基于公平與效率雙目標(biāo)的航班時(shí)刻資源配置優(yōu)化方法

摘要：針對(duì)航班時(shí)刻資源配置問(wèn)題，采用分層調(diào)度策略，引入時(shí)刻價(jià)值指標(biāo)，構(gòu)建了一個(gè)多層次、兼顧公平性與效率性的雙目標(biāo)模型，以深入探究?jī)烧咧g的內(nèi)在聯(lián)系與優(yōu)化平衡。通過(guò)對(duì)某Level 3協(xié)調(diào)機(jī)場(chǎng)的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，模型的有效性得到了充分證明。進(jìn)一步分析不同層次、航空公司及日期類型下的時(shí)刻調(diào)整情況，揭示了調(diào)度過(guò)程中的復(fù)雜性。同時(shí)，提出過(guò)載分配的概念，并通過(guò)容忍度參數(shù)重新定義偏移時(shí)刻量評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)，探討了最優(yōu)容忍度水平對(duì)調(diào)度結(jié)果的影響。結(jié)果顯示，相較于單目標(biāo)模型，雙目標(biāo)模型在總偏移時(shí)刻量微增0.30%、最大偏移時(shí)刻量增加3.28%的情況下，公平性提升26.00%，且各航空公司調(diào)整水平更均衡，歷史時(shí)刻請(qǐng)求更易實(shí)現(xiàn)公平調(diào)度。工作日偏移時(shí)刻量低于非工作日，公平性更優(yōu)（0.02%）。周六偏移時(shí)刻量最高，公平性最差（1.11%）。相對(duì)最優(yōu)容忍度為2個(gè)時(shí)刻，可降低47.78%的過(guò)載分配。研究結(jié)果為航班時(shí)刻優(yōu)化提供了新思路，對(duì)航空公司申請(qǐng)編制具有重要參考價(jià)值。

關(guān)鍵詞：航班時(shí)刻資源；多目標(biāo)優(yōu)化；公平性；時(shí)刻價(jià)值；容忍度

中圖分類號(hào)：V355；[U8] 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

本文引用格式：呂佳璘，包丹文，周佳怡. 基于公平與效率雙目標(biāo)的航班時(shí)刻資源配置優(yōu)化方法[J]. 華東交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2025，42（1）：73-83.

A Dual-Objective Fairness-Efficiency Model for

Airport Slot Scheduling

Lyu Jialin， Bao Danwen， Zhou Jiayi

（College of Civil Aviation， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 211106， China）

Abstract： Addressing the issue of slot scheduling， this study employs a hierarchical allocating strategy and introduces the value of slot to construct a dual-objective optimizationmodel that balances fairness and efficiency.The validity of model is verified using historical data from a Level 3 airport in China. A comprehensive analysis of slot scheduling acrossdifferent levels， airlines， and date typesreveals the complexity of the process. Furthermore， the concept of overload allocation is introduced， and the offset evaluation criteria are redefined through the tolerance parameter， exploring the impact of optimal tolerance levels on slot scheduling. The results indicate that，compared to a single-objective model， the dual-objective model enhances fairness by only 0.30% and maximum slot displacement by 3.28%， while improving fairness by 26.00%. Moreover， the adjustment among airlines are more balanced， and historical requests are more likely to achieve fair allocation. Displacement on weekdays are observed to be lower than those on non-weekdays， exhibiting superior fairness（0.02%）. Saturdays exhibit the highest displacement and the poorest fairness（1.11%）. The optimal tolerance level is identified as 2 slots，which reduces overload allocation by 47.78%. This research provides novel insights into the slot scheduling and hold considerable reference value for airlines in the process of schedule.

Key words： slot scheduling; dual-objective optimization; fairness; value of slot; tolerance

Citation format： LYU J L， BAO D W， ZHOU J Y. A dual-objective fairness-efficiency model for airport slot scheduling[J]. Journal of East China Jiaotong University， 2025， 42（1）： 73-83.

航空運(yùn)輸需求的快速增長(zhǎng)導(dǎo)致部分機(jī)場(chǎng)在高峰時(shí)段無(wú)法滿足航班運(yùn)營(yíng)需求，進(jìn)而引發(fā)機(jī)場(chǎng)服務(wù)與機(jī)場(chǎng)資源間的供需嚴(yán)重失衡的問(wèn)題[1-3]。因此，時(shí)刻配置對(duì)緩解嚴(yán)峻的供需矛盾具有重要戰(zhàn)略意義與應(yīng)用價(jià)值。國(guó)際航空運(yùn)輸協(xié)會(huì)根據(jù)機(jī)場(chǎng)的供需關(guān)系將機(jī)場(chǎng)分為三個(gè)級(jí)別。截至2022年底，全球共有198個(gè)時(shí)刻協(xié)調(diào)機(jī)場(chǎng)（Level 3協(xié)調(diào)機(jī)場(chǎng)），占全球機(jī)場(chǎng)總量的約6%，卻承擔(dān)全球近50%的運(yùn)輸服務(wù)任務(wù)[1]。國(guó)際航空運(yùn)輸協(xié)會(huì)（international air transport association，IATA）指出[3]，此類機(jī)場(chǎng)的需求遠(yuǎn)超其容量，且短期內(nèi)無(wú)法通過(guò)擴(kuò)展機(jī)場(chǎng)基礎(chǔ)設(shè)施來(lái)緩和供需矛盾，需要通過(guò)協(xié)調(diào)分配來(lái)統(tǒng)籌配置航班時(shí)刻資源。目前時(shí)刻分配方法分為行政化配置和市場(chǎng)化配置，其中行政化配置為全球大多數(shù)國(guó)家和地區(qū)采用的主流模式，即由時(shí)刻管理部門根據(jù)一定的規(guī)則對(duì)機(jī)場(chǎng)航班時(shí)刻進(jìn)行協(xié)調(diào)配置[2]。例如，中國(guó)民用航空局（civil aviation administration of China，CAAC）于2018年頒布實(shí)施《民航航班時(shí)刻管理辦法》，強(qiáng)調(diào)要促進(jìn)航班時(shí)刻資源的公平配置與高效利用，確保航空承運(yùn)人公平參與航空市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)。

長(zhǎng)期以來(lái)，學(xué)者們致力于研究時(shí)刻配置問(wèn)題的復(fù)雜性并提出多種旨在優(yōu)化時(shí)刻分配的模型。戰(zhàn)略層面上，時(shí)刻配置的主要難點(diǎn)之一在于如何綜合考慮多重因素的限制，為整個(gè)航季合理有效地分配航班時(shí)刻系列[4]。早期研究大多聚焦于單目標(biāo)時(shí)刻調(diào)度優(yōu)化，其核心目的在于通過(guò)最小化總偏移時(shí)刻量來(lái)優(yōu)化運(yùn)行效率，即降低請(qǐng)求時(shí)刻與所分配時(shí)刻之間的差異總和[2，5-6]。例如，Koester[7]提出了一種啟發(fā)式程序用以評(píng)估單個(gè)機(jī)場(chǎng)時(shí)刻表的偏移時(shí)刻量，適用于不同級(jí)別的申報(bào)容量、需求和機(jī)位利用率。然而，單純追求總偏移時(shí)刻量的最小化會(huì)忽略各個(gè)航空公司和航班請(qǐng)求的調(diào)度延誤水平上的差異，且單目標(biāo)優(yōu)化策略難以滿足資源分配的多方均衡需求，因此時(shí)刻分配問(wèn)題逐漸從單目標(biāo)優(yōu)化拓展至多目標(biāo)優(yōu)化。多位學(xué)者將最小化最大調(diào)配延誤作為優(yōu)化附加目標(biāo)，旨在降低請(qǐng)求時(shí)刻與分配時(shí)刻間絕對(duì)差值的最大水平，從而提升時(shí)刻分配公平性[8-10]。此類問(wèn)題被表述為最大值最小化問(wèn)題[11]。例如，Jacquillat等[8]提出的雙目標(biāo)時(shí)刻分配模型中，首先對(duì)最小化最大偏移時(shí)刻量問(wèn)題進(jìn)行求解，隨后進(jìn)一步求解最小化總偏移時(shí)刻量問(wèn)題，以優(yōu)化戰(zhàn)略時(shí)刻分配決策。此外，有學(xué)者在現(xiàn)有時(shí)刻調(diào)度模型基礎(chǔ)上，進(jìn)一步納入運(yùn)營(yíng)延遲[12]、拒絕請(qǐng)求[13]或魯棒性水平及運(yùn)營(yíng)成本[14]為指標(biāo)。例如，Zografos等[6]構(gòu)建雙目標(biāo)模型，著重考慮超過(guò)可接受偏移閾值范圍的時(shí)刻分配量的最小化。Ribeiro等[9]則進(jìn)一步提出將最小化拒絕的請(qǐng)求總數(shù)作為第三優(yōu)化目標(biāo)。盡管既往研究在一定程度上保證了時(shí)刻資源的有效利用，但它們往往忽視了調(diào)配過(guò)程中航空公司間的公平性，無(wú)法確保最終分配結(jié)果的商業(yè)或運(yùn)營(yíng)可行性。

公平性已被公認(rèn)為資源分配決策評(píng)估的重要標(biāo)準(zhǔn)，因?yàn)樗菦Q定分配決策可接受性的重要因素之一[11]。利益相關(guān)方更傾向于接受那些考慮到各方利益的公平建議。如果忽視公平性，優(yōu)化效率高的解決方案也可能因無(wú)法保障商業(yè)可行性而無(wú)法被利益相關(guān)方接受實(shí)施[14]。在空中交通管理決策的背景下，公平性已被明確視為一項(xiàng)重要決策標(biāo)準(zhǔn)[15]。IATA明確提出要向航空公司提供公平公正待遇，CAAC也強(qiáng)調(diào)要保證航空承運(yùn)人在航空市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中的公平參與。然而目前缺乏明確定義的量化公平性指標(biāo)[11]。針對(duì)航班時(shí)刻分配公平性問(wèn)題，現(xiàn)有研究主要分為絕對(duì)公平性與相對(duì)公平性評(píng)估。Zografos等[16]提出一種定義公平性目標(biāo)的方法，旨在最小化每家航空公司的公平性值與所有航空公司的平均公平性均值之間的最大相對(duì)距離。Glover[17]采用相稱性規(guī)則，提出時(shí)刻應(yīng)按照航空公司的請(qǐng)求成比例分配。然而，現(xiàn)有研究所提出的評(píng)估方式均忽略了航空公司經(jīng)營(yíng)效益這一根本目標(biāo)，這可能會(huì)影響時(shí)刻分配結(jié)果的商業(yè)可行性。

近年來(lái)，航空公司調(diào)度偏好的戰(zhàn)略研究越來(lái)越受關(guān)注，特別是在探討時(shí)刻調(diào)度容忍度方面的研究日漸增多。當(dāng)前的時(shí)刻分配方法可能會(huì)導(dǎo)致安排時(shí)刻遠(yuǎn)離航空公司最初的請(qǐng)求時(shí)刻，進(jìn)而降低資源利用率和市場(chǎng)公平性[14]。有研究提出，對(duì)優(yōu)先級(jí)較高時(shí)刻請(qǐng)求，微小容差可能會(huì)產(chǎn)生更有效的時(shí)刻分配結(jié)果，該微小容差體現(xiàn)了航空公司對(duì)于時(shí)刻調(diào)度的接受水平[1]。因此，有學(xué)者[2，16，18]提出容忍度概念用以探究航空公司對(duì)每個(gè)請(qǐng)求偏移時(shí)刻量的接受水平。容忍度表示航空公司對(duì)偏移時(shí)刻量的可接受水平，其會(huì)影響機(jī)場(chǎng)和空管單位在滿足時(shí)刻分配結(jié)果公平性和滿意度時(shí)所需付出的總偏移時(shí)刻量成本[19]。然而，現(xiàn)有模型大多忽略了航空公司對(duì)于微小容差的接受水平，導(dǎo)致時(shí)刻分配結(jié)果的公平性和滿意度不高。

為提升時(shí)刻分配結(jié)果的公平性水平，本文綜合考慮分配時(shí)刻與航空公司效益間的關(guān)系，構(gòu)建比例性指標(biāo)，納入多目標(biāo)問(wèn)題探究，以探究兼顧公平性與效率性的時(shí)刻分配方法。在此基礎(chǔ)上，本文將區(qū)分工作日、非工作日，分析時(shí)刻請(qǐng)求與分配方案的效用水平，以支持航空公司請(qǐng)求制定。為提高時(shí)刻分配的可接受水平，本文將結(jié)合多容忍度下的時(shí)刻分配公平性評(píng)估，探究航空公司容忍度偏好，以提高分配方案的可接受性，對(duì)提升時(shí)刻資源利用效率和航空公司運(yùn)營(yíng)效益具有重要的實(shí)踐意義。

1 模型構(gòu)建

1.1 公平性評(píng)估指標(biāo)構(gòu)建

本研究構(gòu)建的公平性指標(biāo)基于相稱性原則，旨在最小化航空公司公平性與整體公平水平均值之間的差值，并充分考慮了經(jīng)濟(jì)效益上的公平性。在分配過(guò)程中，相稱性原則要求根據(jù)各方的投入比例來(lái)分配產(chǎn)出[11]。具體而言，根據(jù)不同場(chǎng)景特點(diǎn)定義貢獻(xiàn)評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)，并根據(jù)用戶做出的貢獻(xiàn)水平按比例進(jìn)行資源分配[2]。先前的研究主要關(guān)注請(qǐng)求量而忽略了經(jīng)濟(jì)效益。本文在公平性評(píng)估指標(biāo)上做了改進(jìn)，以時(shí)刻價(jià)值作為公平性評(píng)價(jià)對(duì)象，即分配結(jié)果的時(shí)刻價(jià)值應(yīng)當(dāng)按航空公司請(qǐng)求的比例分布在航空公司之間。強(qiáng)調(diào)了分配與請(qǐng)求間的比例關(guān)系[11，16]。構(gòu)建公平性指標(biāo)以表示時(shí)刻分配結(jié)果的相對(duì)時(shí)刻價(jià)值與航空公司請(qǐng)求的相對(duì)時(shí)刻價(jià)值間的比例關(guān)系

[ρa(bǔ)=Va，pVa，m，" " ?a∈A] （1）

式中：[Va，m]為某航空公司[a]的請(qǐng)求[m]的相對(duì)時(shí)刻價(jià)值；[Va，p]為某航空公司[a]的分配結(jié)果p的相對(duì)時(shí)刻價(jià)值；[A]為進(jìn)行時(shí)刻協(xié)調(diào)請(qǐng)求的航空公司a的集合；[ρa(bǔ)]表示分配結(jié)果的相對(duì)時(shí)刻價(jià)值[Va，p]應(yīng)與其請(qǐng)求的相對(duì)時(shí)刻價(jià)值[Va，m]，即貢獻(xiàn)，成正比。理想狀態(tài)下，航空公司[a]被相對(duì)公平對(duì)待，則[ρa(bǔ)=1]；反之，航空公司被優(yōu)待[ρa(bǔ)gt;1]或忽視[ρa(bǔ)lt;1]。根據(jù)上述指標(biāo)，[ρa(bǔ)]越接近1，則證明公平性越優(yōu)。這種改進(jìn)，是在請(qǐng)求航班量基礎(chǔ)之上，綜合考慮航班經(jīng)營(yíng)效益，使公平性在航空公司時(shí)刻調(diào)度上體現(xiàn)得更為合理。[Va，p]與[Va，m]由下式定義

[Va，p=Va，pa∈AVa，p=m∈Mat∈Tvm，tXm，ta∈Am∈Mat∈Tvm，tXm，t，" " ?a∈A] （2）

[Va，m=Va，ma∈AVa，m=m∈Mat∈Tvm，ta∈Am∈Mat∈Tvm，t，" " ?a∈A] （3）

式中：[Va，m]為某航空公司[a]的請(qǐng)求[m]的時(shí)刻價(jià)值；[Va，p]為某航空公司[a]的分配結(jié)果p的時(shí)刻價(jià)值；[vm，t]為時(shí)刻t航班m的時(shí)刻價(jià)值；[Xm，t]為時(shí)刻t航班m的決策變量，為二分類變量，若分配在時(shí)刻t則取1，反之則取0；[T]為可供協(xié)調(diào)的時(shí)刻t的集合；[Ma]為航空公司a的航班m的集合。

受活動(dòng)類型、航線類型、航空公司等因素影響，相同時(shí)刻的價(jià)值存在差異[1]。航空公司最重視時(shí)刻分配所帶來(lái)的效益[20]。因此，需要一個(gè)能進(jìn)行全面分析且基本不受會(huì)計(jì)方法影響的模型來(lái)定義時(shí)刻價(jià)值。現(xiàn)金流折現(xiàn)模型（discounted cash flow model，DCF模型）是評(píng)估企業(yè)價(jià)值最為常用的方法之一，通過(guò)將未來(lái)現(xiàn)金流折現(xiàn)至當(dāng)前進(jìn)行價(jià)值評(píng)估[21-22]。DCF模型的核心思想是以利潤(rùn)與成本間的比值來(lái)評(píng)估價(jià)值，這與航空公司對(duì)于時(shí)刻價(jià)值的追求相類似。可用座位公里指標(biāo)是評(píng)估航空公司運(yùn)營(yíng)績(jī)效的常用指標(biāo)，可單獨(dú)用于評(píng)估運(yùn)營(yíng)績(jī)效，或與成本/收入數(shù)據(jù)相結(jié)合衡量效率，支持調(diào)度或機(jī)隊(duì)決策。在沒(méi)有收入數(shù)據(jù)的情況下，可使用整個(gè)航季的可用座位公里數(shù)來(lái)估算每個(gè)請(qǐng)求的價(jià)值，而無(wú)需輸入成本/收入。機(jī)票價(jià)格和航空公司收入受旅行距離、乘客和飛機(jī)載客率等因素的影響。另一個(gè)主要影響因素是航線競(jìng)爭(zhēng)，競(jìng)爭(zhēng)決定了飛機(jī)的大小和有關(guān)航線的服務(wù)頻率。本文參考DCF模型，通過(guò)對(duì)模型進(jìn)行變形，忽略了初始時(shí)刻的流量水平，以座公里情況表示運(yùn)營(yíng)效益，引入時(shí)刻競(jìng)爭(zhēng)比例，對(duì)時(shí)刻價(jià)值提出如下定義

[Vt=fmcf×MtMTotal，" " ?t∈T] （4）

式中：[Vt]為時(shí)刻t的價(jià)值；[fm]為上一航季中，航班[m]的座公里情況；[cf]為其所對(duì)應(yīng)的成本；[Mt]為時(shí)刻[t]的請(qǐng)求量；[MTotal=MArr+MDep]為進(jìn)場(chǎng)請(qǐng)求[MArr]與離場(chǎng)請(qǐng)求[MDep]的集合。

1.2 基于公平性的雙目標(biāo)時(shí)刻配置模型構(gòu)建

首先，構(gòu)建考慮效率性的目標(biāo)函數(shù)。計(jì)劃偏移時(shí)刻量被定義為最終分配時(shí)刻和請(qǐng)求時(shí)刻之間的差值[2，7]，即優(yōu)化前后的偏移時(shí)刻量。當(dāng)前時(shí)刻優(yōu)化研究中，對(duì)于效率性的考慮大多圍繞航班偏移時(shí)刻量制定優(yōu)化目標(biāo)。考慮航空公司的偏好，構(gòu)建效率性目標(biāo)函數(shù)

[z1=minW=mina∈AWa] （5）

[z2=minWmax，" " ?a∈A] （6）

式中：偏移優(yōu)化目標(biāo)分別為最小化總偏移時(shí)刻量[W]，最小化最大偏移時(shí)刻量[Wmax]（所有時(shí)刻請(qǐng)求與分配結(jié)果中最壞情況下的偏移時(shí)刻量），以保障航空公司的利益，同時(shí)降低時(shí)刻協(xié)調(diào)工作難度；[Wa]為航空公司[a]所有請(qǐng)求[m]的總偏移時(shí)刻量；[ωm]為請(qǐng)求[m]的偏移時(shí)刻量。由式（7）～式（9）表示

[Wa=m∈Maωm] （7）

[ωm=t∈Tt-tmXm，t，" " ?m∈M] （8）

[Wmax=maxt∈Tt-tmXm，t，" " ?m∈M] （9）

式中：[tm]為分配給航班m的時(shí)刻t；[M]為航班m的集合。

構(gòu)建考慮公平性的目標(biāo)函數(shù)。由上文可知，對(duì)于任意[?a∈A，ρa(bǔ)=1]時(shí)，航空公司[a]被公平對(duì)待。然而在實(shí)際航班時(shí)刻表的編排優(yōu)化中，由于還需保證容量限制、最小過(guò)站時(shí)間等約束以及總偏移時(shí)刻量最小的目標(biāo)，無(wú)法實(shí)現(xiàn)所有航空公司均被公平對(duì)待的理想狀態(tài)。在公平性度量指標(biāo)基礎(chǔ)上，構(gòu)建公平性目標(biāo)函數(shù)

[z3=minmaxρa(bǔ)-a∈Aρa(bǔ)A，" " ?a∈A] （10）

式中：[z3]為任一航空公司公平性和所有航空公司公平性均值的偏差程度。本文將航空公司的公平性指標(biāo)與所有航空公司的公平性指標(biāo)間的最大偏差最小化，確保最不公平的情況與平均公平的差距盡可能小。

基于上述定義內(nèi)容，提出考慮公平性與效率性的多目標(biāo)模型

[Zq=z1，z2，z3] （11）

該模型有以下3個(gè)約束條件。

1） 時(shí)刻唯一性：本文是屬于一類沒(méi)有航班丟棄的優(yōu)化問(wèn)題，每個(gè)航班均分配一個(gè)時(shí)刻。定義決策變量[Xm，t]為一個(gè)二分類變量

[Xm，t=1，航班請(qǐng)求m分配到時(shí)刻t0，其他] （12）

[t∈TXm，t=1，" " m∈M] （13）

2） 機(jī)場(chǎng)滾動(dòng)容量：指機(jī)場(chǎng)[k]在單位時(shí)間[c]內(nèi)計(jì)劃的離港和進(jìn)港架次容量[μk，c]。

[m∈Mt∈TcXm，t，k≤μk，c，" " ?k∈K，" " c∈C] （14）

式中：[K]為機(jī)場(chǎng)[k]的集合；[C]為單位時(shí)間[c]的集合。

3） 過(guò)站時(shí)間：飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)k從時(shí)刻滑行停機(jī)到執(zhí)行下一個(gè)航班的時(shí)間間隔。

[t∈0，tkXmDep，t+t∈tk-tArr，Dep，TXmArr，t≤1，mArr，mDep∈MTotal，tk∈tArr，Dep，T] （15）

式中：[mArr，mDep∈MTotal]為航班對(duì)的集合；[mDep]為離港航班；[mArr]為對(duì)應(yīng)的前序進(jìn)港航班；[tArr，Dep]為最小過(guò)站時(shí)間。任意[tk≥tArr，Dep]，如果航班在[0，tk]中任意時(shí)刻離港，則前序航班不可能在[tk-tArr，Dep，T]時(shí)間段內(nèi)到達(dá)。

1.3 考慮航空公司容忍度的偏移時(shí)刻量定義

容忍度[τm]的實(shí)質(zhì)是基于前人發(fā)現(xiàn)的每家航空公司對(duì)每個(gè)請(qǐng)求m的偏移時(shí)刻量存在最大接受水平[13，18，22]。通過(guò)比較容忍度閾值與航空公司在接受時(shí)刻協(xié)調(diào)時(shí)刻[t]和請(qǐng)求的時(shí)間間隔[ta，m]間的差值，以判斷分配的效果。假設(shè)分配給指定請(qǐng)求[m]超出閾值范圍，即早于最早限額[ta，m-τm]或晚于最晚限額[ta，m+τm]，則此時(shí)刻分配稱為“過(guò)載分配”。反之，則為“合理分配”（圖1）。過(guò)載分配的次數(shù)構(gòu)成了航空公司對(duì)在時(shí)刻表協(xié)調(diào)的機(jī)場(chǎng)分配時(shí)刻包容度的總體衡量標(biāo)準(zhǔn)。此評(píng)估中內(nèi)含了忽略請(qǐng)求的估計(jì)值。因此，可進(jìn)一步以減少過(guò)載分配的數(shù)量為時(shí)刻優(yōu)化的目標(biāo)，從而減少航空公司拒絕分配結(jié)果的次數(shù)。

[fm=t-（ta，m+τm），tgt;ta，m+τm0，ta，m+τm≥t≥ta，m-τmt-（ta，m-τm），tlt;ta，m-τm] （16）

[ωm=t∈Tfmxm，t，" " ?m∈M] （17）

[Wa=m∈Maωm] （18）

[Wmax=maxt∈Tfmxm，" " ?m∈M] （19）

式（16）表示若為過(guò)載分配，則偏移時(shí)刻量[fm]為分配時(shí)刻與最近閾值間的差值，反之則取0；式（17）～式（19）則為式（7）～式（9）的更新；[ω，Wa，Wmax]分別為更新后的[ω，Wa，Wmax]。

2 模型求解

2.1 約束轉(zhuǎn)換

ε約束，通過(guò)將多目標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列單目標(biāo)問(wèn)題，找到一組權(quán)衡解決方案，是高效的多目標(biāo)優(yōu)化算法[10]。每個(gè)單目標(biāo)問(wèn)題都涉及將其中一個(gè)目標(biāo)最大化或最小化，同時(shí)將其他目標(biāo)視為約束條件[2]，即將本模型中最小化總偏移時(shí)刻量為總目標(biāo)，而最小化最大偏移時(shí)刻量與公平性目標(biāo)轉(zhuǎn)換為參數(shù)約束。

首先，將最大值最小目標(biāo)[z2]與公平性目標(biāo)[z3]轉(zhuǎn)化為以下[ε]約束

[t-tmxm，t≤εz2，" " ?m∈M] （20）

[ρa(bǔ)-a∈Aρa(bǔ)A≤εz3，?a∈A] （21）

式（20）左側(cè)表示分配時(shí)刻與請(qǐng)求時(shí)刻的偏移時(shí)刻量；式（21）左側(cè)表示與航空公司[a]相關(guān)的公平性與平均公平性的偏差；約束（12）是非線性的，作為包含二進(jìn)制決策變量，該約束通過(guò)乘以總偏移時(shí)刻量表達(dá)式，當(dāng)總偏移時(shí)刻量不為0時(shí)，此操作有效。原多目標(biāo)模型，仍受約束條件（式（12）～式（15））約束，重新表述為

[Zq=minZX，εz2，εz3，X=Xm，t] （22）

式中：[X]為[Xm，t]的矩陣。特別地，[ε]的選擇應(yīng)謹(jǐn)慎。如果[ε]的值過(guò)高，則公平性約束將不受限制，并且結(jié)果將與不考慮公平性的模型的結(jié)果相同；如果[ε]的值太小，則問(wèn)題可能沒(méi)有可行的解決方案。初始[ε]值通過(guò)以下程序確定：首先，求解最小化總偏移時(shí)刻量的單目標(biāo)模型，將單目標(biāo)模型求解的結(jié)果代入式（4）和式（6）中，計(jì)算最大偏移時(shí)刻量與每家航空公司的公平性指標(biāo)。隨后，將計(jì)算出時(shí)刻量的公平性指標(biāo)代入式（21）中，以計(jì)算公平性目標(biāo)的值。最大偏移時(shí)刻量與公平性目標(biāo)的計(jì)算值設(shè)置為初始[ε]值。該方法保證了單目標(biāo)問(wèn)題的解是多目標(biāo)問(wèn)題的可行解，并且[ε]的初始值是緊密的。對(duì)于[ε]的更新，以預(yù)定義的步長(zhǎng)迭代減少[ε]的值并獲得[εI]（迭代[I]中采用的[ε]值）。對(duì)于每個(gè)[εI]，求解[ε]約束模型，并存儲(chǔ)得到的目標(biāo)值，以確定有效邊界。當(dāng)無(wú)法可行的解決方案時(shí)，該算法將終止。

2.2 框架設(shè)計(jì)

雙目標(biāo)時(shí)刻分配模型旨在確定給定時(shí)間范圍和容量水平內(nèi)多層時(shí)刻分配解決方案。為保證研究結(jié)果的實(shí)踐性，采取雙目標(biāo)分層調(diào)度策略，即歷史請(qǐng)求（H）優(yōu)先級(jí)高于新進(jìn)入者請(qǐng)求（N）及其他請(qǐng)求（O），并根據(jù)此劃分為兩個(gè)相互關(guān)聯(lián)的層次，依次求解。層次的劃分意味著第1層次的求解結(jié)果成為第2層次求解可行域的約束。

本文采用Python 3.11編碼，[ε]約束模型由Grobi 11.0求解。具體計(jì)算過(guò)程如下。

1） 使用目標(biāo)函數(shù)（式（5））和約束（式（12）～式（15））構(gòu)建和求解效率性單一目標(biāo)時(shí)刻分配模型。該模型的最優(yōu)解均對(duì)應(yīng)于最小總偏移時(shí)刻量-較大最大偏移時(shí)刻量-最差公平性。

2） 使用目標(biāo)函數(shù)（式（6）～式（10））構(gòu)建并求解基于公平性與效率性雙目標(biāo)的時(shí)刻分配模型，該模型的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)于最小總偏移時(shí)刻量-較小最大偏移時(shí)刻量-最優(yōu)公平性。

3） 使用式（17）～式（19）替換式（7）～式（9），重新構(gòu)建偏移時(shí)刻量計(jì)算方式和雙目標(biāo)時(shí)刻資源分配模型。

3 案例分析

3.1 數(shù)據(jù)

本文制定的多層次雙目標(biāo)時(shí)刻調(diào)度模型旨在確定協(xié)調(diào)機(jī)場(chǎng)時(shí)刻最優(yōu)分配結(jié)果。所需的輸入包括機(jī)場(chǎng)公布容量、時(shí)刻價(jià)值、時(shí)刻請(qǐng)求數(shù)據(jù)和周轉(zhuǎn)時(shí)間。本研究選取2023年冬春航季（11月6日至11月12日）珠三角地區(qū)某Level 3協(xié)調(diào)機(jī)場(chǎng)的數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)案例。機(jī)場(chǎng)的申報(bào)容量以15 min為間隔（表1）。實(shí)驗(yàn)中，每個(gè)時(shí)刻以15 min為間隔表示。

時(shí)刻請(qǐng)求數(shù)據(jù)涉及22個(gè)航空公司共計(jì)7 094條請(qǐng)求，其中包含離場(chǎng)請(qǐng)求3 553條，進(jìn)場(chǎng)請(qǐng)求3 540條（圖2）。由于每日7～25時(shí)刻序列為機(jī)場(chǎng)夜間停場(chǎng)階段，無(wú)數(shù)據(jù)，故未在圖中展現(xiàn)。歷史請(qǐng)求3 698條，新進(jìn)入者請(qǐng)求和其他請(qǐng)求3 396條。每個(gè)時(shí)刻請(qǐng)求都包括請(qǐng)求該時(shí)刻的航空公司的代碼、活動(dòng)類型、請(qǐng)求時(shí)刻日期、請(qǐng)求到達(dá)和離開(kāi)的時(shí)間、分配到達(dá)和離開(kāi)的時(shí)間、飛機(jī)類型。

3.2 基于公平性的時(shí)刻配置方案評(píng)估

將僅考慮最小化總偏移時(shí)刻量的單目標(biāo)模型與基于公平性與效率性的雙目標(biāo)模型的解決方案進(jìn)行對(duì)比，以評(píng)估時(shí)刻分配的優(yōu)化效果。

兩種模型的最優(yōu)解如表2所示。單目標(biāo)模型的求解結(jié)果代表了忽略公平性目標(biāo)的基準(zhǔn)解決方案。通過(guò)對(duì)比可得，公平性的引入導(dǎo)致總偏移時(shí)刻量提升0.30%，但實(shí)現(xiàn)公平性相對(duì)水平[ρa(bǔ)-1]降低26%。根據(jù)上文定義，公平性指標(biāo)[ρa(bǔ)]越接近1，表明公平性更佳。因此，公平性的提升是以增加總偏移時(shí)刻量為成本，以改善分配結(jié)果的公平性水平，從而提升航空公司對(duì)時(shí)刻分配結(jié)果的滿意度。同時(shí)，本文提出的雙目標(biāo)模型能夠在保證偏移時(shí)刻量增加不顯著的情況下，滿足公平性要求。

討論所提出的基于公平性與效率性雙目標(biāo)模型分層求解結(jié)果（圖3）。圖3中橫軸表示效率性結(jié)果，即總偏移時(shí)刻量水平；縱軸表示公平性結(jié)果，即公平性[ε]，[ε]值越低表示公平性越優(yōu)。圖3中左右兩端方形標(biāo)記點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)于效率性最優(yōu)解與公平性最優(yōu)解，即總偏移時(shí)刻量最小且[ε]值最低，并且效率性最優(yōu)解與單目標(biāo)模型求解結(jié)果對(duì)應(yīng)。三角形所標(biāo)記的點(diǎn)為兼顧公平性與效率性的最優(yōu)解。每個(gè)點(diǎn)標(biāo)記中，第1個(gè)值表示效率性目標(biāo)，第2個(gè)值表示公平性目標(biāo)。可見(jiàn)，對(duì)于各種類型的請(qǐng)求，在兼顧公平性與效率性雙目標(biāo)進(jìn)行時(shí)刻請(qǐng)求分配時(shí)，公平性的提升均導(dǎo)致總偏移時(shí)刻量的增加。并且在前期犧牲少量的偏移時(shí)刻量即可提升較大的公平性，而后期，效率對(duì)于優(yōu)化更加敏感，需要犧牲大量的效率性來(lái)提升相同水平的公平性。但是，對(duì)于不同時(shí)刻請(qǐng)求類型，公平性與效率性的權(quán)衡關(guān)系并不相同，歷史請(qǐng)求的總偏移時(shí)刻量與[ε]變化較小，可推斷，與其他兩類相比，歷史請(qǐng)求更易實(shí)現(xiàn)公平調(diào)度。總體而言，效率性目標(biāo)與公平性目標(biāo)呈負(fù)相關(guān)，即總偏移時(shí)刻量的降低是以犧牲公平性為代價(jià)的，且不同類型請(qǐng)求實(shí)現(xiàn)公平調(diào)度的難度不同，歷史請(qǐng)求更易實(shí)現(xiàn)公平調(diào)度。

兼顧公平性與效率性的雙目標(biāo)模型在各航空公司的調(diào)整均衡水平優(yōu)于僅追求總偏移時(shí)刻量最小的單目標(biāo)模型。參與時(shí)刻分配的22家航空公司的個(gè)體調(diào)整情況如圖5所示，每一組左列為單目標(biāo)模型結(jié)果，右列為雙目標(biāo)模型結(jié)果。圖4（a）顯示了兩種模型中各航空公司平均偏移時(shí)刻量相對(duì)水平。分析發(fā)現(xiàn)，存在某些航空公司偏移時(shí)刻量遠(yuǎn)超平均水平345.23%，而某些航空公司平均偏移時(shí)刻量低于平均水平100%。這表明，在追求最小總偏移時(shí)刻量的單目標(biāo)模型中，部分航空公司的利益被犧牲，而雙目標(biāo)模型則能夠在保證總偏移時(shí)刻量最小的同時(shí)使各航空公司調(diào)整水平的相對(duì)均衡，最高偏移時(shí)刻量相對(duì)水平為227.84%，最低水平為-94.63%，說(shuō)明雙目標(biāo)模型避免了單目標(biāo)下?tīng)奚^(guò)度集中于某些航空公司的情況。各航空公司最大偏移時(shí)刻量相對(duì)水平同樣證實(shí)（圖4（b）），在單目標(biāo)模型中仍存在多個(gè)航空公司平均偏移時(shí)刻量低于平均水平100%的情況，而雙目標(biāo)模型下各航空公司的調(diào)整更加均衡（最差為-94.9%）。在公平性上（圖4（c）），雙目標(biāo)模型中各航空公司的公平性更為均衡，而單目標(biāo)模型中仍存在某一航空公司過(guò)度犧牲的情況（如航空公司9，-44.94%）。因此，公平性目標(biāo)的納入，除了可滿足整體分配上的公平性與效率性需求，還能確保各航空公司間的公平性，避免為追求總偏移時(shí)刻量最小而過(guò)度犧牲或偏愛(ài)某一航空公司的情況。

工作日與非工作日的求解結(jié)果對(duì)比結(jié)果如表3與圖4所示。工作日中，周五的平均偏移時(shí)刻量為全周最高，最大偏移時(shí)刻量（58個(gè)時(shí)刻）為全周中等水平，[ρa(bǔ)]為99.72%（ρa(bǔ)lt;1），[ρa(bǔ)-1]較優(yōu)（0.28%），說(shuō)明當(dāng)天雖然請(qǐng)求量為居中水平，但可能對(duì)于時(shí)刻價(jià)值高的時(shí)刻請(qǐng)求相對(duì)集中，而各航空公司調(diào)整水平相對(duì)均衡，導(dǎo)致平均偏移時(shí)刻量最高，而最大偏移時(shí)刻量不高，避免了過(guò)于犧牲某些航空公司，滿足整體分配的公平性。非工作日中，周六[ρa(bǔ)]為101.11%[ρa(bǔ)lt;1]，[ρa(bǔ)-1]最差（1.11%），這可能與其請(qǐng)求量最多、請(qǐng)求相對(duì)集中于高價(jià)值時(shí)刻有關(guān)；并且周六的平均偏移時(shí)刻量、最大偏移時(shí)刻量均位居第二，說(shuō)明當(dāng)天包括高價(jià)值時(shí)段在內(nèi)的各個(gè)時(shí)段請(qǐng)求量均有所提升，因而導(dǎo)致在平均偏移時(shí)刻量低于周五的情況下，當(dāng)日的公平性水平仍顯著降低。總體來(lái)看，工作日的平均請(qǐng)求量與平均偏移時(shí)刻量均低于非工作日，而[ρa(bǔ)-1]更優(yōu)（0.02%），但單日的調(diào)整則集中于周五周六。

3.3 容忍度水平分析

對(duì)4種不同容忍度水平下公平性與總偏移時(shí)刻量間的關(guān)系進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖6所示。在各個(gè)層次中，相同容忍度水平下，公平性與總偏移時(shí)刻量間的關(guān)系均呈負(fù)相關(guān)，這與上文分析結(jié)果相同。并且隨著容忍度水平從1個(gè)時(shí)刻逐步放寬至4個(gè)時(shí)刻，對(duì)于相同公平性水平下，越寬松的容忍度水平，總偏移時(shí)刻量越低。這意味著，隨著航空公司容忍度的提高，分配的時(shí)刻將越接近航空公司的要求，這對(duì)于航空公司在請(qǐng)求計(jì)劃的制定等實(shí)際應(yīng)用中具有參考價(jià)值。

對(duì)于4種指定的最大容忍度和忽略容忍度指標(biāo)的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表4所示。總體來(lái)看，容忍度越高，總偏移時(shí)刻量越低。從最嚴(yán)格的容忍情況（即0.25 h）到最寬松的容忍情況（即1 h），總偏移時(shí)刻量從14 247個(gè)降低至1 982個(gè)，總降幅約85.92%。并且，容忍度每提升0.25 h，過(guò)載分配總偏移時(shí)刻量均有不同程度的降低。因此，容忍度，即最大可接受偏移時(shí)刻量的設(shè)置可顯著降低過(guò)載分配平均偏移時(shí)刻量，容忍度值得納入時(shí)刻分配考量當(dāng)中。

從不同容忍度方案來(lái)看，容忍度水平的增加可以優(yōu)化分配結(jié)果，且存在最優(yōu)容忍度水平。容忍度從0個(gè)提升至2個(gè)時(shí)刻時(shí)，過(guò)載分配總偏移時(shí)刻量與平均偏移時(shí)刻量從10.63個(gè)降低至5.56個(gè)。容忍度水平從2個(gè)時(shí)刻提升至4個(gè)時(shí)刻時(shí)，雖然過(guò)載分配總偏移時(shí)刻量保持降低趨勢(shì)，但平均偏移時(shí)刻量降幅卻從47.78%減少至38.11%。這說(shuō)明，并非容忍度越高，過(guò)載分配的平均偏移時(shí)刻量越低，而是可能存在最優(yōu)容忍度水平。從本文求解結(jié)果來(lái)看，容忍度水平為2個(gè)時(shí)刻（即30 min）時(shí)，過(guò)載分配平均偏移時(shí)刻量為4種方案的最低（5.56個(gè)時(shí)刻，相對(duì)降幅47.78%），說(shuō)明該方案為相對(duì)最優(yōu)容忍度水平。容忍度是航空公司最大可接受偏移時(shí)刻量的體現(xiàn)，最優(yōu)容忍度水平的探究，可以使航空公司合理設(shè)置對(duì)時(shí)刻分配結(jié)果的預(yù)期閾值，從而在優(yōu)化時(shí)刻分配總偏移時(shí)刻量的同時(shí)提升公平性，提高的對(duì)分配結(jié)果的可接受性，從而提升時(shí)刻資源利用率[18]，這能夠在指導(dǎo)航空公司在制定時(shí)刻請(qǐng)求計(jì)劃時(shí)派生效用。

4 結(jié)論和建議

4.1 結(jié)論

1） 基于公平性與效率性的雙目標(biāo)模型證實(shí)了時(shí)刻分配時(shí)公平性與效率性間的負(fù)相關(guān)關(guān)系，即公平性的提升是以增加總偏移時(shí)刻量為成本。分層調(diào)度策略證實(shí)對(duì)于不同的請(qǐng)求類型實(shí)現(xiàn)公平調(diào)度的難度有所差異，歷史請(qǐng)求更易實(shí)現(xiàn)公平調(diào)度。時(shí)刻價(jià)值作為公平性評(píng)估重要條件體現(xiàn)了先進(jìn)性，在雙目標(biāo)模型構(gòu)建中實(shí)現(xiàn)在總偏移時(shí)刻量提升幅度較小的情況下，滿足整體分配上的公平性與效率性需求，同時(shí)使各航空公司的調(diào)整水平相對(duì)均衡，避免將總偏移時(shí)刻量最小的滿足建立在犧牲部分航空公司的基礎(chǔ)之上。

2） 工作日和非工作日在時(shí)刻優(yōu)化情況上存在差異。工作日的平均申請(qǐng)數(shù)與平均偏移時(shí)刻量均低于非工作日，且[ρa(bǔ)-1]更優(yōu)。但單日的總偏移時(shí)刻量調(diào)整則更集中于周五周六，且周六的公平性最差。

3） 容忍度概念的引入對(duì)偏移時(shí)刻量進(jìn)行了重新定義，可以提升時(shí)刻資源分配結(jié)果的可接受度，減少過(guò)載分配的出現(xiàn)。2個(gè)時(shí)刻（30 min）為相對(duì)最優(yōu)容忍度水平，可最大程度地優(yōu)化平均偏移時(shí)刻量。航空公司可考慮合理設(shè)置對(duì)時(shí)刻分配結(jié)果的預(yù)期閾值，從而提高對(duì)分配結(jié)果的可接受性，提升時(shí)刻資源利用率。

4.2 建議

1） 以分層調(diào)度策略下雙目標(biāo)模型印證的公平性與效率性間的負(fù)相關(guān)關(guān)系為基礎(chǔ)，空管單位可考慮在追求效率性的同時(shí)，協(xié)調(diào)航空公司間的公平性，適當(dāng)犧牲一定的總偏移時(shí)刻量，減少以犧牲部分航空公司為代價(jià)來(lái)滿足總偏移時(shí)刻量最小的情況，并調(diào)整不同類型的請(qǐng)求滿足水平，避免過(guò)度犧牲新進(jìn)入者和其他請(qǐng)求來(lái)滿足公平性的情況，從而均衡航空公司的偏移時(shí)刻量及所分配時(shí)刻的時(shí)刻價(jià)值，改善航空公司滿意度。

2） 根據(jù)各航空公司調(diào)整情況及工作日、非工作日分配情況的分析，航空公司可結(jié)合自身及日期類型適當(dāng)調(diào)整時(shí)刻申報(bào)計(jì)劃，來(lái)提升自身效益及公平性。對(duì)于大型航空公司，航權(quán)資源相對(duì)豐富，可通過(guò)適當(dāng)調(diào)整不同日期高價(jià)值時(shí)刻的申報(bào)量，從中選擇更優(yōu)的航班計(jì)劃。對(duì)于中小型航空公司，航權(quán)資源相對(duì)較少，高價(jià)值時(shí)刻競(jìng)爭(zhēng)力相對(duì)較弱，尤其是調(diào)整偏移時(shí)刻量較高的周五與請(qǐng)求量集中且公平性較低的周六，可適當(dāng)降低此類時(shí)刻請(qǐng)求量，側(cè)重于次高價(jià)值時(shí)刻，以提升自身效益與公平調(diào)度。

3） 本文分析證明過(guò)載分配概念下的最優(yōu)容忍度水平也值得航空公司考慮。本文初步測(cè)定相對(duì)最優(yōu)容忍度水平為2個(gè)時(shí)刻，即30 min。因此航空公司在制定計(jì)劃時(shí)，可初步基于請(qǐng)求時(shí)刻放寬2個(gè)時(shí)刻，調(diào)整對(duì)于時(shí)刻分配結(jié)果的評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)，從而在提高時(shí)刻利用率和提升分配可接受度上獲得實(shí)質(zhì)性益處，而非大幅度的效率犧牲。

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第一作者：呂佳璘（1998—），女，碩士研究生，研究方向?yàn)榻煌ㄟ\(yùn)輸規(guī)劃與管理。E-mail：linjial@nuaa.edu.cn。

通信作者：包丹文（1982—），男，副教授，博士，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)榻煌ㄟ\(yùn)輸規(guī)劃與管理，低空空域規(guī)劃。E-mail：baodanwen@nuaa.edu.cn。