基本不等式求最值的題型總結與答題方法

不等式求最值問題是數學學習的重難點，不僅考驗我們對不等式理論的理解，還考驗我們的邏輯思維和創新能力。在解答不等式最值問題時，要想在復雜的條件下精準找出最優解，既要具備扎實的數學基礎，又要具備靈活的解題技巧。為此，掌握高效的解題方法至關重要。

一、基本不等式概述

不等式是描述兩個量之間關系的重要工具。基本不等式，即基本的數學不等式，不僅是中學數學課程的核心內容，也是數學分析和優化問題的基石。它們以其簡潔而深邃的性質，揭示了量之間的比較和約束，為數學推理和應用提供了有力的支持。常見的基本不等式結論有：

1.如果，那么（當且僅當a=b時取“=”）；

2.如果agt;0，bgt;0則（當且僅當a=b時取“=”）；

推論（agt;0，bgt;0）；；（agt;0，bgt;0）。

二、基本不等式求最值的常見題型總結及答題方法

（一）直接法求最值

直接法求最值是處理不等式問題最直觀的一種方法，通常通過直接代入或觀察來尋找最優解，適用于不等式形式簡單、結構明確的問題。一般步驟如下。

1.明確問題：仔細閱讀題目，理解不等式及其約束條件。

2.代入計算：將可能的變量值代入不等式中，進行計算和比較。

3.驗證結果：檢查計算結果是否滿足所有條件，并確認其為最優解。

例1（2023四川綿陽）若xgt;0，ygt;0，x+2y=5，則的最小值為（" " "）

A." " " " " " B." " " " " " C." " " nbsp; " " D.

解析：因為xgt;0，ygt;0，x+2y=5。所以，所以xy≤，

當且僅當時等號成立，所以，即的最小值為，故選：A。

解題技巧：通過代入已知條件或利用不等式的基本性質，能夠快速解答。但是，注意在定義域有界時，要檢查邊界值是否滿足條件。

（二）配湊法求最值

配湊法是一種通過巧妙的重組或變換，將復雜的不等式問題簡化為已知形式，以便于求解最值的方法。該方法通常涉及將不等式分解成易處理的部分或將變量進行適當的配合，從而簡化計算過程。一般步驟如下。

1.觀察和重組：分析不等式的結構，嘗試將其拆分或重組為更簡單的形式。

2.應用已知公式：根據不等式的形式，選擇合適的公式或不等式進行簡化。

3.配對轉化：通過對變量進行配對，將其轉化為標準不等式形式，使問題更易處理。

4.驗證最值：通過求導或代入邊界值等方法驗證最值是否滿足條件，確保所求解確為最優解。

例2" "已知xgt;-1，則函數的最小值是（" " ）

解析：因為xgt;-1，

所以=≥

當且僅當時等號成立，即x=1。故：函數的最小值為3。

解題技巧：對不等式中的變量或項進行合理配對，將其轉化為已知形式，通過對稱配對或組合，將問題簡化為標準不等式，從而更容易求解最值。此外，解決配湊后的不等式，并通過代入特殊值、求導等方法，確保求得的最值符合實際條件，確認其為最優解。

（三）與基本不等式有關的參數問題

在涉及基本不等式的參數問題中，通常會出現一個或多個參數需要優化，使不等式滿足最優條件。此類問題的目標是找到滿足特定條件下參數的最優值。一般步驟如下。

1.分析問題：明確問題中涉及的基本不等式及其參數，理解參數如何影響不等式的形式和結果。

2.設定目標：確定需要優化的目標，如使某個表達式最大化或最小化，或者使不等式成立。

3.應用不等式：選擇合適的基本不等式，將參數分離，構造一個關于參數的不等式或方程。

4.求解最值：通過求解構造出的不等式或方程來找出最優的參數值，可以使用導數法、邊界分析等技巧。

5.驗證結果：確保求出的參數值能夠滿足所有原始條件，并符合實際問題中的要求。

例4已知agt;0，bgt;0，滿足，若不等式m2-8mlt;a+b恒成立，則實數m的取值范圍（" "）

解析：因為不等式m2-8mlt;a+b恒成立，所以m2-8mlt;（a+b）min

由，agt;0，bgt;0，可得

當且僅當a=6，b=3時等號成立，所以m2-8mlt;（a+b）min=9

所以m2-8mlt;9，解得-1lt;mlt;9。故：-1lt;mlt;9

解題技巧：在參數問題中，清楚需要優化的目標和涉及的不等式，根據問題的性質選擇適當的基本不等式來簡化問題，將參數分離不等式，利用不等式性質找出最優值，最后檢查求解結果是否符合所有原始條件，并對極端情況進行驗證。