具有邊界反饋的Euler-Bernoulli方程的一致穩定性

摘要：研究了一類Euler-Bernoulli方程的穩定性問題。在邊界反饋條件下，利用算子半群、乘子法和變量替換，建立了能量衰減不等式，證明了Euler-Bernoulli方程的解是一致穩定的，推廣了邊界反饋控制作用的情形。

關鍵詞：抽象系統；矩邊界控制；正則性；算子半群；乘子法

中圖分類號：O231.4 文獻標志碼：A 文章編號：0253-2395（2025）02-0373-08

0引言

穩定性是控制系統理論中的基本問題之一，旨在研究系統的狀態隨時間變化的規律，在工程技術領域有廣泛的應用，是一個具有實際意義的研究課題。在眾多的穩定性問題中，Euler-Bernoulli方程的穩定性問題尤為引人關注。Euler-Bernoulli 方程是描述彈性細長體（如梁、桿）橫向振動的經典模型，其穩定性直接關系到結構的安全性和可靠性。因此，對Euler-Bernoulli 方程的穩定性問題的研究引起了廣大學者的興趣［1-9］，產生了一些研究方法，如譜方法、乘子法等，所取得的成果不斷豐富和發展著偏微分方程中的穩定性理論。

在研究Euler-Bernoulli 方程的穩定性時，能量衰減的耗散機制是通過不同的反饋控制設計來實現的。Wei等［10］設計了一種非線性反饋控制，利用單調算子理論，證明了具有局部擾動的Euler-Bernoulli方程的指數穩定性。Han等［11］構造了適當的Lyapunov函數，將指數穩定性問題轉化為不等式方程的可解性，給出了具有內部時間延遲和邊界阻尼的Euler-Bernoulli方程的指數穩定區域。Bai［12］在混合邊界控制下，利用耗散反饋算子，建立了Euler-Bernoulli方程的能量衰減不等式。Fan等［13］設計了一種無限維擾動估計量，利用Riesz 基方法，證明了在初始條件滿足一定的平滑條件下，閉環系統是指數穩定的。Wang等［14］提出了魯棒邊界控制方法，利用算子半群理論和Lyapunov方法，給出了閉環系統的適定性和一致有界性。Deng等［15］在邊界擾動的條件下，應用半群方法和Lyapunov函數，研究了非線性Euler-Bernoulli梁方程的穩定性。但以上文獻沒有考慮矩邊界控制的問題。注意到，對Schr?dinger 方程穩定性的研究也提供了Euler-Bernoulli方程穩定性的研究思路，如Rebiai［16］在耗散反饋作用下，應用抽象系統、變量替換和乘子法，討論了Schr?dinger 方程的一致穩定性。

本文將文獻［16］的方法應用到Euler-Bernoulli 方程，在不對區域施加任何幾何條件的情況下，考慮邊界反饋僅通過矩起作用的情形，研究Euler-Bernoulli方程的一致穩定性，問題的關鍵是建立非齊次Schr?dinger 方程的一個正則性估計。