探尋算式規律?感受數學之美

【摘 要】新課標在總目標中增加了“欣賞數學美”的要求，需要學生從美學和文化的角度了解數學的價值，感受數學美。“用計算器探索規律”一課可以讓學生在探索大量有趣算式的過程中，體會到規律之真與規律之妙，更直觀地感受到數學之美。

【關鍵詞】 數學之美 計算器計算 探索規律

在數的運算中存在著大量有趣的規律，通常這些規律都蘊藏在較為復雜的運算之中。為了降低計算難度，讓學生能夠更好地聚焦對規律本身的研究，蘇教版數學四年級下冊專門安排了“用計算器探索規律”一課。本課時的教學，不僅要通過探索規律的過程，發展學生的合情推理能力，更要注重激發學生的探究興趣，學會發現和欣賞數學規律、數學之美。

一、合情推理，感受規律之真

數學家喬治·波利亞把歸納推理、類比推理等稱為合情推理。它是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納、類比等推斷某些結果，是一種合乎情理的推理。合情推理通常都帶有個性化的思考，容易產生思維的火花。因此，發展學生的合情推理能力有利于學生創新思維的培養。通過解讀教材，筆者認為，本節課的一個重要任務就是讓學生在經歷探索規律的過程中發展合情推理能力。

【教學實錄】

出示教材中例3：

26640÷111=

26640÷222=

26640÷333=

師：觀察這三道除法算式，你們有什么發現？猜猜商可能會怎樣變化？請同學們用計算器算出得數。

學生口答結果。

教師引導學生感知：被除數不變，除數越大，商反而越小。

師：請同學們比較這三道題，看看被除數、除數之間有什么聯系，商又是怎樣變化的。自己先觀察，然后小組內交流你的發現。

小組交流后，教師組織全班交流。

生1：第二題和第一題相比，被除數是相同的，除數是第一題的除數乘2，而商是第一題的商除以2。

生2：第三題和第一題相比，被除數也是相同的，除數是第一題的除數乘3，而商是第一題的商除以3。

師：通過觀察、比較，我們發現，在除法算式中，被除數不變，除數乘幾，商就等于原來的商除以幾。

師：那根據我們發現的規律，你能直接寫出下面幾題的得數嗎？

26640÷444=" " " " " 26640÷555=

26640÷666=" " " " " 26640÷888=

師：說一說你是怎樣根據規律寫出商的？

生3：這幾道題目和第一題相比，被除數也沒有變，所以根據剛剛發現的規律，只要看它們的除數乘幾，把第一題的商除以幾就可以了。

師：很好，那么我們的答案到底對不對呢，請大家用計算器驗算一下。

學生驗證后發現規律是正確的。

師：回顧剛才的研究過程，說一說是怎樣探索出規律的。

……

例1的教學遵循教材的編排思路，即“計算器計算—提出問題—描述規律—類比求商—計算器驗證”，這樣的教學讓學生經歷了探索規律的完整過程。在此過程中，學生通過觀察、比較、思考和交流等活動，概括歸納出幾個相似的除法算式中存在的規律，并通過類比嘗試應用規律，最后通過計算器驗算證明規律的正確性。學生通過這一系列積極的探索規律活動，積累了探索規律的方法經驗，發展了合情推理能力，培養了探索求真的意識，獲得了愉悅的成功體驗，為接下來的學習奠定了基礎。

學習了例3之后，學生獲得了規律探索的一般方法和必要經驗。因此，在 “練一練”時，教師可以直接放手讓學生自主運用已有的學習經驗，讓學生再次經歷探索和發現規律的過程。例1和“練一練”選取的數據都較為特殊，尤其是“練一練”當中所有的被除數都是“111111、222222、333333……”這樣由一個數字組成的數，因此能夠給學生以較強的視覺沖擊。當學生通過探索后發現這么特別的算式里竟然還有這樣的規律，便會被這些真實存在于運算中的奇妙的規律吸引。

二、追根溯源，感受探索之妙

如果說例3及相應練習中蘊藏的數學規律是運算中的一種客觀存在，那么教材“練習七”第6題蘊藏的規律則更多地體現了人為構造的特點，引導學生探究規律之源，更顯數學本身以及數學探索的奇妙。

【教學實錄】

出示“練習七”第6題：

師：利用方格里的數，我們可以按照一定的順序寫出不同的算式，請大家先觀察算式，說一說每組算式各有什么特點。

生1：我發現每組兩道算式里的數都是相同的，但順序是相反的。

生2：我發現每道算式里的數也是有一定規律的，是按照表格里數的排列順序寫的。比如，第一組第一道算式就是表格里的數橫著看，從左往右兩個兩個數分別是49，35，81；第二道算式也是橫著看，不過要從右往左數，分別是18，53，94。

……

師：很好，大家觀察得都非常仔細，看出了算式的特點。現在請大家計算每道算式的和，有什么發現？

生：我發現三個兩位數相加的和都是165，三個三位數相加的和都是1665。

師：你們也都有同樣的發現嗎？那你們還能像這樣再分別寫一組三個兩位數和三個三位數相加的算式嗎？

學生獨立思考并寫出算式。

生1：92+57+16=165，438+951+276=1665。

生2：43+95+27=165，834+159+672=1665。

師：有沒有人得到的結果和剛剛的發現是不一樣的？（沒有）那么請大家再聯系表格中數的排列特點，想想為什么會有這樣的規律。（啟發：可以試著把表格里的數像這樣加一加，看看有沒有新發現）

學生思考后小組內交流討論。

生1：我們發現表格里數的排列是有規律的，不管是橫著看還是豎著看，三個數加起來的和都等于15。

生2：斜著看每組三個數加起來的和也是15。

生3：我知道為什么了，其實我們可以想如果把三個加數列豎式計算，三個個位數加起來是15個一，也就是15，三個十位數加起來是15個十，也就是150，三個百位數加起來是15個百，也就是1500。三個兩位數相加，和就是150+15=165，三個三位數相加，和就是1500+150+15=1665。

師：大家也明白了嗎？現在我們不僅發現了規律，還知道了其中的道理，真了不起！同學們，其實這個神奇的格子取材于我國古代神話傳說中的“洛書”。

教師介紹“洛書”的有關知識：“河圖洛書”，中華文明的源頭，被譽為“宇宙魔方”，其中蘊含著很多奇妙的規律。

這道練習題將“洛書”圖案中蘊含的三階幻方與加法算式聯系起來，其中的規律神奇而美妙，非常適合學生去探索，但難度較大，教學時須引導學生逐步理解和發現。首先是觀察算式的特點，明確加數都是按照一定的順序排列的，然后計算結果、發現規律，再通過舉例進一步驗證規律，至此，一個完整的規律探索的過程就完成了。對于規律背后蘊藏的道理，也可以利用已有知識經驗來解釋。因此，教師要引導學生追根溯源，驗證規律后繼續觀察表格中的數據，從而發現表格中數的排列是有規律的，橫著、豎著、斜著的三個數加起來的和都是15。在找到原因的同時，也讓學生體會到數學知識之間的聯系，真正把規律探索的趣味性與數學學習的思維性結合到了一起。也只有經歷這樣的探索規律的過程，學生才能更好地學會數學思考、發展數學思維，感受到數學學習那一份獨有的快樂，不斷增強學好數學的信心。

三、合理想象，感受數學之美

數學運算中的這些規律，在形式構造上有著明顯的特征，或遞增、遞減排列，或對稱、螺旋排列，形式多樣，呈現著特有的數學之美。在教學中，教師在引導學生探索規律的同時，也要及時引導學生觀察這些有趣的算式，并適當補充類似的算式，讓學生深深感受數學知識的形式美、結構美，讓這些平時看似冷冰冰的數字如同一個個跳躍的小精靈，生動活潑地呈現在學生的面前，讓學生真正感受到數學之趣、數學之美，從而發自內心地愛上探索規律的活動，愛上數學。

如在學習了練習七第7、8題之后，教師還可以補充，如：神奇的“1”。

1×1=1

11×11=121

111×111=12321

1111×1111=1234321

11111×11111=123454321

111111×111111=12345654321

1111111×1111111=1234567654321

……

學生在探索規律的過程中還需要去體驗規律的局限性、規律與規律之間的內在聯系等。例如，學生在完成練習七第12題時，利用計算器算出142857乘1，2，3，4，5，6的積之后，發現它們都是由1，4，2，8，5，7這6個數字組成的：

142857×1=" 142857" " 142857×4=" 571428

142857×2=" 285714" " 142857×5=" 714285

142857×3=" 428571" " 142857×6=" 857142

教師適時提問： 142857×7，同學們覺得積可能是由哪幾個數字組成的？根據之前積累的規律探索經驗，學生會繼續類比下去，認為142857乘7的結果也是由1，4，2，8，5，7這6個數字組成的。接著，教師讓學生利用計算器驗證自己的猜測，發現得到的積是999999這樣一個特殊的數，規律并沒有延續下去。學生在這樣的試錯探索中體會到規律有時是有范圍限定的。

接著，繼續完成以下題目（先算出前面三道題的得數，再直接寫出后面兩道題橫線上的數）：

142857×1+857142=

142857×2+714285=

142857×3+571428=

142857×4+" " " " " " =

142857×5+" " " " " " =

根據前三題的結果，學生很容易就能夠根據數據結構上的特點發現規律，并順利完成后面兩題。教師引導學生繼續思考：為什么這幾道不同的算式能夠得到相同的結果？學生很快就會發現這幾道算式的內在聯系，每個算式其實都表示7個142857相加，所以結果都是999999，之前學生猜測142857×7的試錯過程，也為探索這五道算式的規律埋下了伏筆。

經過這樣的探究、猜想、試錯、再探究、再發現的過程，學生對規律的探索有了更深入的認識。他們不但能夠發現規律、解釋規律，更能體會到數學規律背后知識之間的緊密聯系，深度理解數學的理性美。

把數學規律探索納入培育學生數學素養的視野之下，帶領學生領略數學之真、數學之妙、數學之美，能夠讓學生親近數學、了解數學、愛上數學。愿我們的教學都能夠喚醒學生內心對知識的好奇與期待，讓他們能夠真正享受到學習帶來的特別的快樂！

【參考文獻】

中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2022.