捕捉生長(zhǎng)契機(jī) 落實(shí)核心素養(yǎng)

［摘要］文章以“數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”為例，在分析問(wèn)題時(shí)，抓住學(xué)生的生長(zhǎng)契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生多角度思考并采用分類討論的方法解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，落實(shí)對(duì)學(xué)生抽象能力和模型觀念等核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］生長(zhǎng)契機(jī)；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

背景分析，思辨之始

“數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”橫跨代數(shù)和幾何兩大數(shù)學(xué)領(lǐng)域，融合了方程模型和數(shù)形結(jié)合的思想.這類問(wèn)題要求學(xué)生從動(dòng)態(tài)的視角和聯(lián)系的觀點(diǎn)出發(fā)，分析、掌握動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的抽象性與多變性容易使部分學(xué)生在解題時(shí)望而生畏，于是這類問(wèn)題便成為他們學(xué)習(xí)路上的攔路虎，導(dǎo)致方程模型、抽象能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想難以形成［1］.

設(shè)計(jì)施教，思想之旅

（一） 設(shè)計(jì)框架

筆者以諸暨市2024學(xué)年上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試的一道考題為切入點(diǎn)，進(jìn)行變式教學(xué)，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類討論、多角度思辨以及類比遷移，落實(shí)對(duì)其抽象能力和模型觀念的培養(yǎng).教學(xué)設(shè)計(jì)框架如圖1所示.

（二） 教學(xué)實(shí)施

1. 考題拆解，基礎(chǔ)顯現(xiàn)

預(yù)習(xí)任務(wù)：

如圖2，點(diǎn)A，B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為-2與4，若數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)之間存在點(diǎn)C，使得AC=2BC.

（1） 點(diǎn)C所表示的數(shù)為_(kāi)_____ .

（2） 動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t 秒，求：①當(dāng)t 為何值時(shí)，QC = 3.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)增加基礎(chǔ)題型，對(duì)考題進(jìn)行拆解，引導(dǎo)學(xué)生從線段和點(diǎn)這兩個(gè)不同的角度用代數(shù)式刻畫研究對(duì)象，既列出方程解決問(wèn)題，又復(fù)習(xí)回顧知識(shí)點(diǎn)，起到“以題知理”的效果，同時(shí)為后續(xù)分類討論奠定基礎(chǔ).

學(xué)生反饋 不難求得點(diǎn)C 所表示的數(shù)為2.對(duì)于第（2） 題第①問(wèn)，學(xué)生均能列出方程，且有兩種解法.

生1 （線段和差角度） 根據(jù)動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可知QB=t，則QC=QB+ BC=t + 2.所以根據(jù)QC =3，可列方程t +2=3，解得t = 1.

生2 （兩點(diǎn)間距離角度） 根據(jù)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可知，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t 秒時(shí)，點(diǎn)Q 表示的數(shù)為4 + t，不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q永遠(yuǎn)都在點(diǎn)C 的右側(cè)，所以可得QC =（4 + t）-2 = t + 2，同樣可列方程t +2=3，解得t = 1.

教學(xué)反思 雖然兩種解法均有學(xué)生作答，但基礎(chǔ)較差的學(xué)生未想到用方程模型解題.因此，可對(duì)預(yù)習(xí)題目進(jìn)行改進(jìn)，專門為基礎(chǔ)較差的學(xué)生增加特別提示：用包含時(shí)間t 的代數(shù)式表示QC的長(zhǎng)度和點(diǎn)Q的位置關(guān)系.

2. 契機(jī)捕捉，素養(yǎng)生成

如圖3，在預(yù)習(xí)題中增加動(dòng)點(diǎn)P：從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng).求：②當(dāng)t 為何值時(shí)，PC = 3；

③當(dāng)QC =2PC 時(shí)，求t 的值.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)變式，逐步完善，直至期末考題呈現(xiàn).在課堂中采用動(dòng)畫演示，引導(dǎo)學(xué)生分析題意，從中抓住生長(zhǎng)契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生分類討論.

學(xué)生反饋 對(duì)于第②問(wèn)，可從動(dòng)畫中直接觀察到點(diǎn)P 隨著時(shí)間發(fā)生變化，并且可從兩點(diǎn)間距離的角度進(jìn)行刻畫，具體反饋如下：

生 根據(jù)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可知，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t 秒時(shí)，點(diǎn)P表示的數(shù)為-2+3t. 而PC有兩種情況：點(diǎn)C的坐標(biāo)減去點(diǎn)P的坐標(biāo)和點(diǎn)P 的坐標(biāo)減去點(diǎn)C 的坐標(biāo).

此時(shí)，教師應(yīng)抓住生長(zhǎng)契機(jī)追問(wèn)：為何有兩種情況？

生 有時(shí)候點(diǎn)P在點(diǎn)C的左邊，有時(shí)候點(diǎn)P在點(diǎn)C的右邊.

師 有時(shí)候…… 有時(shí)候…… ，能否用代數(shù)式明確有時(shí)候是什么時(shí)候？并求出t 的值.

實(shí)踐表明，從兩點(diǎn)間距離的角度解答，思路較為煩瑣；若改用線段和差的角度，從繪圖中直接分析也可得到PC 長(zhǎng)度的表達(dá)式. 此時(shí)，抓住兩個(gè)角度作比較這一生長(zhǎng)契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生辨析兩個(gè)角度的區(qū)別，如表1.

教學(xué)反思 通過(guò)變式，抓住學(xué)生對(duì)兩個(gè)角度解答的難易程度不同這一感受的契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合研究對(duì)象和所需要素辨析兩者的適用情況，達(dá)到“以題知理”的目的.

變式2 動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇時(shí)立即改變方向，向左運(yùn)動(dòng)，速度不變；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求當(dāng)t 為何值時(shí)，QC=2PC.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)對(duì)原題進(jìn)行再次變式，增加臨界點(diǎn)的分類討論.同時(shí)，利用信息技術(shù)進(jìn)行演示，引導(dǎo)學(xué)生畫圖并分析相應(yīng)情況，強(qiáng)化正在形成的分類討論思想.

教學(xué)反思 通過(guò)例題和變式1的動(dòng)態(tài)演示輔助解題，大多數(shù)學(xué)生都能在變式2中自主地進(jìn)行分類討論并作圖分析.因此，可以在學(xué)生解答完題目并點(diǎn)評(píng)之后，展示變式2的演示，以此進(jìn)行驗(yàn)證并增強(qiáng)學(xué)生的成就感.變式3 動(dòng)點(diǎn)P 從點(diǎn)A 出發(fā)，以

每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求：

①當(dāng)t 為何值時(shí)，點(diǎn)C 為PQ 的中點(diǎn)；

②當(dāng)t 為何值時(shí)，C，P，Q中任意一點(diǎn)是其他兩點(diǎn)的中點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)對(duì)所求條件進(jìn)行變式，發(fā)現(xiàn)此時(shí)用點(diǎn)的位置來(lái)解答較為簡(jiǎn)便.引導(dǎo)學(xué)生辨析應(yīng)當(dāng)根據(jù)所求的對(duì)象來(lái)選取解答角度，從而完成“角度選取”這一自然生長(zhǎng).

教學(xué)反思 所求條件變動(dòng)過(guò)大，導(dǎo)致基礎(chǔ)較差的學(xué)生未能聯(lián)想到中點(diǎn)公式.因此，可以在第①問(wèn)前增加問(wèn)題，降低難度，例如：當(dāng)t = 2時(shí)，點(diǎn)C為PQ的中點(diǎn)，求點(diǎn)C表示的數(shù).

3. 學(xué)習(xí)類比，遷移應(yīng)用

如圖8-1，已知點(diǎn)O 在直線AB上，射線OD，OC 分別在直線AB 的上、下兩側(cè)且∠COD = 80°，OE 始終是∠AOD的平分線.

（1） 若∠AOE = 10°， 求∠COE的度數(shù)；

（2） 如圖8-2，設(shè)∠AOD = n°，已知∠DOE =2∠AOC，求n 的值；

（3） 如圖8-3，在滿足（2）的條件下，射線OP從OB出發(fā)繞點(diǎn)O以每秒4°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線OQ 從OE出發(fā)繞點(diǎn)O 以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線OP，OQ同時(shí)開(kāi)始旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t 秒（0 ≤t≤45） . 當(dāng)∠QOD和∠EOP互余時(shí)，求旋轉(zhuǎn)時(shí)間t 的值.

設(shè)計(jì)意圖 從數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)，到角的動(dòng)射線，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行“類比學(xué)習(xí)”的自然生長(zhǎng)，強(qiáng)化分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想，以及方程的模型觀念.

教學(xué)反思 此題作為課后練習(xí)，已有絕大部分學(xué)生進(jìn)行了分類討論、作圖分析并列方程解決問(wèn)題.由此可見(jiàn)，學(xué)生已逐步學(xué)會(huì)透過(guò)題目認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而自然發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).

沉淀啟示，思索之燈

（一） 語(yǔ)言之芽，契機(jī)之土

在教學(xué)過(guò)程中，教師需時(shí)時(shí)處處留意學(xué)生的日常用語(yǔ)，尋找那些根植于日常生活的教學(xué)契機(jī)，從而有效地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類討論和數(shù)形結(jié)合的深入思考.這不僅促進(jìn)了學(xué)生的自然成長(zhǎng)，還巧妙地種下了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的種子，讓它們?cè)趯W(xué)生的腦海里生根發(fā)芽、茁壯成長(zhǎng).

（二） 科技助航，理解之橋

面對(duì)抽象難懂的數(shù)學(xué)難題，信息技術(shù)的運(yùn)用猶如架設(shè)在理解河流之上的橋梁，能使學(xué)生輕松跨越理解的鴻溝.通過(guò)動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生能夠在自主描繪的過(guò)程中，逐步深入到問(wèn)題的核心，從而在深刻理解的基礎(chǔ)上解析問(wèn)題.因此，除了在課堂內(nèi)應(yīng)用信息技術(shù)，課后教師還應(yīng)盡可能地安排一系列同類題目的練習(xí)，以此鞏固和深化學(xué)生通過(guò)技術(shù)獲得的理解，讓技術(shù)在學(xué)生的心中留下深刻的印記.

（三） 多角探索，思維之翼

在教學(xué)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度審視和思考問(wèn)題，是拓展其思維和視野的關(guān)鍵.教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生多角度地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探索和思考，這樣的教學(xué)策略，不僅能夠增強(qiáng)學(xué)生的問(wèn)題分析和解決能力，而且能夠?yàn)樗麄兊乃季S插上翱翔的翅膀，讓他們?cè)跀?shù)學(xué)的天空自由地飛翔，探索未知的領(lǐng)域，從而在多樣化的思考中找到屬于自己的路徑和答案.