“因式分解”單元復習課的教學設計與實踐

一、教學設計與實施

教學內容分析：“因式分解”是新湘教版七年級下冊第三章內容，課標要求“能用提公因式法、公式法進行因式分解”。因式分解與整式乘法是互逆的恒等變形，有助于培養學生的逆向思維能力。本節課通過單元復習，幫助學生系統梳理因式分解的知識脈絡，掌握提公因式法、公式法、十字相乘法等方法，提升綜合運用能力。

教學目標：1. 知識目標：掌握因式分解的基本方法（提公因式法、公式法），了解十字相乘法和配方法；2. 能力目標：通過變式訓練和拓展延伸，提升學生綜合運用因式分解方法的能力；3. 素養目標：培養學生的數學建模、數學運算、數學運用等核心素養。

教學重點與難點：1. 重點：綜合運用提公因式法、公式法分解因式；2. 難點：熟練靈活地運用因式分解的兩種基本方法進行因式分解。

教學策略：1. 整體教學：通過知識梳理、典例精講、鞏固練習、課堂延伸、課堂小結五個環節，構建“因式分解”知識體系；2. 歸納演繹：通過口訣、歌曲等形式，幫助學生記憶因式分解的步驟和易錯點；3. 變式訓練：通過變式題組訓練，提升學生綜合運用因式分解方法的能力。

二、教學過程

（一）知識脈絡梳理

1. 溫故舊知：通過提問“什么叫因式分解？它與整式乘法是什么關系？”引導學生回顧因式分解的定義及其與整式乘法的互逆關系。（教師提問，學生思考回答，師生合作，快速回憶舊知）

【設計意圖】通過整式乘法和因式分解對比，形成口訣，構建模型，理清關系。

2. 口訣記憶：將因式分解步驟總結為“一提二套三查”，并以歌曲形式呈現，幫助學生記憶。

師生活動：教師提問，學生思考回答：一提：ma＋mb－mc＝m（a＋b－c）；二套：a2－b2＝（a＋b）（a－b）" a2 ± 2ab＋b2＝（a ± b）2；三查。

【設計意圖】提煉步驟，提醒做題習慣及易錯點，培養數學建模思想。

（二）典例精講，拋磚引玉

常見錯誤匯編：將因式分解常見的四種錯誤（提而不盡、張冠李戴、半途而廢、錯找一二）集中匯編成一道例題，通過典例示范，警示學生避免類似錯誤。問題：王老師在數學課上讓同學們將8a3－18a進行因式分解，下面四位同學的做法正確嗎？（抽問學生，教師有針對性地引導回答）

甲：8a3－18a

解：原式＝2（4a3－9a）

乙：8a3－18a

解：原式＝2a（4a2－9）

丙：8a3－18a

解：原式＝2a（4a2－9）＝2a（2a－3）2

丁：8a3－18a

解：原式＝2a（4a2－9）＝2a（4a＋9）（4a－9）

（三）鞏固練習

通過變式題組訓練，提升學生綜合運用因式分解方法的能力。（學生獨立完成后互評互改，教師巡視及時糾錯并投屏，共同解決）

1. 將下列各式因式分解：x3－x，x3－2x2y＋xy2，81－a4。

2. 將上面對應題變式：a2（m－n）＋b2（n－m），-x3－2x2y－xy2，-a4＋81。

【設計意圖】通過第1題檢查效果，師生訂正后，通過變式2，進一步檢驗效果，從而達到查漏補缺目的，達成目標1。

（四）拓展延伸，能力提升

1. 提出疑惑，留出懸念

如何將x2＋9x＋20因式分解？還能提公因式或套公式嗎？

【設計意圖】設疑惑，留懸念，激發學生探索新知的欲望。

2. 探究規律

兩個長和寬都相等的長方形，其長為（x＋a），寬為（x＋b），（1）第一個長方形的面積可表示為S1＝" " "，第二個長方形的面積可表示為S2＝" " "，由此你發現一個等量關系是" " "，這是關于字母系數是1的兩個一次兩項式相乘的計算規律，展開式的右邊是一個二次三項式，其中常數項是" " "，一次項系數是" " 。（2）利用你所得的規律（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab，快速計算：（x＋4）（x＋5）＝" " ；（x－6）（x－1）＝" " "；（x＋3）（x－2）＝" " "。（3）利用你所得的規律x2＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b），因式分解：x2＋9x＋20＝" " "；x2－7x＋6＝" " " ；x2＋x－6＝" " " " " " 。

十字相乘法方法總結：豎分2次項與常數項；交叉相乘，和相加；檢驗確定，橫寫因式。口訣：豎分常數交叉驗，橫寫因式不能亂。（拆、湊）

【設計意圖】讓學生從觀察、思考、推理、歸納中得出規律，通過整式乘法逆用得出新的因式分解方法，進一步讓學生體驗過程，加深理解，總結步驟，提煉方法。

3. 檢查效果，鞏固練習

用所得規律x2＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b）嘗試下列因式分解：x2＋5x＋6，x2＋5x－6，x2＋x－12。

【設計意圖】初步體驗，檢查學生效果。

4. 變式訓練，能力提升

因式分解x2＋ax＋b時，甲看錯a，分解成（x＋1）（x＋5）；乙看錯b，分解成（x－2）（x－4），則x2＋ax＋b正確的因式分解結果為（" " ）

A.（x－2）（x＋5）" B.（x＋1）（x－4）

C.（x－1）（x－5）" D.（x＋1）（x－5）

【設計意圖】通過變式訓練，進一步檢查學生對新知的理解。

變式訓練：小明還給出了另一種因式分解的方法：x2－6x＋5＝x2－6x＋32－32＋5＝（x－3）2－4＝（x－3＋2）（x－3－2）＝（x－1）（x－5），請模仿上述配方法分解因式：x2－12x＋20，x2－6xy＋5y2。

總結配方方法（口訣）：二系為1是前提，一系折半再平方；哪里加來哪里減，完全式后平方差。

【設計意圖】一題多解，訓練學生思維，讓學生做中對比、小結，提升能力。

（五）小結提升，提煉方法

你能從數學知識、方法、思想三方面說說你本節課有哪些收獲嗎？1. 三字步驟：一提二套三查；2. 注意四錯：提而不盡、張冠李戴、半途而廢、錯找一二。（學生談自己的收獲，教師利用口訣提煉方法、強調易錯處）

【設計意圖】提煉方法，總結數學思想，納入已有知識體系，使學生對整個學習過程脈絡更清晰。

（六）課后作業，分層設計

1. 將下列各式分解因式：2a2－8，-a3＋4a2－4a，（a2＋4）－16a2。

2. 若a－b＝1，求[12]（a2＋b2）－ab的值。

3. 閱讀與思考：整式乘法與因式分解是方向相反的變形，由（x＋p）（x＋q）＝x2＋（p＋q）x＋pq，得x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）。利用這個式子可以將某些二次項第數是1的二次三項式因式分解。

例如：將式子因式分解。分析：這個式子的常數項2＝1×2，一次項系數3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋（1＋2）x＋1×2，即x2＋3x＋2＝（x＋1）（x＋2）。

請仿照上面的方法，解答下列問題：因式分解：x2＋6x－27；若x2＋px－8可分解為兩個一次因式的積，則求出整數p的所有可能值。

【設計意圖】前兩題為必做題，第3題作為有能力的學生選做，分層作業，盡可能地滿足各類學生對知識的需求。

三、教學反思

教學亮點：通過口訣、歌曲等形式，幫助學生記憶因式分解的步驟和易錯點，寓教于樂，激發學生學習興趣；通過變式訓練和拓展延伸，提升學生綜合運用因式分解方法的能力；通過整體教學模式，構建“因式分解”知識體系，培養學生的數學核心素養。

改進建議：教學容量較大，部分學生思考時間不足，需適當調整教學節奏；十字相乘法的拓展延伸不夠完整，需在后續教學中進一步補充。