以解決實際問題為導向的數值分析教學模式改革研究

摘 "要：數值分析是一門研究如何利用計算機求解數學問題的學科。針對傳統數值分析課堂內容枯燥，學生不易接受這一特點，該文提出以解決實際問題為導向的教學模式。文中通過三個案例介紹該教學模式的具體授課方法，包括課上如何啟發學生，課下如何布置研究課題等環節。三個教學案例分別對應數值分析學習的不同階段，從易到難，起到鼓勵學生動手計算、與其他課程緊密聯系、培養學生科研思維的良好作用。學生對此教學模式反饋很好，提高其課堂參與度，加強其靈活應用知識的能力，為今后進一步深化課程考核模式改革提供良好基礎。

關鍵詞：數值分析；解決實際問題；案例教學；教學改革；教學模式

中圖分類號：G642 " " "文獻標志碼：A " " " " "文章編號：2096-000X（2025）08-0134-04

Abstract： Numerical analysis studies the numerical methods for mathematical problems with the aid of computers. In the traditional teaching mode of this course， the students feel boring and difficult to understand the theory. So a new teaching mode is proposed， which is called practical problem solving mode. Three examples are presented to show the concrete steps of this teaching mode， including how to inspire the students and how to assign research homework. These three examples are corresponding to the different phase of the course study， from easy to. With this new teaching mode， the students are encouraged to do more computational practices， make connections between different courses， and cultivate the ability of scientific research. The students give a satisfactory feedback with this teaching mode， because they can participate more in the class and apply the knowledge they have learned into practice. This teaching reform builds a good foundation for the reform of course assessment.

Keywords： numerical analysis; practical problem solving; case study; teaching reform; teaching mode

習近平總書記在黨的二十大報告中提出“加快建設教育強國、科技強國、人才強國”。作為教育工作者，我們要為黨育人、為國育才。數學是基礎性學科，其他學科的發展都離不開數學。在高等教育中，數學也起到了重要作用，從高等數學、線性代數到數值分析，這些課程的學習均為專業知識的深入學習提供了堅實基礎。只有打好了基礎，才能在專業領域游刃有余。將課本的知識傳授給學生是教師的本職工作，能夠讓學生靈活運用知識去解決實際問題是教師教學的重要目標。作為數學教師，我們要積極探索新型的教學模式，打破“數學課很枯燥”的刻板印象，尋找學生的興趣點，將實際問題融入教學，也將課本知識運用到解決問題中去，讓學生實實在在看到數學的用途，感受到它的強大力量。這樣才能堅定學生“我可以”的信心，幫助學生達到“我會用”的境界，真正發揮出數學知識的作用。

在計算機技術日新月異的今天，數學學科的發展逐漸與計算機技術產生了更緊密的聯系。在實際應用領域中產生的數學模型和計算難點，都吸引著數學研究者們。實際問題中抽象出來的數學模型往往涉及大規模的計算量和數據量，這使得我們必須求助計算機來解決。在數學學科的分支中，我們把研究如何利用計算機求解各種數學問題的數值計算方法及其軟件實現這一分支稱為計算數學[1]。而數值分析正是計算數學中的基礎課程，它包括了數值代數、數值逼近、常微分方程數值解這三個部分。大連海事大學的數值分析課程有面向本科生階段的，也有面向研究生階段的，涉及專業非常廣泛，包括應用數學、統計學、輪機工程和通信工程等十幾個專業。學生知識背景的復雜性對授課內容的針對性提出了很大的挑戰。如何吸引學生興趣，讓學生能夠將數值分析的復雜理論聽進去并靈活掌握，是課程教學改革的重要目標。

近年來，高等教育工作者們已經認識到傳統的數值分析教學模式不能激發學生的學習興趣，學生學習目標不明確，學習效果不理想。因此，大家開始積極進行教學改革探索。張瑞[2]在文獻中提出了“問題解決”模式的教學改革，通過每次課前提出問題，讓學生自主討論，努力找出解決辦法來激發學生學習的自主性。王海軍等[3]提出了根據培養目標優化教學內容，根據學科特點增加實踐教學內容等方式，提高學生創造性思維能力。2017年2月以來，教育部積極推進新工科建設，在這樣的背景下數值分析課程也在努力進行課程改革來適應新形勢。唐玲艷等[4]針對研究生計算思維和工程思維的培養，探討了課程定位、教學內容、教學模式和課程思政等問題。王海軍等[5]將問題驅動思想引入課堂教學，形成了“理論講授—專題研討—案例實踐”的授課體系和課內考試與專業實踐考核結合的考核方式。覃桂茳等[6]則將翻轉課堂教學模式引入到數值分析教學中，充分調動學生的學習積極性，收到了良好的效果。張建華等[7]構建了以計算思維和工程思維為核心的課程教學模式，為新工科研究生創新能力的培養提供了有效途徑。更多關于數值分析教學改革實踐的文章可參閱文獻[8-12]。

一 "以解決實際問題為導向的教學模式

傳統的數值分析課堂教學內容枯燥、公式較多、理論冗長，學生難以接受，經常聽了幾節課就開始打“退堂鼓”。到了臨近考試時又不得不挑燈夜戰，機械記憶。為了改變這種教與學的現狀，激發學生的學習興趣，讓學生主動參與到課堂中來，本文中提出了一種以解決實際問題為導向的教學模式：提出一個實際問題—學生分組探索解決方法—老師評價與總結。該教學模式可以充分激發學生的主觀能動性，讓學生成為課堂主人。通過課后學生反饋來看，教學效果是非常好的，既可以避免學生上課犯困或做與課堂無關的事情，讓他們充分參與到課堂中來，也可以鍛煉學生的創造性思維，讓他們體驗從面對問題到解決問題的整個過程。這對于學生今后在工作中處理問題，或者在今后的求學過程中進行科學研究，都是大有助益的。

以解決實際問題為導向的教學模式將傳統老師為主的課堂翻轉為老師與學生共同參與、一起討論的課堂。我們把傳統的由老師牽引的“一根線”式的課堂內容加以優化，把授課重點由案例引入，先讓學生們分組自己討論解決辦法。學生遇到困難時，老師再加以提示和講解。如果學生能夠順利解決，則可以讓學生先展示自己的解決方法，再由老師評價和補充。這樣提高了學生的課堂參與度，讓他們感受到了自己探究和解決問題的能力，逐漸建立起信心，同時也培養了學生進行科學研究的思維方式。在選取案例時，要遵循由易到難的順序，這樣可以讓學生先體會到自己解決問題的成就感，鼓勵他們能夠接受這樣的授課方式，愿意主動探索未知的知識。隨著課程內容的加深以及學生所學知識的增加，教師可以逐漸將案例的難度提升，與部分科研內容相結合，將課上分組討論的形式轉化為課下分組作業。這樣學生能夠有更多的時間來嘗試各種解決問題的方法，并且在計算機上進行編程實踐。在案例背景的選擇方面，也可多與學生學過的課程相聯系，例如概率論與數理統計、線性代數、大學物理等。這樣學生能夠了解到各門課程之間的聯系，也能切實感受到數值分析課程的用途。下面我們通過三個案例來說明以解決實際問題為導向的教學模式的具體實施方法。

二 "該教學模式的具體實施方法

（一） "提高學生課堂參與度

首先，我們用教材[1]引論部分的例題來說明如何引導學生在課程的開始就積極參與進來，養成多動手、多思考的習慣。由于課時分配較少，很多青年教師對課程的引論部分講解并不是十分重視，更多地把精力放在了后續重要知識點的講解上。其實，每一門課程的引論都是非常重要的，只有在課程開始就吸引住學生的興趣，才能讓他們保持后續課程的出勤率，才能有機會讓他們聽到更重要知識點的講解。所以，我們不妨在引論部分稍微多花點時間，根據學生的知識背景和興趣點選取幾個合適的例子讓他們參與進來，這樣可以讓學生切實感受到課程的重要性和趣味性，同時讓他們建立起“我能行，我會算”的信心，避免第一次課就讓復雜理論將學生的心理防線擊破。

案例1：不借助計算器，如何筆算ln2？

解：兩種計算方法如下，請大家分別按照下面兩個公式計算三項，得到ln2的近似值，并與真實值0.693 1（保留四位有效數字）進行比較。

給出例題后，先不急于將兩種計算方式告知學生，可以讓學生分組討論一下，每組自行擬定解決方法。如果學生自己想不出來，可以提示學生考慮級數展開的思想，如果碰到基礎較差的學生可進一步提示出級數的具體展開式，然后讓學生自己代入計算。通過計算，學生會發現第一種方法前三項的近似值為0.833 3，第二種方法為0.693 0，與真實值對比可以看出明顯是第二種方法的近似效果更好。然后可以引導學生對第一種方法再多算幾項，比如前五項的近似值為0.783 3，發現雖然項數增多時近似效果變好，但是收斂速度明顯低于第二種方法。最后，再引導學生思考產生這種現象的原因，鼓勵大家積極融入討論當中。這個例題既可以提高學生對數值分析課堂的參與度，也能培養學生自主解決問題的能力，并讓學生對數值算法的收斂速度有了初步的認識。在課堂上多引入適當的案例，讓學生自己探索，自己總結其中的原理，這是以解決實際問題為導向的教學模式的第一步。先用簡單具體的案例讓學生融入到課堂中，建立起解決問題的信心，然后再進一步加深難度，拓寬廣度，用更多的案例引導學生繼續探究，獲得更多關于數值分析的知識以及解決實際問題的能力。

（二） "積極與其他課程建立聯系

在講授數值積分時，我們又給出了一個案例，讓學生聯系其他課程中學習過的知識，解決實際生活中碰到的問題。借助此案例，可以向學生說明數學的各門課程不是孤立存在的，它們彼此間存在緊密聯系，數值分析課程中學習到的計算方法可以用來處理以前課程中無法直接計算的問題。

案例2：已知工廠生產的某種產品直徑均值為100 mm，標準差為1 mm，符合正態分布，那么該機器生產的產品大約有多少直徑在98～102 mm之間？請利用數值積分的知識進行計算。

解：由于正態分布的密度函數無法直接寫出原函數，故該問題可以利用復合梯形公式或者復合辛普森公式進行計算。對于復合梯形公式，我們將[98，102]這個區間n等分，

對于復合辛普森公式，我們有

根據上述計算公式，在MATLAB軟件或Python軟件進行編程實現，并計算出最后結果，大約在95%。

此例題適合在學習完數值積分后布置給學生，作為課下的小組作業。讓學生自己選擇數值積分公式，可以把每一種學過的公式都嘗試一下，看看哪個公式效果更好。同時，還可以通過增加剖分數n，讓學生比較一下不同的復合求積公式的誤差。該例題是概率論與數理統計中的一個實際問題，它反映了著名的正態分布的“3？滓原則”：約有68%的數據點落在均值的一個標準差范圍內；約95%的數據落在均值的兩個標準差范圍內；約99.7%的數據點落在均值的三個標準差范圍內。這個原則，我們在概率統計里已經通過查閱正態分布概率表驗證過。但是，表中的數據是從何得來的呢？其實也是通過數值積分利用計算機編程計算得到的。學過數值積分后，學生們完全可以自己編寫一個小程序來計算正態分布的概率表。因此，通過該例題的練習，既鍛煉了學生編程解決實際問題的能力，也讓學生看到了各門課程間的緊密聯系，體會到數值分析課程的用途。有了該例題的啟發，可以讓學生課下思考一下，以前課程中查過的表，例如開方表、三角函數值表等，其實都可以利用數值分析的知識進行近似計算得到。可以讓學生挑選一個感興趣的表格，作為課下分組作業，完整闡述計算原理和編程思想，附上具體的程序代碼和計算結果。當然，數值分析還可以與很多其他課程的知識點相聯系，例如大學物理里的一些復雜積分計算或者微分方程的求解等。鼓勵學生多發現，多探索，既可以激發學習興趣，也可以鍛煉學生發現問題、解決問題的能力。

（三） "培養學生探索研究的思維方式

最后，我們給出一個圖像處理中的案例，讓學生體會到數值分析的知識如何與科研前沿相結合。由于目前就業形勢緊張，很多學生在本科畢業會選擇繼續攻讀碩士研究生，甚至博士研究生，那么對于學生科研能力的培養將是本科教育和研究生教育共同面對的一個難題。因此，適當在課程中融入一些科研的簡單例子，可以讓學生看到所學知識和科學研究之間的關系，拉近學生心里從做題應試到科研實驗的距離。

案例3圖像復原問題：假設矩陣A為圖片模糊矩陣，向量x存儲了清晰圖像數據，向量b是觀測到的模糊圖像數據，？啄是觀測噪聲，則

Ax=b+？啄 。

該圖像復原問題是一個反問題，即已知帶有噪聲的觀測數據b+？啄，和模糊矩陣A，求解清晰圖像數據x。通過數值分析第五章條件數的知識，我們知道當A的條件數較大時，即便很小的誤差？啄也會造成所求解x的較大誤差。因此，在求解上述方程組時，我們通常采用正則化的方法，將其轉化為如下優化問題

式中：？琢為正則化參數。

此例題適合在講解條件數時引入，作為上課的擴展內容。在講解完教材[1]第五章例9的Hilbert矩陣后，引入該例題，讓大家看到實際問題中我們是如何解決條件數較大引起的不適定性。在講解完正則化的思路后，可以給出一組具體的A、b、？啄的值，讓學生課后編程實驗一下。當觀測誤差？啄為零時，該方程組可以利用Gauss消去法或迭代法等數值方法直接求解；當？啄不為零時，直接求解的誤差通常較大，但是引入正則化后，誤差將變小。改變正則化參數？琢，觀察？琢的不同取值對數值解的誤差的影響。該例題將矩陣條件數這一概念應用到了實際問題中，讓學生們體會到了在何時應該判斷矩陣的條件數，了解了當系數矩陣條件數較大時該如何處理。同時，也可以鼓勵學生積極查閱文獻，尋找其他處理病態問題的方法并應用到該例子中，比較各種不同方法的效果。通過這些探索，學生可以逐漸形成科研的基本思維。遇到問題時首先要與導師或同學積極討論，確定解決問題的大致思路。然后通過查閱文獻制定適合本問題的解決方法，并用實驗驗證該方法是否有效。如果無效則需要總結經驗教訓，改換思路考慮其他方法?？茖W研究就是在不斷地嘗試和失敗中找到一個最合適的辦法來解決問題。通過幾個與科研相關案例的訓練之后，學生解決問題的能力有了很大提高，不再有畏難情緒，碰到困難可以馬上梳理出解決困難的幾種方式，然后去積極實踐。同時失敗了之后也能迅速調整自己的情緒，查找失敗原因，與同學或老師探討，繼續探索新的解決途徑。

三 "結束語

本文通過三個案例介紹了以解決實際問題為導向的數值分析授課模式，分別從提高學生課堂參與度，積極與其他課程建立聯系，培養學生探索研究的思維方式這三個方面展示了如何選取授課案例及引導學生積極參與進來。通過課堂上的實際講授與學生反饋來看，該授課模式確實可以吸引學生興趣，提高課堂參與度，鍛煉學生解決實際問題的能力，對學生科研思維的培養起到了積極的推動作用。針對人數較少的班級，可以考慮將授課地點設置在智慧教室，方便學生分組討論。每個小組可以坐一個圓桌，每組學生攜帶一臺筆記本電腦，可以將思考得到的解決方法及時付諸實踐。今后，我們還將對課程的考核方式進行改革，增加平時成績占比，將課后小組作業及課堂參與解決問題的情況納入平時成績考核。這樣既可以進一步減輕學生期末考試的負擔，又可以鼓勵學生真正參與進來，靈活掌握課本上的知識，真正做到學以致用。

以解決實際問題為導向的教學模式不僅適用于數值分析課程，也可以適用于其他數學類課程。在后續的教學改革中，我們也進一步嘗試將此教學模式應用于其他課程教學。針對不同的數學課程和不同的學生背景，提出不同的實際問題，以達到難度適宜，并且能夠吸引學生興趣的目的。例如在輪機專業學生的高數課堂上，在講解格林公式的應用時，我們可以讓學生自己動手算一下制服肩章圖形的面積。輪機專業的肩章圖形類似三葉玫瑰線，因此可以用三葉玫瑰線來對其建模，然后利用所學知識計算其所圍成的面積。這樣既能吸引學生，又讓學生看到了數學知識的重要性。保持學生對數學知識的熱愛和興趣，是我們課程改革的重要目標，也是為國家培養科技創新人才的重要基礎。只有讓學生不厭煩，有好奇心，才能激發其創新意識。鼓勵其挑戰固有的傳統思維模式，創造出新型思維模式，這樣才有機會解決更多的科研難題，帶來更多的技術革新，為科技強國貢獻自己的一份力量。

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