創(chuàng)真實情境 建數(shù)學(xué)模型 促學(xué)科融合

［摘要］文章以“設(shè)計遮陽篷”為例，設(shè)置問題鏈，創(chuàng)設(shè)真實情境，以解決實際問題為導(dǎo)向，抽象出三角函數(shù)數(shù)學(xué)模型；結(jié)合實際需求，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度審視、調(diào)整、驗證模型，從而促進(jìn)學(xué)科融合，提高學(xué)生的實踐能力.

［關(guān)鍵詞］真實情境；數(shù)學(xué)模型；學(xué)科融合

教學(xué)背景

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下稱“新課標(biāo)”） 指出：綜合與實踐是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要領(lǐng)域. 學(xué)生將在實際情境和真實問題中，運用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識與方法， 經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，感悟數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識之間、數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)和社會生活之間的聯(lián)系， 積累活動經(jīng)驗，感悟思想方法，形成和發(fā)展模型意識、創(chuàng)新意識，提高解決實際問題的能力， 形成和發(fā)展核心素養(yǎng)［1］ .“設(shè)計遮陽篷”是北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊教材的最后一個綜合與實踐課題， 通過“ 做一做”“議一議”“想一想”等環(huán)節(jié)有效提升學(xué)生的初中數(shù)學(xué)知識認(rèn)知能力，幫助學(xué)生完善數(shù)學(xué)知識體系.

學(xué)情分析

“綜合與實踐”課題具有問題性、綜合性、實踐性、過程性、現(xiàn)實性等特征，教學(xué)活動的設(shè)計與實施難度較大，因此課前的學(xué)情調(diào)研尤其重要.基礎(chǔ)知識方面，學(xué)生已經(jīng)掌握了直角三角形邊、角關(guān)系的相關(guān)知識，包括測量物體的高度、三角函數(shù)的有關(guān)計算等；生活技能方面，九年級作為義務(wù)教育階段的最高年段，學(xué)生收集、整合資料，以及總結(jié)反思能力都處于較高水平，因此更適宜開展“綜合與實踐”課題的教學(xué)；心理認(rèn)知方面，新時代的學(xué)生對學(xué)習(xí)的要求不僅限于課本和課堂，他們渴望真實的、完整的、有意義的學(xué)習(xí)體驗，加上此年齡段的學(xué)生自我認(rèn)同感較強，因此迫切地想將所學(xué)知識應(yīng)用于生活實際，在真實情境中探尋解決實際問題的方案；時代要求方面，數(shù)字時代的到來促進(jìn)了不同學(xué)科之間的交叉與融合，本課題的實施不僅需要數(shù)學(xué)知識，還需要物理、地理、美術(shù)等學(xué)科相關(guān)知識.學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實問題的過程中，應(yīng)注意提升觀察、判斷、理解、思考、表達(dá)、反思等能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教學(xué)目標(biāo)

1.走上街頭，觀察生活中的遮陽篷并收集相關(guān)圖片，將收集到的遮陽篷抽象成數(shù)學(xué)模型.

2.在利用三角函數(shù)解決數(shù)學(xué)問題的過程中，體會其應(yīng)用價值，增強數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

3. 親歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，培養(yǎng)模型觀念，激發(fā)創(chuàng)新意識，同時從多學(xué)科、多角度出發(fā)分析問題，形成多元、縝密的思考方式，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教學(xué)過程

1. 實地走訪拍攝，發(fā)現(xiàn)“煙火氣”的遮陽篷

課前，要求學(xué)生以小組為單位，收集社會生活中常見的遮陽篷照片.每組派一名代表匯總照片并制成PPT進(jìn)行展示分享，讓學(xué)生初步感受數(shù)學(xué)源于生活.課中，要求學(xué)生總結(jié)不同類型的遮陽篷的異同，并思考這些異同背后的原因.

教學(xué)說明 收集遮陽篷照片是本節(jié)課的必要環(huán)節(jié).學(xué)生在利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題時，需要具備發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的能力.收集遮陽篷照片后，學(xué)生通過對比發(fā)現(xiàn)遮陽篷的異同，初步感知設(shè)計遮陽篷需要考慮場景、成本、形狀等因素.拍攝并分享照片，可以彌補數(shù)學(xué)課堂中美育環(huán)節(jié)的缺失.

2. 創(chuàng)設(shè)真實情境，感受“數(shù)學(xué)味”的遮陽篷

教師引導(dǎo)學(xué)生從最簡易的平面形遮陽篷入手，感受其中蘊含的數(shù)學(xué)知識，加深對遮陽篷相關(guān)問題的理解.

問題1 如圖1，小明想在一個小亭子的墻上安裝一個平面形遮陽篷.經(jīng)測量，安裝遮陽篷的墻高3 m，安裝后遮陽篷與水平面平行，展開后可使正午時刻房前能有2m寬的陰涼處供人納涼.請計算此遮陽篷展開后的長度.（正午時刻太陽光與水平地面的夾角為63.4°，參考數(shù)據(jù)：sin63.4° ≈0.89， cos63.4° ≈ 0.45，tan63.4°≈2.00）

問題2 請同學(xué)們把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，并構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.

教學(xué)說明 問題1 中的遮陽篷形狀、安裝方式比較簡單，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生獨立進(jìn)行抽象作圖.在提升學(xué)生的抽象能力的同時，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng).學(xué)生之間通過交流各自的構(gòu)圖想法，發(fā)現(xiàn)存在兩種不同的模型（見圖2、圖3），從而引發(fā)了認(rèn)知沖突.

問題3 小組討論、分析產(chǎn)生兩種模型的原因，并作出最優(yōu)選擇.

教學(xué)說明 引導(dǎo)學(xué)生從不同學(xué)科角度分析問題，融合學(xué)科知識、學(xué)習(xí)經(jīng)驗和社會價值來綜合分析和處理問題.具體而言，從數(shù)學(xué)學(xué)科角度來看，角的兩邊為射線，兩條直線相交會形成對頂角和鄰補角；從地理學(xué)科角度來看，南北半球的日照角度有差異；從社會價值來看，圖3的安裝方式更符合社會需求.

問題4 請同學(xué)們在圖3的基礎(chǔ)上標(biāo)注條件并完成計算.

教學(xué)說明 通過此次探究，學(xué)生不僅理解了遮陽篷中蘊含的數(shù)學(xué)知識，還掌握了設(shè)計所需要的關(guān)鍵數(shù)據(jù)——墻高、影長以及光線與地面的夾角.

3. 立足社會需求，設(shè)計“實用型”遮陽篷

問題5 生活中，遮陽篷不僅可以遮陽，還可以避雨.不過，當(dāng)遮陽篷垂直于墻面安裝時，容易積水不易排水.你們認(rèn)為可以從哪些方面進(jìn)行改進(jìn)？

通過課前調(diào)研，我們了解到：一部分學(xué)生認(rèn)為可以考慮使用電動遮陽篷，但成本會提高，且可延展的長度需要控制合理；另一部分學(xué)生則指出傾斜遮陽篷可以排水，但傾斜角度不能太大；還有學(xué)生提出可以選擇輕便、吸水、易蒸發(fā)的化學(xué)材料來制作遮陽篷.

教學(xué)說明 學(xué)生已經(jīng)了解了設(shè)計遮陽篷所需要的數(shù)據(jù)，但數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用還需考慮實際生活中的多種因素，如安全、成本、環(huán)保、審美、地域等.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將不同學(xué)科與不同領(lǐng)域的知識、思想、經(jīng)驗相融合.

問題6 采用第二種方案（設(shè)計傾斜遮陽篷） 進(jìn)行設(shè)計，具體條件是遮陽篷與水平面的夾角為10°，其余數(shù)據(jù)與問題1相同.請計算此時滿足條件的遮陽篷長度. （參考數(shù)據(jù)：sin10°≈0.17，cos10° ≈0.98，tan10°≈ 0.18，tan63.4°≈ 2.00）

在研究了問題1的基礎(chǔ)上，學(xué)生快速地作出了示意圖.

還有一部分學(xué)生重新作圖，如圖6，過點F 作AB 的平行線，分別交AG，BC于點G，H，易知∠G = ∠H =90°，∠FAG = 10°，∠FCH = 63.4°. 設(shè)AF = x，則GF = 0.17x，AG=0.98x，所以HF=3-0.17x，CH = AG-BC =0.98x - 2.根據(jù)三角函數(shù)知識建立方程3-0.17x=2×（0.98x -2） ， 解得x =700/213.

另一部分學(xué)生在圖4的基礎(chǔ)上作出圖7，并過F作FG⊥AD于G，利用AD=3.5求解△ADF，相對來說計算量較小.

教學(xué)說明 此問題的設(shè)置旨在解決并采用第二種方案，原因有兩點：一是第二種方案計算難度較大，可以鍛煉學(xué)生的運算能力；引導(dǎo)學(xué)生利用問題3的結(jié)論解決后續(xù)問題，以鍛煉他們的遷移能力.二是第一種方案中電動遮陽篷延展范圍的設(shè)置涉及復(fù)雜物理知識，課堂中時間有限難以詳解，可以鼓勵學(xué)生在課后查閱相關(guān)資料或咨詢物理教師再進(jìn)行探究.

問題7 據(jù)研究，若遮陽篷外端到地面的距離小于2.3 m，則人進(jìn)出時會覺得沒有安全感，往往會低

下頭或用手護(hù)著頭.請通過計算，判斷此遮陽篷是否會讓人在進(jìn)出時具有安全感.

教學(xué)說明 學(xué)生在圖6 的基礎(chǔ)上計算HF 的長度，便能快速得出答案.此問題的設(shè)置旨在打造充滿人情味的數(shù)學(xué)課，既保有思考熱度，又形成春風(fēng)化雨般的溫馨氛圍.

4. 建立數(shù)學(xué)模型，編寫“程序化”遮陽篷

人工智能時代，社會生產(chǎn)方式發(fā)生了翻天覆地的變化.在設(shè)計遮陽篷并投入生產(chǎn)時，為了節(jié)省成本和時間，我們將具體問題一般化，編寫了符合生產(chǎn)需求的程序.

問題8 如圖8，某地居民想在窗戶上安裝一個直角形遮陽篷.

（1） 在炎熱的夏天，為了保持室內(nèi)涼爽，應(yīng)如何設(shè)計直角形遮陽篷，使其恰好在正午時分能把太陽光全部擋在室外？（設(shè)窗戶高為h，夏天正午時分太陽光與地面的夾角為β）

（2） 在寒冷的冬天，為了保持室內(nèi)溫暖，應(yīng)如何設(shè)計直角形遮陽篷，使其恰好在正午時分能讓太陽光全部直射進(jìn)室內(nèi)？（設(shè)窗戶高為h，冬天正午時分太陽光與地面的夾角為α）

如圖9 和圖10，抽象出幾何圖形，AB為窗戶，折線A—C—D為直角形遮陽篷，∠ACD=90°. 如圖9，夏天正午時分直角形遮陽篷恰好把太陽光全部擋在室外，此時光線正好經(jīng)過B，D兩處，∠CDB= β.根據(jù)示意圖列出方程tanβ =h+AC/CD，該方程表示直角形遮陽篷的兩邊AC和CD需要滿足的等量關(guān)系. 如圖10，冬天正午時分直角形遮陽篷要使太陽光全部直射進(jìn)室內(nèi)，此時光線應(yīng)恰好經(jīng)過A，D兩點，∠CDA =α.根據(jù)示意圖列出方程tanα=AC/CD，該方程表示直角形遮陽篷的兩邊AC和CD需滿足的等量關(guān)系.

問題9 若居民想在窗戶上安裝一個直角形遮陽篷，使其既能在夏天正午時分把炎熱的太陽光全部擋在室外，又能在冬天正午時分讓溫暖的太陽光全部直射進(jìn)室內(nèi)，該如何設(shè)計這個遮陽篷？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)，由問題8 得到的兩個方程實質(zhì)上是關(guān)于AC和CD的不定方程.解決問題9只需聯(lián)立兩個方程即可.

教學(xué)說明 在探究過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目條件，準(zhǔn)確作圖，并將問題8分設(shè)的兩個問題組合成問題9.這實質(zhì)上是將特殊問題一般化的過程，旨在培養(yǎng)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型來思考問題的習(xí)慣，讓學(xué)生親身體驗數(shù)學(xué)模型在解決問題中的優(yōu)勢.

5. 獲取真實數(shù)據(jù)，輸出“程序化”遮陽篷

設(shè)計的遮陽篷即將投入生產(chǎn)并

在重慶地區(qū)銷售，需要知道相應(yīng)的α，β值，除了查閱資料，還可以通過測量獲得數(shù)據(jù).

問題10 應(yīng)選擇哪一天進(jìn)行測量？應(yīng)選擇在一天中的什么時刻進(jìn)行測量？

不同地區(qū)選擇的日期不同.北回歸線以北地區(qū)（北極點除外），正午日影全年朝北，冬至日日影最長，夏至日日影最短；南回歸線以南地區(qū)（南極點除外），正午日影全年朝南，夏至日日影最長，冬至日日影最短；南北回歸線之間的地區(qū)，正午日影在夏至日朝南、冬至日朝北，當(dāng)太陽直射該地區(qū)時日影最短（等于0）；正午太陽高度最高，與地面夾角最大，日影最短，此時測量可以得到較為準(zhǔn)確的角度極值.

結(jié)合地理知識可知，在重慶地區(qū)銷售遮陽篷需要測量夏至日和冬至日正午時刻的日照數(shù)據(jù).

問題11 在實際操作中如何獲取需要的數(shù)據(jù)？

除查閱資料外，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生實際操作來求α，β的值.學(xué)生根據(jù)北師大版數(shù)學(xué)教材九年級下冊第一章第六節(jié)“利用三角函數(shù)測高”聯(lián)想到“立竿見影”的方式：如圖11，AB為建筑物，BC為正午時刻建筑物的影長，∠ACB為所需數(shù)據(jù)，利用tan∠ACB=AB/BC和反三角函數(shù)可求得∠ACB的值.在實際操作中，學(xué)生測量同學(xué)身高和影長即可.

教學(xué)說明 本題引導(dǎo)學(xué)生小組合作獲取模型分析需要的數(shù)據(jù).此題對學(xué)生地理學(xué)科知識的要求較高，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生相互討論并將結(jié)果應(yīng)用于實際生活.

問題12 直角形遮陽篷設(shè)計方案初步成形，除涉及數(shù)學(xué)、物理、地理知識外，還可從哪些方面進(jìn)行改進(jìn)？

學(xué)生從成本、美觀和材料等方面進(jìn)行了討論，并計劃課后咨詢化學(xué)教師和美術(shù)教師.課末，教師展示了一些特殊的遮陽篷圖片供學(xué)生欣賞.

教學(xué)反思

1.創(chuàng)設(shè)真實情境，聚焦深度學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境是為了特定教學(xué)目標(biāo)設(shè)計的，包含學(xué)習(xí)元素和背景信息的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)、活動或問題場景. 設(shè)置的情境應(yīng)是學(xué)生未來學(xué)習(xí)和生活中可能遇到的，能引起聯(lián)想，啟發(fā)思考，傳授方法. 本節(jié)課課前，要求學(xué)生走進(jìn)社會，用鏡頭捕捉生活中的遮陽篷，確保所有學(xué)生都對遮陽篷有基本了解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和參與動機.

教師創(chuàng)設(shè)的問題情境應(yīng)貼近真實生活，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.本節(jié)課通過不斷對遮陽篷的設(shè)計提出新的要求，展現(xiàn)世界的復(fù)雜性和多樣性，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，實現(xiàn)有效學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.建立模型觀念，培養(yǎng)科學(xué)精神

新課標(biāo)指出：會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界.而用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界，離不開數(shù)學(xué)建模.模型觀念是指對運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題有清晰的認(rèn)識.本節(jié)課以設(shè)計遮陽篷為背景， 層層遞進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“問題情境—簡化分析—建立模型（找數(shù)量關(guān)系） —求解驗證—優(yōu)化模型”的過程，深化對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解，掌握運用數(shù)學(xué)知識解決問題的思路與方法，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.

本節(jié)課在建立數(shù)學(xué)模型后，通過設(shè)置問題鏈引導(dǎo)學(xué)生解釋數(shù)學(xué)結(jié)論的現(xiàn)實意義.多數(shù)情況下，模型中的參數(shù)或重要指標(biāo)都與問題背景有關(guān). 例如，設(shè)計遮陽篷需要考慮排水、日照以及地理位置等因素.引導(dǎo)學(xué)生分析模型與現(xiàn)實是否吻合，以便調(diào)整模型至合理狀態(tài). 在此過程中，培養(yǎng)學(xué)生“重事實、講道理”的科學(xué)精神.

3.積累活動經(jīng)驗，促進(jìn)學(xué)科融合

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，并在社會科學(xué)中發(fā)揮著重要作用.數(shù)學(xué)融合其他學(xué)科，能夠突破學(xué)科界限，進(jìn)行多視角的思考和研究，利用多學(xué)科知識解決現(xiàn)實問題.本節(jié)課以解決遮陽篷設(shè)計過程中的實際問題為切入口，通過設(shè)置問題鏈，整合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識和思想方法.這不僅讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與物理、地理等學(xué)科的融合價值，而且引導(dǎo)學(xué)生從其他學(xué)科中汲取知識營養(yǎng)，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和綜合素養(yǎng).

本節(jié)課雖然采用了學(xué)科融合的方式，但數(shù)學(xué)仍然處于主導(dǎo)地位，目的是讓學(xué)生在更好地掌握數(shù)學(xué)知識的同時發(fā)散思維，豐富知識體系，拓寬視野.課末，結(jié)合地理知識完成了跨學(xué)科實踐活動，提升了學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識. 在實際教學(xué)中，教師還可以加入遮陽篷圖案設(shè)計，實現(xiàn)與美術(shù)等學(xué)科的融合，或者鼓勵學(xué)生調(diào)查不同人群對遮陽篷的需求，引導(dǎo)學(xué)生從更全面的角度思考問題.