 N·m 時，細高齒齒輪齒根應變峰值較常規直齒輪的降幅達到20. 6%。從以上結果可以看出，在相同負載下，細高齒齒輪的齒根彎曲強度較常規直齒輪顯著提高。

4. 2 轉速對齒根動應變的影響

當輸入轉矩為300 N·m，并且輸入轉速為400、1 600、3 200 r/min時，兩齒輪副從動輪齒根應變時域歷程如圖16所示?？梢钥闯?，在400 r/min輸入轉速下，二者齒根應變變化趨勢與靜態下相似，無明顯波動。隨著轉速的增加，齒根應變波動程度加劇。當兩齒輪副處于首個雙齒嚙合區時，從動輪載荷作用點更加接近齒頂。因此，在首個雙齒嚙合區內，二者齒根應變波動較第二個雙齒嚙合區更為明顯。與常規直齒輪相比，細高齒齒輪嚙合力波動幅值降低，因此，常規直齒輪齒根應變波動程度大于細高齒齒輪。在1 600 r/min及3 200 r/min輸入轉速下，細高齒齒輪的齒根應變峰值較400 r/min時分別增加5%及5. 4%，相應的常規直齒輪齒根應變增幅分別為4%及15. 2%。

為進一步研究轉速對齒根動應變峰值的影響，以400 r/min 為間隔， 分別計算輸入轉速在400～3 200 r/min 范圍內兩齒輪副齒根應變峰值的變化情況，如圖17所示?？梢钥闯?，隨著轉速的增加，齒根應變峰值總體呈上升趨勢。細高齒齒輪副至少存在兩對輪齒參與嚙合，其單個輪齒所受載荷明顯低于常規直齒輪，且細高齒齒輪副嚙合剛度及嚙合力波動幅值較常規直齒輪均顯著下降，因此，在各轉速下，其齒根應變峰值明顯低于常規直齒輪。當主動輪輸入轉速為1 600 r/min時，細高齒齒輪副嚙合力主要激勵成分為嚙合頻率的3倍頻，與系統1階固有頻率（2 537. 8 Hz）較為接近，此時嚙合力波動幅值較大，從而導致該轉速對應的齒根應變峰值較為突出。因此，細高齒齒輪齒根應變峰值在400～1 600 r/min轉速范圍內的增幅大于1 600～3 200 r/min。

5 試驗裝置及齒根動應變測試

為驗證所述動應變計算方法的有效性，采用圓柱齒輪動應變測試平臺對細高齒齒輪的齒根動應變進行實測。試驗臺結構如圖18所示，試驗齒輪副參數與表1中的相同。

試驗過程中，采用應變片對齒根動應變進行測量，使用Dewesoft數據采集模塊采集應變信號。其中，電阻應變片型號為ZF120-07AA-T（11）-Q100，敏感柵長度為0. 7 mm。為消除溫度等干擾因素的影響，同時考慮到試驗齒輪尺寸結構限制及應變片粘貼的便捷性，采用1個工作片與1個溫度補償片共同構成半橋測量電路，并利用電滑環將測量信號傳輸至數據采集模塊，分別如圖19、圖20所示。對輸入轉速為600 r/min、輸入轉矩為300 N·m 工況下從動輪齒寬中點危險截面處的齒根動應變進行測量，試驗及對應仿真計算結果如圖21所示。

由圖21可以看出，實測齒根應變呈現出顯著的周期性，且在嚙合區內，齒根應變以拉應變為主。由于試驗過程中存在各種制造及裝配誤差，實測齒根應變曲線與仿真結果存在偏差，但總體而言，仿真計算結果能夠反映出齒根應變的實際變化規律。試驗測得的最大應變為0. 001 88，相應仿真計算結果為0. 001 77，相對誤差為5. 85%。

分別對主動輪輸入轉速為200 r/min，輸入轉矩為100、200、300、400 N·m下測點處齒根動應變進行測量，并取其最大值，如圖22所示。可以看到，在不同輸入轉矩下，齒根應變計算值與實測值基本一致，齒根應變峰值隨輸入轉矩的增加呈上升趨勢，且仿真與實測結果的相對誤差均在10%以內，驗證了所述動應變計算方法的有效性。

6 結論

將動力學分析、輪齒承載接觸分析及有限元瞬態分析相結合，提出一種細高齒齒輪齒根動應變的計算方法，并將計算結果與常規直齒輪進行對比，主要結論如下：

1） 該方法所得結果能有效反映齒根應變的實際變化規律，且計算得到的細高齒齒輪齒根動應變峰值與實測結果間的相對誤差小于10%，驗證了計算方法的有效性。

2） 細高齒齒輪單對輪齒載荷分配率變化范圍為0. 2～0. 6，其載荷分配率最大值與常規直齒輪相比明顯下降，在相同負載下其承載能力顯著提高。

3） 細高齒齒輪嚙合區齒根動應變共經歷兩次先增大后減小的變化過程；隨著輸入轉速的增加，齒根應變波動程度加劇，且相同轉速下細高齒齒輪齒根應變波動程度低于常規直齒輪。

4） 隨著轉速及輸入轉矩的增加，細高齒齒輪齒根應變峰值總體呈上升趨勢，且不同工況下其齒根應變峰值明顯低于常規直齒輪。